恰當(dāng)分類與減少討論層次的策略*

●馮海容 江 強(qiáng)(黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020)

恰當(dāng)分類與減少討論層次的策略*

●馮海容 江 強(qiáng)
(黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020)

分類討論是近幾年高考數(shù)學(xué)必考的數(shù)學(xué)思想方法之一．分類討論首先要學(xué)會(huì)恰當(dāng)分類，其次是如何減少討論層次．要恰當(dāng)分類，則要理清分類原因，理順邏輯關(guān)系．多次、多層討論要“扁平化”處理，減少討論層次的策略有：縮小范圍、數(shù)形結(jié)合、變更主元等．對于多元變量的分類討論，可利用有關(guān)幾何意義“相對變量分離”討論．

分類討論；減少討論；“扁平化”處理；縮小范圍；“相對變量分離”

1 知識內(nèi)容

1．1 分類討論的地位與作用

分類討論，本質(zhì)上是“化整為零，積零為整”，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一的方法處理時(shí)，就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對象區(qū)分為不同類別，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類的結(jié)果得到整個(gè)問題的解決，我們稱之為分類討論思想．

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想在簡化研究對象、發(fā)展思維方面起著重要作用.因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位，也是歷年高考的重點(diǎn)之一．

分類討論思想往往結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(如函數(shù)、不等式、解析幾何等)進(jìn)行考查，內(nèi)容十分豐富；形式上從含一個(gè)參數(shù)的討論慢慢轉(zhuǎn)到含多個(gè)參數(shù)的討論，從簡單的分類討論轉(zhuǎn)到需運(yùn)用邏輯、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)本質(zhì)的分類討論．

分類討論首先要學(xué)會(huì)恰當(dāng)分類，其次是如何減少討論層次．

1．2 恰當(dāng)分類原則

1．2．1 理清分類原因，理順邏輯關(guān)系

要恰當(dāng)分類，首先要理清分類的原因，才能提高分類的意識、恰當(dāng)分類．從產(chǎn)生分類討論的原因上看，主要有：

1)由數(shù)學(xué)的概念、運(yùn)算、性質(zhì)、定理和公式的限制引起分類討論：如絕對值定義、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、集合運(yùn)算中有無空集、偶次方根非負(fù)、對數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)的要求、不等式2邊同乘一實(shí)數(shù)對不等號方向的影響等；

2)由幾何圖形中點(diǎn)、線、面的相對位置不確定引起的分類討論；

3)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或參數(shù)的取值不同引起圖形的不同屬性，或由于不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法；

4)其他根據(jù)實(shí)際問題具體分析進(jìn)行分類討論，如排列、組合問題，實(shí)際應(yīng)用題等．

世上沒有“無緣無故”的討論，也沒有“無緣無故”的分類，只有理清分類原因，才能做到有效分類討論，這也是減少討論層次的重要手段．分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論,其中最重要的一條是“不重不漏”．

當(dāng)出現(xiàn)多種并列分類討論、多層分類討論或相互交叉分類討論時(shí)，要理順其邏輯關(guān)系，要注意最后的歸納是合并關(guān)系還是并列關(guān)系．

1．2．2 確定分界點(diǎn)和分界線，“扁平化”處理

當(dāng)有多個(gè)對象要討論或分類，以及分類討論中還有分類討論時(shí)，如何減少討論層次顯得很重要，除了理清分類原因，還常常用以下方法：首先確定每一分類對象的分界點(diǎn)和分界線，再利用所有分界點(diǎn)和分界線把討論范圍“扁平化”分成各個(gè)部分，最后在各個(gè)部分內(nèi)討論．

這種“扁平化”處理，首先,讓我們重點(diǎn)關(guān)注分類討論的2個(gè)關(guān)鍵：一是分類標(biāo)準(zhǔn)，即分界點(diǎn)和分界線；二是各類討論的本身，而不是分類討論的形式．其次,這種討論只在同一層次內(nèi)討論，且相互之間沒有上下之分，又不重復(fù)不遺漏，簡單實(shí)用，真正做到恰當(dāng)分類、減少討論層次．

1．3 減少討論層次的策略

因?yàn)榉诸愑懻摫容^繁瑣，思維嚴(yán)謹(jǐn)性要求高，容易失誤，而且此類題目的思維深，所以如何減少甚至避免分類討論就顯得非常必要．除了上述“扁平化”手段外，還可以從數(shù)學(xué)思想和方法上，即從根子上減少和避免分類討論．

1)縮小范圍．可利用部分條件或隱含條件，縮小參數(shù)的范圍，達(dá)到減少討論層次的目的；也可以利用參數(shù)的變化及其影響作用，確定參數(shù)的大致范圍，達(dá)到減少討論層次的目的．

2)數(shù)形結(jié)合．如果有幾何背景以及能構(gòu)造出有關(guān)圖形，那么可利用幾何的特征和關(guān)系的討論代替分類討論，減少甚至避免討論.

