一分一合一世界 一題一課現(xiàn)多元*
——例談解題教學(xué)樣題的功能

●王姣慧(仁愛中學(xué) 浙江寧波 315200)

一分一合一世界 一題一課現(xiàn)多元*
——例談解題教學(xué)樣題的功能

●王姣慧
(仁愛中學(xué) 浙江寧波 315200)

文章以一道優(yōu)秀的樣題為載體，按照分拆和組合圖形的路線，凸顯了函數(shù)應(yīng)用的過程，讓函數(shù)的思想在樣題的教學(xué)中自然而然的孕育、生長.

識圖;知圖;用圖;組合;分拆

1 問題提出

波利亞曾在《怎樣解題》中強(qiáng)調(diào)“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”[1].為了加強(qiáng)對初中數(shù)學(xué)課堂解題教學(xué)的研究，切實(shí)提高課堂教學(xué)效果，筆者參與了本區(qū)開展的“一題一課、自主編題”課堂教學(xué)評比活動的觀摩和評比，活動要求：1)圍繞指定的“一題”設(shè)計一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，使整課能體現(xiàn)思想或方法上的某一主題，課題可自擬；2)教學(xué)設(shè)計中要有“學(xué)生自主編題”的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生不僅能分析與解決問題，并能提出問題；3)課堂教學(xué)中要充分體現(xiàn)“以生為本”的理念，以多種方式展開教學(xué).

圖1

本次活動以某地的中考題或課后練習(xí)題為載體，要求選手設(shè)計用于課堂例題教學(xué)的一堂課(40分鐘)，文稿標(biāo)題由教師自定，體例不做統(tǒng)一要求，以便于教師創(chuàng)新和發(fā)揮，充分表現(xiàn)自己的課堂設(shè)計特色和風(fēng)格.本文的“一題”以2010年浙江省紹興市數(shù)學(xué)中考試題第7題為例(記為例1，亦即本文的樣題)，授課對象是八年級學(xué)生，筆者擬與大家一起探討解題教學(xué)中如何充分展示樣題的功能、如何突破解題教學(xué)的針對性和拓展性.

例1 一輛汽車和一輛摩托車分別從A地、B地去同一城市，它們離A地的路程隨時間變化的圖像如圖1所示，則下列結(jié)論錯誤的是

( )

A．摩托車比汽車晚到1 h

B．A地、B地之間的路程為20 km

C．摩托車的速度為45 km/h

D．汽車的速度為60 km/h

(2010年浙江省紹興市數(shù)學(xué)中考試題第7題)

2 獲獎?wù)n例整合

2.1 理解問題

教學(xué)目標(biāo)：1)經(jīng)歷利用函數(shù)圖像獲取信息的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識，發(fā)展學(xué)生形象思維能力；2)初步體會函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系，構(gòu)建良好的知識聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；3)經(jīng)歷從不同角度去觀察、分析、思考、體驗(yàn)解決問題的多樣性的過程，獲得成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)習(xí)的信心.

教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用一次函數(shù)的圖像解決實(shí)際問題.

教學(xué)難點(diǎn)：圖像信息的挖掘及應(yīng)用.

2.2 制定計劃

2.2.1 識圖——信息挖掘的基礎(chǔ)

一輛汽車從A地去城市C，它離A地的路程隨時間變化的圖像如圖2所示.

問題 1)橫軸表示什么？2)縱軸表示什么？3)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)是什么？4)從圖像中能得到哪些信息(AC距離180 km；汽車的速度為60 km/h；S=60 t)？

圖2圖3圖4圖5

練一練 1)一輛汽車從B地去C地，它離A地的路程隨時間變化的圖像如圖3所示;

2)一輛汽車從A地去C地，它離A地的路程隨時間變化的圖像如圖4所示;

3)一輛汽車從C地回A地，它離A地的路程隨時間變化的圖像如圖5所示.

