具有階段結構的周期SEIR傳染病模型的動力學性態(tài)

杜燕飛, 肖 鵬, 曹 慧

(陜西科技大學 數(shù)學系, 陜西 西安 710021)

具有階段結構的周期SEIR傳染病模型的動力學性態(tài)

杜燕飛, 肖 鵬, 曹 慧

(陜西科技大學 數(shù)學系, 陜西 西安 710021)

假設總人口分為幼年和成年2個階段,且只有成年個體染病,建立一類具有階段結構的周期SEIR傳染病模型,得到無病周期解全局穩(wěn)定性的條件;進一步討論模型的一致持續(xù)生存,并用數(shù)值模擬驗證所得到的結論.

周期傳染病模型； 階段結構； 基本再生數(shù)； 穩(wěn)定性

近年來,通過傳染病模型研究傳染病動力學受到廣泛關注.在傳染病的研究過程中,人們發(fā)現(xiàn)很多疾病只在某個特定的年齡階段傳播,如麻疹、水痘等傳染病多發(fā)于幼年階段,而性病、傷寒、血吸蟲病、白喉等傳染病多傳播于成年階段[1-4].另一方面,人類的活動會受到季節(jié)和氣候影響,導致很多疾病的傳染和爆發(fā)也隨季節(jié)顯示出周期性波動[5-9].因此,在刻畫傳染病模型時,考慮具有階段結構的并且具有周期系數(shù)的模型能更好地描述這類疾病的傳播特點,更具有現(xiàn)實意義.本文將建立一類具有階段結構的周期SEIR傳染病模型,并研究其動力學性態(tài).

假設總人口分為幼年、成年2個階段,且只有成年個體感染此病,構建系統(tǒng)(1).

(1)

其中,用X(t)表示t時刻幼年個體的數(shù)量,并將成年個體分為4類:易感者S(t)、潛伏者E(t)、染病者I(t)和恢復者R(t).Λ(t)是人口增長率函數(shù),ω(t)為幼年個體到成年個體的轉化率,μ0(t)、μ(t)分別為幼年、成年的自然死亡率,ε(t)和α(t)分別表示潛伏者的發(fā)病率和染病者的治愈率,采用非線性發(fā)生率β(t)S2(t)I(t),并假設所有的參數(shù)函數(shù)均為正的ω周期函數(shù).

1 預備知識

首先考慮系統(tǒng)(1)的無病周期解的存在性.考察方程

將系統(tǒng)(1)中所有方程相加得

其中

引理 1 系統(tǒng)(1)具有初始條件X(0)>0,S(0)>0,E(0)>0,I(0)>0,R(0)>0的解(X(t),S(t),E(t),I(t),R(t))在[0,+∞)上存在且為有界的正解.

由于模型(1)中的前4個方程中不含R(t),且關于R(t)的方程是線性的,因此只須考慮前4個方程構成的模型,即如下系統(tǒng)(3)的動力學性態(tài).

下面利用文獻[10]中積分算子譜半徑的方法來定義系統(tǒng)(3)的基本再生數(shù).首先驗證文獻[10]中的條件(A1)～(A7)成立.記x=(E,I,X,S)T,

(4)

容易看出系統(tǒng)(3)等價于如下系統(tǒng)

顯然ρ(ΦM(ω))<1,即無病周期解x*(t)=(0,0,X*(t),S*(t))為線性漸近穩(wěn)定的,于是,文獻[10]中的條件(A6)成立.令

記Y(t,s)是如下系統(tǒng)的一個2×2的矩陣解

其中I是2×2的單位矩陣.顯然文獻[10]中的條件(A7)也成立.

(5)

定義系統(tǒng)(3)的基本再生數(shù)為R0=ρ(L),其中ρ表示算子L的譜半徑.

2 主要結果

下面研究系統(tǒng)(3)的全局動力學性態(tài),結果表明基本再生數(shù)R0=1是區(qū)分疾病一致持續(xù)或消除的一個閥值.

定理 1 若R0<1,則無病周期解(X*(t),S*(t),0,0)是全局漸近穩(wěn)定的；若R0>1，它是不穩(wěn)定的.

