分類 猜想 驗(yàn)證

翟運(yùn)勝

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級下冊第50至51頁。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生經(jīng)歷若干個(gè)非零自然數(shù)的和與積的奇偶性規(guī)律的探索過程，初步了解它們的和與積的奇偶性基本規(guī)律。

2.在自主探索規(guī)律的過程中，初步掌握舉例驗(yàn)證與推理驗(yàn)證的方法，并能應(yīng)用這些方法探究新的數(shù)學(xué)規(guī)律，積累探索規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)規(guī)律的價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生抽象與推理能力等的提升。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

能探索出若干個(gè)非零自然數(shù)的和與積的奇偶性規(guī)律，能夠初步正確判斷幾個(gè)非零自然數(shù)的和與積的奇偶性。初步掌握分類、猜想與驗(yàn)證等探索規(guī)律的方法，并能應(yīng)用這些方法探究新的數(shù)學(xué)規(guī)律。

【教學(xué)過程】

一、分類思考，建立猜想，舉例驗(yàn)證

師：自然數(shù)按“是否是2的倍數(shù)”分為兩類，一類是奇數(shù)，一類是偶數(shù)。怎樣快速判斷一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？218、213214218、147、847645147是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？

師：看來判斷一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，只要看它的個(gè)位。如果把這兩個(gè)數(shù)相加，213214218+847645147，怎樣來判斷這兩個(gè)數(shù)的和的奇偶性呢？你是怎樣想的呢？（板書課題：和的奇偶性）

學(xué)生得出用這兩個(gè)數(shù)的個(gè)位相加就可判斷這兩個(gè)數(shù)的和是奇數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)使學(xué)生把判斷一個(gè)數(shù)奇偶性的注意力聚集到這個(gè)數(shù)的個(gè)位上，直接引導(dǎo)學(xué)生判斷兩個(gè)數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)，學(xué)生自然會想到只要把它們的個(gè)位進(jìn)行相加，為后面的舉例驗(yàn)證做好鋪墊。

師：任意兩個(gè)自然數(shù)的和一定是奇數(shù)嗎？問題很復(fù)雜，為了便于研究，我們需要先分一分類，任意兩個(gè)自然數(shù)相加可以分為哪些情況呢？

預(yù)設(shè)：偶數(shù)+偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)，偶數(shù)+奇數(shù)。

師：它們的和是什么數(shù)呢？讓我們先來猜一猜。

預(yù)設(shè)：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)。

師：到底這三個(gè)猜想對不對呢？你打算怎樣去驗(yàn)證這三個(gè)猜想呢？

預(yù)設(shè)通過舉例來驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生先分類再猜想，使學(xué)生學(xué)會從整體思考問題，這是一種面對復(fù)雜問題時(shí)重要的研究方法，能夠避免面對復(fù)雜問題時(shí)思維陷入混亂，培養(yǎng)學(xué)生有序思考的意識。

引導(dǎo)得出：因?yàn)榕袛嘁粋€(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)只要看這個(gè)數(shù)的個(gè)位，所以只要舉一位數(shù)加一位數(shù)的例子就可以了。用個(gè)位是0、2、4、6、8的數(shù)來代表所有的偶數(shù)，用個(gè)位是1、3、5、7、9的數(shù)字來代表所有的奇數(shù)。

教師組織學(xué)生填寫下面的三個(gè)表格。

引導(dǎo)學(xué)生觀察表格發(fā)現(xiàn)：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)。（表1～3）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生認(rèn)識到只要舉一位數(shù)加一位數(shù)的例子就可以概括出兩個(gè)自然數(shù)和的奇偶情況。借助這三張表格使學(xué)生做到了窮舉所有兩個(gè)自然數(shù)相加的例子，實(shí)現(xiàn)了完全歸納推理，使規(guī)律成為必然。

引導(dǎo)學(xué)生提問：為什么會有這樣的規(guī)律呢？

結(jié)合學(xué)生的回答出示下圖1：

引導(dǎo)學(xué)生用字母來表示：第一個(gè)奇數(shù)可以用2m+1表示，第二個(gè)奇數(shù)可以用2n+1來表示，（2m+1）+（2n+1）=2m+2n+2=2（m+n+1）。

小結(jié)：回顧一下剛才兩個(gè)數(shù)和的奇偶性的探索過程，我們是怎樣探索的呢？

預(yù)設(shè)：把這個(gè)問題先分類，再猜想，然后舉例驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：通過舉例歸納出和的奇偶性規(guī)律，不代表學(xué)生真正理解了這三個(gè)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生思考為什么會有這樣的規(guī)律，喚起學(xué)生的問題意識，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合與符號表示的方法，深刻理解規(guī)律背后的原因。

二、練習(xí)引入多個(gè)數(shù)相加，組織推理驗(yàn)證

練習(xí)一：你能不計(jì)算，判斷下列算式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)嗎？

246+118 1023+2048 1357+731

28+42+806+3120+…+2016+…

教師組織學(xué)生判斷和的奇偶性，引導(dǎo)：其實(shí)這些偶數(shù)還可以寫成文字，變成下面的形式——偶數(shù)+偶數(shù)+…+偶數(shù)=偶數(shù)，不論多少個(gè)偶數(shù)相加都是偶數(shù)，這說明了什么呢？