從這些圖像中你能得到哪些信息？

2.2.2 知圖——建立聯(lián)想的關(guān)鍵

觀察圖1和圖2～5，說說圖1與后幾個圖的聯(lián)系與區(qū)別(出發(fā)點(diǎn)、出發(fā)時間、運(yùn)動狀態(tài)、實(shí)際意義)？

2.3 實(shí)施計劃

2.3.1 分拆——尋找解題的鑰匙

觀察圖1，說說圖1的組成？(圖1可看做圖2與圖4的組合，這是行程問題中的追擊問題)剛才得到的圖像信息成立嗎？你還能得到哪些新的結(jié)論呢？

對于例1，分析圖像可知：

1) 4-3=1，摩托車比汽車晚到1 h，故選項(xiàng)A正確；

2)因?yàn)槠嚭湍ν熊嚪謩e從A地、B地去同一城市，從y軸上可看出A地、B地的路程為20 km，故選項(xiàng)B正確；

3)摩托車的速度為(180-20)÷4=40 km/h，汽車的速度為180÷3=60 km/h，故選項(xiàng)C錯誤；

4)根據(jù)汽車出發(fā)1 h后行駛60 km，摩托車出發(fā)1 h后行駛40 km，加上圖像所示的20 km差距，則2輛車行駛的距離相等，此時距B地40 km，故選項(xiàng)D正確；

5)根據(jù)圖像可得出2輛車是勻速行駛，故例1的答案是C．

策略總結(jié) 遇到圖像類的行程組合問題，一般先分拆——分析清楚單個圖像的性質(zhì)和特征，然后再組合——分析在組合圖形中你還能得到哪些新的結(jié)論.

2.3.2 用圖——完善問題的導(dǎo)向

圖6

例2 甲、乙2輛汽車分別從A地、B地同時出發(fā)，沿同一條公路相向而行，乙車出發(fā)1 h后休息，與甲車相遇后，繼續(xù)行駛．設(shè)甲，乙2輛車與B地的路程分別為S甲(km)，S乙(km)，甲車行駛的時間為t(h)，S甲，S乙與t之間的函數(shù)圖像如圖6所示.結(jié)合圖像解答下列問題：

1)乙車休息了______h；

2)求乙車與甲車相遇后S乙與t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍；

3)當(dāng)2輛車相距40 km時，直接寫出t的值．

(2014年吉林省數(shù)學(xué)中考試題第22題)

借助上述解題策略，你能解決例2嗎？通過一次函數(shù)圖像信息來呈現(xiàn)的行程問題，可通過準(zhǔn)確識圖，從圖像中獲取有效信息進(jìn)行加工、處理和整理，將圖像信息與實(shí)際數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，理清變量之間的關(guān)系，通過合理建模解決實(shí)際問題.

2.3.2 欣賞——感受考題的智慧

以下展示的是幾道中考試題圖像(如圖7～9所示),欣賞其結(jié)果，感受命題思路(具體題目略)，意在突破不同角度去觀察、分析、思考、體驗(yàn)甚至欣賞解決問題的多樣性，真正做到舉一反三，樹立學(xué)習(xí)的信心,獲得成功的體驗(yàn).

1)

圖7

(2013年湖北省鄂州市數(shù)學(xué)中考試題第20題)

2)

圖8

(2014年福建省泉州市數(shù)學(xué)中考試題第24題)

3)

圖9

(2014年新疆建設(shè)兵團(tuán)數(shù)學(xué)中考試題第23題)

2.3 組合——呈現(xiàn)編題的精彩

師：下面請同學(xué)們利用所學(xué)的知識，以4人小組為單位進(jìn)行編題，要求：1)任選2個圖像組合；2)題目完整；3)編完題目后要有解答過程.

教師投影展示部分學(xué)生的成果，如圖10～13所示.

圖10 圖11 圖12 圖13

2.4 回顧與反思

2.4.1 反思知識點(diǎn)和思想方法

一次函數(shù)自述：大家好，我是一次函數(shù)圖像，我在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用(不光光是行程問題哦).有時候我會一個人出現(xiàn)，但更多的時候我會和我的兄弟姐妹一起出現(xiàn).當(dāng)遇到我的時候，你們可幸運(yùn)了——可以從橫軸、縱軸實(shí)際含義、關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)等方面來認(rèn)識我，也可以請待定系數(shù)法來求解析式.當(dāng)我跟我的兄弟姐妹同時出現(xiàn)時，情況可就復(fù)雜了，這時候你們可要擦亮眼睛，把我們一個個地分離出去并辨認(rèn)清楚，有時候還得請方程來幫忙求出交點(diǎn)坐標(biāo).最后祝愿大家?guī)е活w進(jìn)取的心，走向?qū)儆谧约旱哪且黄澜纾?/p>

2.4.2 反思整個教學(xué)過程

樣題教學(xué)注重對解題過程、解題結(jié)果及知識和思想方法的反思，同時關(guān)注對題目變式的回顧，此案例中反思編題環(huán)節(jié)是對學(xué)生能力的挑戰(zhàn)和提升.當(dāng)然本案例的探究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)未結(jié)束，我們的思考也還在繼續(xù)，如將橫縱軸改為V-S圖或單價總量圖，將直線型改為折線等.

