從數(shù)的概念出發(fā)

游志鴻

從小學(xué)到初中，數(shù)學(xué)由具體進入到抽象領(lǐng)域，數(shù)學(xué)符號往往在平常的生活中找不到相對應(yīng)的簡單實例，不少學(xué)生感到數(shù)學(xué)難學(xué)，感到數(shù)學(xué)很乏味，這樣就很難學(xué)好數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)的概念，或者說數(shù)學(xué)就是建立在概念上，數(shù)的概念就是數(shù)的本身規(guī)定性。所以，學(xué)數(shù)學(xué)首先要正確地理解概念，學(xué)會解讀數(shù)學(xué)概念語言符號，這是中學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)至關(guān)重要的一個基本環(huán)節(jié)，其次才是概念的基本運用。

所有的數(shù)學(xué)問題，都是從概念出發(fā)，進行推理判斷得出的結(jié)論。然而，在實際教學(xué)中，不少教師對概念教學(xué)重視不足，而是采用題海戰(zhàn)術(shù)，向?qū)W生灌輸各種解題方法和解題技巧，結(jié)果反而讓學(xué)生迷失在花樣繁多的所謂竅門之中；甚至導(dǎo)致學(xué)生思維混亂，遺忘了最為清晰的解決問題的思維路徑。

出現(xiàn)這樣的教學(xué)結(jié)果，一個重要的原因源于教師自身對數(shù)學(xué)邏輯思維建構(gòu)的層次把握不足，急于求成，以至于偏離了概念這個數(shù)學(xué)根本，本末倒置，這樣學(xué)生是很難學(xué)好數(shù)學(xué)的。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐過程中，唯有立足概念，從概念出發(fā)解決數(shù)學(xué)問題，把數(shù)學(xué)問題再還原到概念，從而做到以不變應(yīng)萬變。

一、概念建構(gòu)的組成分析

數(shù)的概念通常包含名稱、定義、性質(zhì)與例子。名為區(qū)分，定義是其本質(zhì)，性質(zhì)是運算屬性，例子是直觀呈現(xiàn)。在教學(xué)過程中把這些概念構(gòu)成說清楚，便于學(xué)生在結(jié)構(gòu)上全面把握概念，抓住概念本質(zhì)。其中函數(shù)只是命名，不是本質(zhì)，本質(zhì)是有兩個變量它們的關(guān)系符合一種固定的變化關(guān)系。如，一次函數(shù)y=2x，其中2是x與y之間的量的關(guān)系固定值，也是x、y兩個變量的運算性質(zhì)，函數(shù)式y(tǒng)=2x就是例子直觀，所謂自變量、函數(shù)只是兩個具有相對應(yīng)關(guān)系變量的名稱。把概念的名的實質(zhì)解釋清楚，學(xué)生就不會受到名稱的困擾，再以具體的數(shù)值代入函數(shù)式，量的關(guān)系也就變得清晰、直觀起來。這樣，學(xué)生對概念掌握起來就比較容易，就整體化了，抽象的概念就得以具體的量化。

二、概念語言的意思把握

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生無法讀懂概念的語言，或者說不知道如何解讀概念語言所說的意思，對概念死記硬背似懂非懂，許多時候?qū)W生身處其中卻渾然不覺，到了解決數(shù)學(xué)問題時，就發(fā)現(xiàn)搞不懂題目的意思，無法把概念同問題聯(lián)系起來。

例如，學(xué)習(xí)多項式時，學(xué)生經(jīng)常搞不清什么是項、項的次數(shù)，把項當(dāng)成單個字母，把某個字母的次數(shù)當(dāng)作項的次數(shù)。教學(xué)中可以舉例對定義語言加以說明，通過例子不難發(fā)現(xiàn)語言的含義，如式子的字母不同、字母的次不同，滿足其中一個條件就是多項式中的單項式；“這些單項式中最高的次數(shù)，就是多項式的次數(shù)”，顯然多項式的次數(shù)，是通過比較幾個單項式的次數(shù)高低決定，而不是比較某個單項式中的某個字母的次數(shù)。

數(shù)學(xué)中的概念大多數(shù)是通過定義描述給出它的確切含義，通過歸納概括定義的基本點，通過歸納排除定義的非本質(zhì)屬性，就可以完整把握定義。歸納概括過程也就是對定義的理解過程。例如，互余概念，其本質(zhì)屬性可以概括為：（1）必須具備兩個角之和為90°，一個角為90°或三個角之和為90°都不能稱為互為余角，互余角只就兩個角而言。（2）互余的角只是數(shù)量上的關(guān)系，與兩角所處位置無關(guān)。

三、概念學(xué)習(xí)的漸進過程

教材中一般的數(shù)學(xué)概念，都是建立在具體現(xiàn)象的分析歸納導(dǎo)出的，一般從幾個原始的概念或者公理出發(fā)，通過推理而擴展成為一系列的定義或者定理。每一個新概念都有已有的概念來表達。如“一元二次方程”的概念，它就是由前置概念推導(dǎo)而來的，它緣“一元一次方程”的概念，而“一元一次方程”的概念則基于“整式方程、方程”等作為預(yù)備概念而得出的。這樣的概念很多，如數(shù)的概念、平行四邊形等等。教材是嚴格按照漸進性這個原則，把這些概念分類、有機地串聯(lián)在一起，形成知識的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。

