圓錐曲線性質(zhì)在高考解題中的運(yùn)用

駱弟懷

摘 要：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考中必考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師要在學(xué)生熟練掌握?qǐng)A錐曲線定義和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將其運(yùn)用到解題過(guò)程中，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。就圓錐曲線在高考解題中的應(yīng)用做簡(jiǎn)單分析和探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；性質(zhì)；運(yùn)用

近年來(lái)，以圓錐曲線的性質(zhì)為基礎(chǔ)來(lái)命題的高考題目已經(jīng)十分常見(jiàn)。因此，讓學(xué)生熟練掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)和定義，并能在解題當(dāng)中進(jìn)行有效利用是當(dāng)前數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù)，也是圓錐曲線部分的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生提出的重點(diǎn)要求。為了讓學(xué)生將圓錐曲線的性質(zhì)靈活運(yùn)用到解題當(dāng)中，教師必須引導(dǎo)學(xué)生在掌握每一個(gè)性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，將圓錐曲線進(jìn)行拓展和延伸，使學(xué)生能夠在掌握基本定義和性質(zhì)的基礎(chǔ)上做到舉一反三。筆者結(jié)合教學(xué)中的實(shí)踐，談?wù)剤A錐曲線的性質(zhì)在高考解題中的運(yùn)用策略。

一、在探求最值問(wèn)題上的運(yùn)用

最值問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的題型，它與圓錐曲線相結(jié)合來(lái)進(jìn)行命題，主要考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線性質(zhì)和定義的掌握與運(yùn)用。這就要求學(xué)生在熟練掌握?qǐng)A錐曲線相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上對(duì)題目進(jìn)行深入分析和探究，并運(yùn)用掌握的圓錐曲線性質(zhì)和定義找到題目中的隱含條件，利用圓錐曲線的性質(zhì)將題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到其中的內(nèi)在聯(lián)系，從而高效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。

例1.在橢圓■+■=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M為橢圓上的一點(diǎn)，使MP+2MF的值最小，求MP+2MF的最小值。

■

解：如圖，作MN垂直于右側(cè)準(zhǔn)線于N點(diǎn)，

因?yàn)椋骸?e=■

所以：MN=2MF

MP+2MF=MP+MN

因此，當(dāng)M、N、P三點(diǎn)一線時(shí)MP+MN最小，最小值為3。

反思：利用圓錐曲線的性質(zhì)和定義將最值問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合平面圖形的性質(zhì)，將數(shù)形結(jié)合起來(lái)，將最值問(wèn)題直觀化、簡(jiǎn)單化，簡(jiǎn)化解題思路，提高學(xué)生解題效率，并保證其正確率。

二、圓錐曲線在軌跡題型中的運(yùn)用

軌跡型題目是高考中常見(jiàn)的題目類型，圓錐曲線在軌跡型題目中的運(yùn)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：（1）根據(jù)方程式來(lái)判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)的軌跡。（2）運(yùn)用圓錐曲線的性質(zhì)來(lái)求解方程式。因此，軌跡型題目主要考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的掌握和運(yùn)用情況，并靈活運(yùn)用曲線性質(zhì)來(lái)分析運(yùn)動(dòng)軌跡，列出方程式。這是圓錐曲線的基本內(nèi)容，也是圓錐曲線學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，更是高考考查的重點(diǎn)類型。定義法是利用圓錐曲線求取方程式的重要方法，它能有效將復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌跡直觀化、簡(jiǎn)單化，學(xué)生可以借助圓錐曲線的定義和性質(zhì)，快速判斷出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而在已知條件的基礎(chǔ)上快速準(zhǔn)確地列出表達(dá)式，幫助學(xué)生快速解出正確答案。

例2.方程x2+（y-2）2=x-y-4對(duì)應(yīng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡為 .

A.橢圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.兩直線

解：將方程變形，可以得出動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（0，2）的距離比上它到直線L∶x-y-4=0的距離的比值為2，由曲線的性質(zhì)定義可知，離心率大于1的只有雙曲線。因此，題目中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該是雙曲線。

反思：利用圓錐曲線的性質(zhì)來(lái)對(duì)題目中的隱含條件進(jìn)行判

斷，可以有效簡(jiǎn)化題目的解題過(guò)程，快速找出正確答案。首先，學(xué)生要靈活掌握?qǐng)A錐曲線的各種性質(zhì)和定義；其次，利用圓錐曲線的性質(zhì)來(lái)尋求題目中的內(nèi)在聯(lián)系。

三、利用圓錐曲線性質(zhì)解決三角形中的問(wèn)題

在高考題型中，將圓錐曲線與三角形相結(jié)合是高中命題的一個(gè)走勢(shì)，它要求學(xué)生根據(jù)曲線性質(zhì)來(lái)對(duì)已知條件進(jìn)行判斷，建立兩者之間的關(guān)系，從而直接有效地解決三角形問(wèn)題。

例3.F1、F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線，與橢圓交于P點(diǎn)，如果△F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離

心率。

解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)a，短軸長(zhǎng)b，焦距為c

若△F1PF2為等腰直角三角形，

則：PF2=F1F2=2c，PF1=2■c

又PF1+PF2=2a，

則：2c+2■c=2a，e=■-1

所以橢圓的離心率為■-1

反思：在本題中，可以利用橢圓的性質(zhì)構(gòu)造出a與c的關(guān)系，再由橢圓的性質(zhì)和離心率定義，可以輕松得出橢圓的離心率。主要考查學(xué)生對(duì)離心率性質(zhì)和定義的掌握與運(yùn)用情況。

綜上所述，圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)。掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)和定理，并能舉一反三，才能在解題過(guò)程中靈活運(yùn)用，并且將知識(shí)點(diǎn)巧妙轉(zhuǎn)化運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、解題能力與思維能力，從而達(dá)到教學(xué)的本質(zhì)目的。

參考文獻(xiàn)：

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