一個(gè)優(yōu)美不等式的證明及推廣*

●袁一丹(桐廬中學(xué) 浙江桐廬 311500)●施剛良(德清縣第三中學(xué) 浙江德清 313201)

一個(gè)優(yōu)美不等式的證明及推廣*

●袁一丹
(桐廬中學(xué) 浙江桐廬 311500)
●施剛良
(德清縣第三中學(xué) 浙江德清 313201)

文章利用代數(shù)和三角證法證明了安振平老師提出的第6個(gè)不等式，并找到了此題命制的三角背景，最后借助代數(shù)證法對(duì)第6個(gè)不等式作了相應(yīng)的推廣，并給出它的下界.

凹凸性；柯西不等式；代數(shù)法；三角法

安振平老師在文獻(xiàn)[1]中提出了26個(gè)優(yōu)美不等式供有興趣的讀者研討，此后得到了全國各地不等式愛好者的積極響應(yīng).筆者對(duì)第6個(gè)不等式產(chǎn)生了好感，陷入深思并反問自己：這是個(gè)代數(shù)不等式，應(yīng)該可以用代數(shù)法證明吧？

在證明此不等式之前，先給出以下引理.

x2y2+y2z2+z2x2+2xy2x+2yz2x+2zx2y≥3(xy2x+yz2x+zx2y)=3xyz(x+y+z)=3xyz.

同理可得

于是

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長的.”考慮到一些代數(shù)不等式往往可以用三角加以轉(zhuǎn)化，聯(lián)想到已知條件“x,y,z是正實(shí)數(shù)，且滿足x+y+z=1”，于是設(shè)

著名數(shù)學(xué)家波利亞又說過：“沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.”盡管三角證法非常簡潔和優(yōu)美，但與代數(shù)證法相比，后者更有味道——蘊(yùn)含著新的結(jié)果，根據(jù)上面的引理1，結(jié)合代數(shù)證法的過程，筆者發(fā)現(xiàn)還可以將第6個(gè)不等式加以推廣：

推廣1 設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù)，且滿足x+y+z=1，則

利用幾何平均不等式可知

綜合上面的討論，得到了如下更加優(yōu)美的不等式：

推廣2 設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù)，且滿足x+y+z=1，則

[1] 安振平.二十六個(gè)優(yōu)美的不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2010(1/2)：136.

2017-02-20；

2017-03-21

袁一丹(1981-)，女，浙江桐廬人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)05-31-02