3)變更主元．當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)變量且各個(gè)變量地位不相等時(shí)，可以從最簡單的一個(gè)變量入手進(jìn)行討論，這樣可減少分類討論．常用的方法有：分離參數(shù)、主元變更等.

4)直接回避．利用邏輯等其他數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)減少和避免分類討論，如運(yùn)用反證法、反面思考等方法有時(shí)可以避開煩瑣的討論．

減少甚至避免分類討論時(shí)，要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”；要注意對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)”．

2 典題剖析

2．1 恰當(dāng)分類討論，首先要理清分類的原因，確定主次關(guān)系

分類討論，首先要理清分類的原因．只有搞清為什么要分類，才能進(jìn)行分類．當(dāng)有多個(gè)對象(如字母、變量、函數(shù)等)需要分類，或討論的角度有多種情況時(shí)，更要理清分類的原因，哪些是產(chǎn)生分類的主要原因，哪些是可以避免的，選擇哪個(gè)討論對象及角度難度更?。?/p>

1)求使得等式F(x)=x2-ax+4a-2成立的x的取值范圍.

2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

分析 本題產(chǎn)生分類討論的原因有3個(gè)：1)絕對值|x-1|的分類討論；2)x2-2ax+4a-2與2|x-1|的大小的分類討論；3)參數(shù)a的變化引起的分類討論．哪個(gè)作為分類討論的主要原因呢？這要看考查的目標(biāo)，每小題是不一樣的．

x2-2ax+4a-2≤2|x-1|

的解．此時(shí)產(chǎn)生分類討論的主要原因是絕對值|x-1|的分類討論，參數(shù)a的變化引起的分類討論是次要的，從而

①當(dāng)x≤1時(shí)，不等式(1)等價(jià)于

x2-2ax+4a-2≤2-2x，

即

x2+2(a-1)(2-x)≤0，

當(dāng)a≥3時(shí)，無解；

②當(dāng)x>1時(shí)，不等式(1)等價(jià)于

x2-2ax+4a-2≤2x-2，

即

(x-2a)(x-2)≤0，

當(dāng)a≥3時(shí)，不等式(1)的解為2≤x≤2a.

因此，F(xiàn)(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為2≤x≤2a．

第2)小題由于要考慮最值情況，應(yīng)把x2-2ax+4a-2與2|x-1|的大小分類作為主要原因，結(jié)合函數(shù)f(x)=x2-2ax+4a-2與g(x)=2|x-1|的圖像位置，再加以分類討論：

圖1

如圖1，函數(shù)f(x)=x2-2ax+4a-2過定點(diǎn)A(2,2)，且點(diǎn)A在函數(shù)y=g(x)上,從而

①因?yàn)镕(x)的最小值為min{g(1),f(a)}，而g(1)=0，f(a)=-a2+4a-2，所以

②從圖1中可看出，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，F(xiàn)(x)=g(x)，此時(shí)

M(a)=g(0)=g(2)=2；

當(dāng)x∈[2,6]時(shí)，F(xiàn)(x)=f(x)，此時(shí)a≥3，從而

M(a)=max{f(2),f(6)}=max{2,34-8a}，

故

2．2 多層分類討論或多次分類討論的關(guān)鍵是“扁平化”分界點(diǎn)

當(dāng)分類討論需并列多次討論或需多層討論時(shí)，應(yīng)找出各類或各層次的分界點(diǎn)，再“扁平化”處理各分界點(diǎn)，把討論范圍分成多個(gè)部分或多個(gè)區(qū)域，再在各個(gè)部分或區(qū)域作相應(yīng)討論．

例2 解關(guān)于x的方程：(a-1)x2-(2a+1)x+a>0，其中a∈R．

1)當(dāng)a>1時(shí)，原方程的解為

評注 當(dāng)分類討論涉及多層次、多角度討論時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件綜合各層次、各角度分類的分界點(diǎn)進(jìn)行“扁平化”處理，達(dá)到簡化討論的目的，迅速做到不重不漏．當(dāng)分類討論的參數(shù)是單參數(shù)時(shí)，分界點(diǎn)按數(shù)軸劃分；當(dāng)參數(shù)是雙參數(shù)時(shí)，分界點(diǎn)按平面區(qū)域劃分．

2．3 分類討論應(yīng)盡量利用條件縮小討論范圍

有些分類討論問題可利用條件縮小討論范圍，不用全范圍討論，避開一些不必要的討論，達(dá)到簡化討論的目的，甚至避免分類討論．

例3 函數(shù)f(x)=(m-3)x3+9x在區(qū)間[1,2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)m的值．

分析 按常規(guī)分類，首先分m>3，m=3，m<3這3類；其次考慮極值點(diǎn)有無在區(qū)間[1,2]中；最后還要考慮極值點(diǎn)的函數(shù)值與2個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值大?。懻搶哟味啵菀壮鲥e(cuò)．

實(shí)際上，由最大值的含義知

從而m≤-2.當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，

f′(x)=3(m-3)x2+9<0,

于是

f(x)max=f(1)=m+6=4，

故m=-2(這樣就避免了分類討論).