3 一分一合一世界，一題一課現(xiàn)多元

3.1 樣題應(yīng)凸顯過程

凸顯過程，就是讓學(xué)生經(jīng)歷知識技能的產(chǎn)生發(fā)展，經(jīng)歷問題分析、解決、反思過程，經(jīng)歷情境遷移、產(chǎn)生共鳴的過程.好的樣題應(yīng)充分展示這些過程，就必須原汁原味、典型，應(yīng)用它能讓學(xué)生體會到水到渠成的數(shù)學(xué)“自然之美”.函數(shù)應(yīng)用題取材廣泛，貼近實(shí)際生活，蘊(yùn)含的信息豐富，它已經(jīng)成為中考命題者的青睞對象.本節(jié)課所選樣題以一次函數(shù)圖像為載體，按照識圖、分拆、用圖、組合圖形的路線，凸顯了函數(shù)應(yīng)用的過程，讓函數(shù)的思想在樣題的教學(xué)中自然而然地孕育、生長.

3.2 樣題的人文關(guān)懷

在樣題選擇過程中，教師關(guān)注學(xué)生的“四基”較多，往往選擇必考?？碱}、易錯題或者適當(dāng)?shù)碾y題.在教學(xué)中，也會針對學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，解決問題，但往往會忽略最基本的人文關(guān)懷——問題背景大多以傳統(tǒng)的行程問題為主，少有與學(xué)生生活息息相關(guān)的問題情境，中考題也是如此.

3.3 樣題應(yīng)展示個性

本課例的亮點(diǎn)在于學(xué)生編題，學(xué)生編題源于對樣題的理解和模仿，活動設(shè)置本身充分展示了學(xué)生的個性，諸如生活中的分層納稅、醫(yī)療保險、出租車計費(fèi)等問題情境都可能出現(xiàn)，教師在小結(jié)中對此表示肯定.筆者認(rèn)為，個性化即創(chuàng)造，函數(shù)的個性、教師的個性、學(xué)生的個性才是我們學(xué)習(xí)的真諦，若干年后，我們最能記得的往往是個性化的人或事.

3.4 樣題應(yīng)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法

每一個知識模塊，都有相輔相成的思想方法，如數(shù)的計算化簡、式的變形化簡、方程的轉(zhuǎn)化等[2]，都可以通過樣題來提煉升華.函數(shù)以它的綜合性見長，用圖像來說話，如文中的樣題(例1)就以圖像為載體，教學(xué)也按照識圖、分拆、用圖、組合圖形的路線為主線，順理成章.

3.5 樣題應(yīng)彰顯理性思維和數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)

中央民族大學(xué)孫曉天教授說：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以普遍遷移，廣泛輻射，終身受益.學(xué)了數(shù)學(xué)，但后來可能很多知識都忘記了，留在你的腦海里那個東西大概就叫素養(yǎng)，它不能通過灌輸，主要是教師的引導(dǎo)、學(xué)生的經(jīng)歷和體驗(yàn)，所以數(shù)學(xué)素養(yǎng)要真正變成學(xué)生的‘素養(yǎng)’，一定要伴隨課堂教學(xué)方式的改變.”若要幫助學(xué)生學(xué)會思考問題、拓展學(xué)生的“思維空間”，讓推理和證明成為學(xué)生的一種學(xué)習(xí)方式、理解方式，則樣題的“數(shù)學(xué)味”必須濃厚.

調(diào)查顯示:學(xué)生幸福感的第一來源是“豐富多彩的活動”，學(xué)生最喜歡的學(xué)習(xí)方式是同學(xué)之間的互相討論，其次才是教師提問自己表達(dá)，排在第3位的是利用圖書館、網(wǎng)絡(luò)等資源學(xué)習(xí)，喜歡完全聽教師講課的學(xué)生所占比例不到10%.在解題教學(xué)中,樣題的選擇也應(yīng)如此，既要考慮知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，還要考慮知識技能的形成、數(shù)學(xué)思考的探索，甚至問題解決的優(yōu)化、情感態(tài)度的養(yǎng)成，乃至整個數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升.

[1] 馬波.中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究[M].北京:北京師范大學(xué)出版社, 2011．

[2] 張奠宙,丁傳松,柴俊.情真意切話數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2011．

2017-03-02；

2017-03-30

王姣慧(1975-)，女，浙江諸暨人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123

A

1003-6407(2017)05-09-03