針對概念形成的漸進性，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意，在學(xué)生對某些預(yù)備概念模糊不清的情況下，不要急于引入新概念，最好先做好相關(guān)預(yù)備概念準備，尤其是對特別重要的、關(guān)鍵性的預(yù)備概念，教師要反復(fù)強調(diào)，使學(xué)生較為徹底的理解，為新概念的導(dǎo)入做好鋪墊。

四、概念歸納的邏輯方法

任何概念都是從特殊中歸納出來的普遍，但數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)性的概念又是更高層次概念的特殊，概念學(xué)習(xí)服從概念的發(fā)展規(guī)律，遵循的路徑一般則從特殊到普遍，不斷擴展數(shù)學(xué)的運用領(lǐng)域。

初中教材出現(xiàn)的負數(shù)概念，開始很多學(xué)生非常不習(xí)慣，他們會參照生活中數(shù)的概念習(xí)慣，產(chǎn)生疑問，比如：0就是沒有，怎么還有比0小的數(shù)？這時他們并不明白數(shù)的計量還有方向性的功能，如經(jīng)濟活動中的負債、事物在計量原點作反方向的運動等等。初步學(xué)習(xí)完負數(shù)，這時可以通過數(shù)軸對已經(jīng)學(xué)過的各種數(shù)的概念進行比較，整數(shù)、小數(shù)、有理數(shù)、0、負數(shù)等等這些，其中任何一種數(shù)的概念，在實數(shù)范圍內(nèi)都是一種特殊性質(zhì)的數(shù)。

學(xué)習(xí)普遍與特殊的思維邏輯，有助于系統(tǒng)理解數(shù)的概念形

成。例如，如何定義菱形時，教學(xué)中可以先利用“平行四邊形”這個已學(xué)概念，因為菱形是“平行四邊形”一個形的特殊，它限定菱形所屬的類別，但同時菱形不是一般性的平行四邊形，“有一組鄰邊相等”這一特征與普通平行四邊形區(qū)別開來。而矩形又是菱形的特殊形式。這樣通過特殊與普遍的區(qū)分，教會學(xué)生歸納數(shù)學(xué)知識的一般方法，加深對數(shù)的概念內(nèi)涵的理解，這樣學(xué)生就不容易產(chǎn)生概念混淆。

五、數(shù)學(xué)問題的概念回歸

從數(shù)的概念出發(fā)，再把數(shù)學(xué)問題回歸到概念層面，是運用概念、深化掌握概念的重要環(huán)節(jié)。泛泛而談這個問題比較抽象，但可以轉(zhuǎn)化為一個具體的思維方法，那就是如何尋找解題的切入口，或者說把握住問題中涉及的概念指向。

這里舉個數(shù)學(xué)問題加以說明：在一個直角三角形中，AB、BC

分別為兩條直角邊，AB=3，BC=4，通過B點向斜邊AC作一條垂線，垂足為D，求BD的長度。一些學(xué)生在這個問題中，只想到勾股定理，把勾股定理反復(fù)使用，折騰半天也求不出來問題的答案，他們就沒有想過AB、BC、BD都是這個三角形的高，但在題目中，AB、BC、BD是高這個指向性非常明顯，一旦意識到了，自然就會把思維擴大到三角形面積這個概念上來，那么通過面積不變問題就輕松得到解答。

可以這么說，所有數(shù)學(xué)問題對于概念而言它都是個別或者特殊的問題，概念才是這些問題解決的普遍指導(dǎo)。在給出條件時，條件中就包含著概念的指向性，抓住這個指向性，實際上就找到了解決問題的切入口，這樣也就把問題又引回到概念上來。

總之，分析概念結(jié)構(gòu)，提高概念語言解讀能力，循序漸進歸納概念知識，目的都是為了解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)教學(xué)固然離不開解題，但絕不是為解題而解題，盲目解題只會把概念知識搞得支離破碎。而是通過解題，引導(dǎo)學(xué)生進一步強化對概念的把握，準確靈活地運用數(shù)學(xué)概念。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，沒有什么捷徑，只能立足概念，需要不斷夯實概念這個基礎(chǔ)，從特殊到一般，進行系統(tǒng)的概念歸納，讓學(xué)生整體上把握概念；再從一般到特殊，把概念反復(fù)運用到解決問題中，強化概念的運用能力。只要學(xué)生能夠獨立地思考、解決數(shù)學(xué)問題，他們每個人的信心就會起來，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就會成為他們的快樂，學(xué)好數(shù)學(xué)也就是水到渠成的事了。

參考文獻：

[1]陳麗芳.關(guān)于初中生數(shù)學(xué)歸納能力培養(yǎng)的理論與實踐研究[D].湖南師范大學(xué)，2008.

[2]劉印.初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)之我見[J].中國校外教育，2015（20）.