評注 實(shí)施分類討論時(shí)，常常利用部分條件、隱含條件和邏輯關(guān)系縮小討論范圍，如利用最值、函數(shù)定義域、函數(shù)值域、恒成立等概念，運(yùn)用特殊與一般關(guān)系縮小討論范圍，減少不必要的討論．

2．4 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想減少甚至避免分類討論

許多分類討論問題，若直接分類討論,則將陷入運(yùn)算復(fù)雜、討論繁瑣的情況;若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，即利用圖形的直觀性、可操作性，則分類討論將簡化甚至避免，達(dá)到“柳暗花明又一村”的境界．

(2016年浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試第25題第2)小題)

圖2 圖3

2)當(dāng)0

記A(2,f1(2))，B(1,f1(1)).因?yàn)楫?dāng)x∈(1,1+a)時(shí)，

圖4 圖5

評注 本題充分利用圖像關(guān)系,替代了有關(guān)代數(shù)的討論，大大降低了討論的難度，增加了可操作性．遇到此類問題，一般首先從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)中構(gòu)造或分離出一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等基本函數(shù)，再利用函數(shù)圖像關(guān)系加以討論．

2．5 運(yùn)用變量分離思想減少甚至避免分類討論

當(dāng)含有變量的問題很難直接進(jìn)行分類討論時(shí)，可從參數(shù)角度考慮解決，運(yùn)用參數(shù)分離思想常?？梢詼p少甚至避免分類討論．對于單變量問題，常直接變量分離；對于多變量問題，常利用幾何特征進(jìn)行“相對變量分離”，運(yùn)用其幾何特征求解．

例5 已知函數(shù)f(x)=-x3-3x2+(1+a)x+b(其中a<0,b∈R)．設(shè)M(a,b)為函數(shù)y=|f(x)|在區(qū)間[-2,0]上的最大值，求M(a,b)的最小值．

分析 本題是多變量分類討論問題，若直接進(jìn)行討論，分類討論能力、推理論證能力及運(yùn)算能力要求很高，很難在較短時(shí)間內(nèi)完成．注意到本題中的ax+b是直線方程的模型，故可用“相對變量分離”解決．

由最值含義知：M(a,b)的最小值，即為|f(x)|≤m在區(qū)間[-2,0]上恒成立時(shí)m的最小值，即求x3+3x2-x-m≤ax+b≤x3+3x2-x+m在區(qū)間[-2,0]上恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)m的最小值．

記g(x)=x3+3x2-x-m，h(x)=x3+3x2-x+m，即尋找最小的實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=g(x)，y=h(x)在區(qū)間[-2,0]上的圖像能被一條直線分隔開．

圖6

函數(shù)y=h(x)的圖像均在l1的上方．

設(shè)函數(shù)y=g(x)在點(diǎn)C(x1,g(x1))處的切線為l2，且l2∥l1，即

解得

評注 變量分離法或“相對變量分離法”可以避開分類討論的鋒芒，從變量、最值、幾何等角度討論求解．“相對變量分離法”注重分離出相關(guān)的幾何模型，并運(yùn)用該幾何模型的性質(zhì)和特征求解．

3 精題集萃

1.若a>0且a≠1，設(shè)p=loga(a3+a+1)，q=loga(a2+a+1)，則p，q的大小關(guān)系是

( )

A．p=qB．p

C．p>qD．無法比較

2．已知f(x)是定義在[-4,4]上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=-x2+4x，則不等式f[f(x)]

( )

A．(-3,0)∪(3,4]

B．(-4,-3)∪(1,2)∪(2,3)

C．(-1,0)∪(1,2)∪(2,3)

D．[-4,-3)∪(-1,0)∪(1,3)

( )

4.從6人中選4人到4個(gè)城市學(xué)習(xí)游覽，每人只游覽1個(gè)城市，且這6人中甲、乙2人不去丙城市學(xué)習(xí)游覽，則不同的選擇方案共有________.

5.設(shè)a，m∈R，集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=A，A∩C=C，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______，實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.

6.已知實(shí)數(shù)x滿足|x|≥2且x2+ax+b-2=0，則a2+b2的最小值為______.

參 考 答 案

1．C 2．D 3．A

7．(-∞,0)

8．解 當(dāng)n=1時(shí)，

又an>0，從而a1=7．

即

(an+an-1)(an-an-1-2)=0.

又an>0，從而

an-an-1=2,

于是

an=2n+5,

當(dāng)n≤3時(shí)，

Tn= 7+…+2n+5-(2+…+2n)=

n2+6n+2-2n+1.

當(dāng)n>3時(shí)，

Tn= 5+5+3+24+…+2n-(13+…+2n+5)=

2n+1-n2-6n+24,

因此

9．解 將參數(shù)a作為主變量可避免分類討論.

h′(x)=3x2-x3=x2(3-x),

從而h(x)在[2,3]上的最小值為4,于是g(a)的最小值為4．

圖7 圖8

2017-01-27；

2017-02-25

馮海容(1974-)，男，浙江黃巖人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育．

O122

A

1003-6407(2017)05-32-06