現(xiàn)在考慮如下輔助系統(tǒng)

(6)

(7)

定理 2 如果R0>1,則存在ε>0,使得系統(tǒng)(3)具有初值(X(0),S(0),E(0),I(0))=(X0,S0,E0,I0)∈{(X,S,E,I)∈X:E>0,I>0}的任意解(X(t),S(t),E(t),I(t))滿足

容易證明

(8)

由于R0>1當且僅當ρ(ΦF-V(ω))>1,可選取充分小的η>0,使ρ(ΦF-V+ηM(ω))>1.并考慮系統(tǒng)(3)的擾動系統(tǒng)

下面證明Ws(M1)∩X0=?.由解對初值的連續(xù)依賴性,存在α*>0,使得當‖(X0,S0,E0,I0)-M1‖≤α*時,有

斷言

否則,存在某個(X0,S0,E0,I0)∈X0,使得

不失一般性,假設對任意的m≥0,有

則由解對初值的連續(xù)性知,對t∈[0,ω],有

進一步計算可得

由不等式(10)可推出0≤E(t)≤α,0≤I(t)≤α,t≥0.于是

則?t≥T1有:

因為ρ(ΦF-V-ηM(ω))>1,由文獻[11]中的引理2.1和標準比較定理可得:

這與0≤E(t)≤α,0≤I(t)≤α矛盾.于是

因為在M?的每一條軌道都收斂于M1,且M1在M?中是非循環(huán)的.由一致持續(xù)的非循環(huán)定理知,P關于(X0,?X0)是一致持續(xù)的.又由于M1在X中是孤立的;因此,由文獻[12]中的定理3.1.1知,系統(tǒng)(3)關于(X0,?X0)是一致持續(xù)的.

3 比較

下面討論在周期SEIR模型中引入階段結構對基本再生數(shù)的影響.考慮系統(tǒng)(3)當接觸率β(t)=β[1+bcos(2πt)]為周期函數(shù),其他參數(shù)為正常數(shù)的情形.

利用文獻[7]中的近似估計方法,系統(tǒng)(11)的基本再生數(shù)

如果忽略階段結構,不分幼年和成年2個階段,那么系統(tǒng)(3)可化為

此時系統(tǒng)的基本再生數(shù)

比較系統(tǒng)(11)和(12)的基本再生數(shù),可以得出結論:當研究成人病的傳染病模型時,如果忽略階段結構,將會高估基本再生數(shù);從而高估傳染病的傳播風險.

4 數(shù)值模擬

下面，利用數(shù)值模擬來驗證所得的結論．對于模型(3),令參數(shù)Λ=0.09,ω=0.01,β(t)=2.1[1+0.6cos(2πt)],σ=0.18,μ=μ0=0.07,ε=0.5,α=0.24,則基本再生數(shù)R0=0.758<1.在圖1中,模擬了系統(tǒng)(3)具有初始條件X0=0.2,S0=0.2,E0=0.2,I0=0.2的解的漸近性態(tài),表明無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的,傳染病將最終消除.

下面取Λ=0.5,其他參數(shù)同圖1,則基本再生數(shù)R0=2.937>1,圖2的模擬結果說明了系統(tǒng)的一致持續(xù)生存.

5 討論

本文將總人口分為幼年和成年2個階段,且假設只有成年個體染病,建立并研究了一類具有階段結構的周期SEIR傳染病模型,得到了模型無病周期解的穩(wěn)定性和系統(tǒng)持久性的結論,并通過數(shù)值模擬驗證了結論的正確性.證明了基本再生數(shù)是傳染病最終消除和一致持久生存的閥值條件,若R0<1,無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的,即疾病將最終消除；若R0>1,疾病一致持續(xù)生存.

本文所研究的模型與文獻[8-9]中所討論的不具有階段結構的周期傳染病模型相比,動力學性態(tài)大致相同.可以得出結論,在周期SEIR模型中引入階段結構在某種程度上不會改變系統(tǒng)的動力學性態(tài);但另一方面,通過比較具有周期傳染率的傳染病模型與相應的引入階段結構的模型發(fā)現(xiàn),研究成人病時如果忽略階段結構,將會高估基本再生數(shù),從而高估傳染病的傳播風險.

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2010 MSC:37N25

(編輯 余 毅)

Dynamic Behavior of a Periodic SEIR Epidemic Model with Stage-structure

DU Yanfei, XIAO Peng, CAO Hui

(DepartmentofMathematics,ShaanxiUniversityofScienceandTechnology,Xi’an710021,Shaanxi)

In this paper, we divide a population into two stages: immature stage and mature stage, and assume that disease transmission occurs only in mature individuals. Then we establish a periodc SEIR epidemic model with stage structure. We establish the global dynamics for disease-free periodic solution and discuss the uniform persistence of the system. Finally, the numerical simulations indicate the theoretical result is correct.

periodic epidemic model; stage-structured; the basic reproduction number; stability

2016-03-03

國家自然科學基金(11301314)和陜西省自然科學基金(2014JQ1025)

杜燕飛(1984—),女,講師,主要從事微分方程與生物數(shù)學的研究,E-mail:duyanfei@sust.edu.cn

O175

A

1001-8395(2017)01-0073-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.012