預(yù)設(shè)：相加的和是偶數(shù)，與偶數(shù)的個(gè)數(shù)沒有關(guān)系。

師：奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)+…+奇數(shù)，若干個(gè)奇數(shù)相加的和是什么數(shù)？

學(xué)生小組討論，然后把結(jié)論寫在研究單上。

組織學(xué)生匯報(bào)：若干個(gè)奇數(shù)相加時(shí)，如果奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，和是偶數(shù)。如果奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，和就是奇數(shù)。

教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合課件匯報(bào)得出結(jié)論。

師：誰能利用得出的結(jié)論來說明兩個(gè)自然數(shù)相加的情況呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生得出這種驗(yàn)證的方式叫作推理驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：由兩個(gè)偶數(shù)引出多個(gè)偶數(shù)相加，并抽象為文字，使學(xué)生認(rèn)識到多個(gè)偶數(shù)相加和是偶數(shù)，與偶數(shù)的個(gè)數(shù)無關(guān)。在充分討論的基礎(chǔ)上，借助課件，學(xué)生使用抽象的文字進(jìn)行推理驗(yàn)證，得出若干個(gè)奇數(shù)相加的和與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)的規(guī)律。再引導(dǎo)學(xué)生用得出的規(guī)律說明兩個(gè)數(shù)相加的情況，從而溝通規(guī)律之間（偶數(shù)相加，奇數(shù)相加）的聯(lián)系，將其升華為更加普遍的規(guī)律，并讓學(xué)生認(rèn)識到驗(yàn)證的方法不再是舉例，而是推理。

練習(xí)二：判斷下面算式的和是奇數(shù)，還是偶數(shù)？

（1）17+35+23+41，

（2）311+225+473+609+907，

（3）1+3+5+7+…+29，

（4）2+4+6+8+…+30。

通過練習(xí)讓學(xué)生認(rèn)識到多個(gè)偶數(shù)與多個(gè)奇數(shù)相加，只要關(guān)注奇數(shù)的個(gè)數(shù)就可以了，與偶數(shù)的個(gè)數(shù)無關(guān)。

設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)進(jìn)行練習(xí)，鞏固多個(gè)奇數(shù)相加和的奇偶性規(guī)律，從容引出多個(gè)偶數(shù)與多個(gè)奇數(shù)相加，在思辨中認(rèn)識到多個(gè)自然數(shù)相加的和的奇偶性只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)。

練習(xí)三：“最強(qiáng)大腦”。

層次一：課件依次出示：28、31、60、72、14、199。

層次二：課件依次出示：33、155、70、54、221、99、22、43、68、52。

請你判斷這些數(shù)和的奇偶性。

總結(jié)：我們今天探索了和的奇偶性（出示課題），我們是怎樣進(jìn)行探索的呢？

預(yù)設(shè)：我們先把問題進(jìn)行分類，然后提出猜想，再舉例或是推理進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用規(guī)律玩“最強(qiáng)大腦”游戲，用知識內(nèi)在的魅力吸引學(xué)生，讓他們體驗(yàn)玩數(shù)學(xué)游戲并挑戰(zhàn)成功的愉悅感，提高學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

三、遷移探究方法，嘗試探究積的奇偶性

師：你還可以提出怎樣的探索性問題呢？

預(yù)設(shè)：差的奇偶性、積的奇偶性、商的奇偶性。

師：請同學(xué)們使用今天的探索方式，先分類、提出猜想，再舉例或者是推理驗(yàn)證，找一找積的奇偶性有什么規(guī)律。

學(xué)生匯報(bào)自己的發(fā)現(xiàn)。

預(yù)設(shè)：偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)×偶數(shù)×…×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)×奇數(shù)×奇數(shù)×…×奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)×奇數(shù)×奇數(shù)×…×奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。

師：多個(gè)奇數(shù)相乘為什么等于奇數(shù)呢？

師：1×3×5×7×9×…×997×999，這個(gè)式子的結(jié)果是奇數(shù)，還是偶數(shù)呢？如果再乘4呢？

布置作業(yè)：請同學(xué)們利用今天學(xué)習(xí)的方法去研究差的奇偶性與商的奇偶性，寫成一篇數(shù)學(xué)小論文。

設(shè)計(jì)意圖：在總結(jié)出探究方法后，學(xué)生應(yīng)用這些探究方法成功得出積的奇偶性規(guī)律，遷移了研究方法，增強(qiáng)了探究的興趣，樹立了從事探究活動(dòng)的信心，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維與能力的提升。本節(jié)課是教學(xué)“如何探索規(guī)律”，教學(xué)重點(diǎn)不是掌握和與積的奇偶性規(guī)律，而是習(xí)得探究這些規(guī)律時(shí)所用的探索方法，樹立探究意識，以及積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)方洲小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）