從一次課堂例題講解中的意外生成談起*

●于 彬 高振卿(東營市勝利第六中學(xué) 山東東營 257000)

從一次課堂例題講解中的意外生成談起*

●于 彬 高振卿
(東營市勝利第六中學(xué) 山東東營 257000)

數(shù)學(xué)是一步一步向上走的.文章通過一次課堂例題講解中的意外生成加深教師和學(xué)生對這句話的認識，同時對課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)與生成以及解題教學(xué)的追求提出幾點思考.

課堂例題;教學(xué)預(yù)設(shè);意外生成;解題教學(xué)

數(shù)學(xué)是一步一步向上走的.這句話出自日本教育家、數(shù)學(xué)家米山國藏的名著《數(shù)學(xué)的思想、精神及方法》，對于一線教師來說理解起來尚有一定的難度，更不用說學(xué)生了.

但是，筆者在近期的課堂教學(xué)實踐中，借助一次課堂例題講解中的意外生成，結(jié)合自己對這句話的理解，加深學(xué)生對這句話的印象.以下進行簡單介紹，不當(dāng)之處，敬請指正.

1 例題及說明

圖1

該題是以鞏固銳角三角函數(shù)定義為主的習(xí)題課中的例3，其中例1是在直角三角形中求已知角的銳角三角函數(shù)值，例2是已知三角形中2個特殊內(nèi)角的三角函數(shù)值，求第3個角的度數(shù)，具有一定的綜合性，對初學(xué)者來說有一定的難度.

2 意外生成及說明

在課堂教學(xué)中，例1、例2順利完成，接下來進入例3的講解，筆者首先給學(xué)生留了10分鐘的獨立思考時間，接著讓學(xué)生說一下自己的解題思路.

生1：還沒有思路……

生2：設(shè)DE=x，CE=y，在Rt△CED和Rt△CEB中2次應(yīng)用勾股定理即可.

這完全超出了筆者的預(yù)設(shè)，這是一種非常好的方法.看似是得到了一個二元二次方程組(解法1)，但將x2+y2作為一個整體帶入后便可順利求解.在肯定了該生解法的基礎(chǔ)上，筆者進行了提示，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)圖中的一對相似三角形，又給學(xué)生留了幾分鐘的時間后，再讓學(xué)生回答解題思路.

生3一開始的回答是按照筆者的預(yù)設(shè)進行的，但是講到后面又回到了勾股定理，這讓筆者再次感到意外.筆者肯定了生3的解題思路(解法2)后，接著引導(dǎo)學(xué)生思考能否通過相似直接求得DE.此時生4搶答了……

生4的解題思路(解法3)和筆者最初的預(yù)設(shè)是完全一致的，在課堂教學(xué)中卻是“千呼萬喚始出來”，特別是在最后生4還說出了這種解法的優(yōu)點，這讓筆者感到很高興.當(dāng)筆者準(zhǔn)備講例4時，生5舉手了……

生5：老師,您在上節(jié)課中講過“在直角三角形中相似和銳角三角函數(shù)是從不同的角度看問題”，那么這個題目完全可以避開相似，直接利用∠ACB和∠CBE的角度相等，進而余弦值相等，這樣就可以求得BE，接下來就和解法3一樣了(解法4).

此時班里響起了掌聲，筆者也為生5的解法感到意外和高興.這時，筆者發(fā)現(xiàn)距離下課時間還有3分鐘，講解例4是不可能了，這時“數(shù)學(xué)是一步一步向上走的”這句話卻浮現(xiàn)在了腦海里，于是在剩余的3分鐘里筆者首先用程序圖(如圖2所示)總結(jié)了例3的解題思路,并說道：“通過例3的4種解法，同學(xué)們可以感覺到數(shù)學(xué)知識內(nèi)部是相通的，用不同的知識可以解決同一個問題，但是我們要體會不同方法的難易程度，比如思路是否容易想到、計算是否簡單等等.同時,同學(xué)們通過這個題目可以體會直角三角形中勾股定理、相似、銳角三角函數(shù)在解決同一個問題時所帶來的不同‘感覺’，體會數(shù)學(xué)知識是螺旋上升的，是一步一步向上走的.”

圖2

3 解法展示

解法1 利用勾股定理.設(shè)DE=x，CE=y，在Rt△CED和Rt△CEB中應(yīng)用勾股定理可得

解得

故

解法2 利用勾股定理和直角三角形的相似.由BD=CD，知

∠ACB=∠CBE，

又∠ABC=∠CEB=90°，從而

△ACB∽△CBE，

于是

即

解得

CE=12.

在Rt△CED中,應(yīng)用勾股定理得

故

解法3 利用直角三角形相似.由BD=CD，知

∠ACB=∠CBE.

又∠ABC=∠CEB=90°，從而

△ACB∽△CBE，

于是

即

解得

BE=16，

進而

故

解法4 利用銳角三角函數(shù).由BD=CD，知

∠ACB=∠CBE，

從而

cos∠ACB=cos∠CBE，

于是

即

解得

BE=16，

進而

故

4 幾點思考

4.1 課堂教學(xué)是動態(tài)生成的

在本節(jié)課的課堂教學(xué)中，筆者雖然沒有完成例題4的教學(xué)，但是抓住了課堂教學(xué)中的意外生成，加深了學(xué)生對所學(xué)知識的理解，收到了意想不到的教學(xué)效果.課堂教學(xué)是動態(tài)生成的，隨時都有可能出現(xiàn)教師在備課中沒有預(yù)設(shè)到的事情，此時是將學(xué)生拉回還是讓學(xué)生說下去，顯然筆者最后選擇了后者.接著生5又給出了新解法，這應(yīng)該算是這節(jié)課意外之中的意外了.

4.2 解題教學(xué)應(yīng)該追求什么

解題教學(xué)應(yīng)該追求什么？文獻[1]指出解題教學(xué)應(yīng)該追求解題成果的深化與擴大，本課例中的意外生成及意外中的意外不正是成果深化和擴大的一種體現(xiàn)嗎？文獻[2]指出解題教學(xué)應(yīng)該追求多思少算.解法1～4從勾股定理到直角三角形的相似到銳角三角函數(shù)正是思維層次加深、計算量減少的過程.此外，課堂小結(jié)中的一段話更是將學(xué)生的思考引入“深處”，從而實現(xiàn)解題教學(xué)成果的最大化.

4.3 數(shù)學(xué)是一步一步向上走的

數(shù)學(xué)是一步一步向上走的.在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該抓住任何時機讓學(xué)生體會這句話的意義，從而加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，打通知識之間的聯(lián)系.正如本課例中出現(xiàn)的例題明明可以利用直角三角形相似或銳角三角函數(shù)來解決，學(xué)生卻仍然用勾股定理的相關(guān)知識解決，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因是：教師在課堂教學(xué)中沒有適時引導(dǎo)和滲透，從而學(xué)生沒有體會到“數(shù)學(xué)知識的螺旋上升”和“數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)部聯(lián)系”.期待上述課例中的“意外”可以對一線教師的課堂教學(xué)帶來一些啟示.

[1] 朱月祥.追求解題成果的深化與擴大[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015(11):19-20.

[2] 徐亮.多思少算：一種值得追求的解題教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016(7):84-85.

2016-12-19；

2017-02-10

山東省東營市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題(125DYJG195，125DYJG210)

于 彬(1984-)，男，山東泰安人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)05-19-03