例說分類討論方法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

陳軍勝

摘 要：在研究數(shù)學(xué)問題中常常需要通過分類討論解決問題，本文從滲透在教材中的分類思想出發(fā)，結(jié)合例題闡述了分類討論的思想方法中分類的原則、分類討論的步驟和分類討論的應(yīng)用，體現(xiàn)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用和地位。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；原則；步驟；初中數(shù)學(xué)中的分類討論；分析；評(píng)注

在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常遇到同一問題出現(xiàn)不同情形的情況，處理此類問題，需要我們對(duì)問題按類別分出幾種不同的情況，然后逐一加以解決.這種解決問題的方法體現(xiàn)的就是我們數(shù)學(xué)中的分類討論思想.本文擬對(duì)初中數(shù)學(xué)分類討論方法通過例題作一研究和分析，以饗讀者。

一、分類討論的原則

解決分類討論問題，必須弄清楚分類的方法和原則，要考慮研究對(duì)象的特征，依據(jù)問題出現(xiàn)的不同情形，劃分為不同類型加以分析和研究.一般來說，分類時(shí)必須遵循以下原則：一是分類中的每個(gè)分支是相互獨(dú)立的，不能有重復(fù)情況出現(xiàn)；二是分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能有遺漏情況出現(xiàn)；三是分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行。

二、分類討論的步驟

第一、確定研究對(duì)象的整體范圍；第二、確定分類標(biāo)準(zhǔn)，合理地進(jìn)行分類；第三、逐級(jí)對(duì)所分類別進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果；第四、綜合各級(jí)結(jié)果，得出最終結(jié)論。

三、初中數(shù)學(xué)中的分類討論

初中數(shù)學(xué)分類討論的知識(shí)點(diǎn)有三大類：一是代數(shù)類。如絕對(duì)值、方程及根的定義，函數(shù)的定義以及點(diǎn)（坐標(biāo)不確定）所在象限等.二是幾何類.如各種圖形的位置關(guān)系，未明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的全等或相似的可能對(duì)應(yīng)情況等.三是綜合類：代數(shù)與幾何類分類情況的綜合運(yùn)用。 下面通過一些例題來說明初中數(shù)學(xué)中常見的幾種分類討論思想。

（一）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行分類討論

例1.如果|x|=2015，|y|=4，且x

分析：此題的問題是求x、y的值，但由于2015和-2015的絕對(duì)值都等于2015，4和-4的絕對(duì)值都等于4，所以要注意分類討論，由限制條件x

解：因?yàn)閨x|=2015，所以x=2015或x=-2015；

因?yàn)閨y|=4，所以y=4或y=-4；

由于x

（二）根據(jù)等腰三角形中的隱含條件進(jìn)行分類討論

1.在等腰三角形中求邊：等腰三角形中，對(duì)給出的邊可能是腰，也可能是底邊，所以我們要進(jìn)行分類討論

例2.已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長(zhǎng)等于16或17.

評(píng)注：此題是從等腰三角形中腰的不確定性進(jìn)行分類的

2.在等腰三角形中求角：等腰三角形的一個(gè)角可能指底角，也可能指頂角，所以必須分情況討論

例3.已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為75°則其頂角為 30°或75

評(píng)注：此題是從等腰三角形中頂角的不確定性進(jìn)行分類的

3.由于等腰三角形的腰與底不確定而進(jìn)行的分類

例4.在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A（1，1）在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P，使得△AOP為等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)共有8個(gè)。

分析：由于等腰三角形的腰與底不確定，往往存在三種情況，這里體現(xiàn)了分類討論的思想，△AOP的三邊兩兩分別相等，①OA=OP，②AO=AP，③PO=PA，這個(gè)過程需要在備用圖中試畫“兩圓一線”。只有畫出來才能求出來，所以這一步在整個(gè)問題中是相當(dāng)關(guān)鍵的，注意不要重復(fù)和遺漏。

（三）根據(jù)相似三角形中的隱含條件進(jìn)行分類討論

1.針對(duì)對(duì)應(yīng)邊不確定而進(jìn)行的分類

例5.如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3、4及x，那么x的值為

解析：當(dāng)直角邊為6，8時(shí)，且另一個(gè)與它相似的直角三角形3，4也為直角邊時(shí)，x的值為5，當(dāng)8，4為對(duì)應(yīng)邊且為直角三角形的斜邊時(shí)，x的值為，故x的值可以為5或.兩種情況。

2.針對(duì)應(yīng)角不確定而進(jìn)行的分類

例6. 如圖3，∠A=50°，∠B=60°，一直線l與△ABC的邊AC、AB邊相交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，當(dāng)∠ADE為多少度時(shí)，△ABC與△ADE相似。

分析：顯然∠C=70°，∠A是△ABC和△ADE的公共角，如果∠ADE等于∠C或∠B，那么△ABC與△ADE相似.

解：（1）當(dāng)∠ADE=∠C=70°時(shí)，△ABC∽△AED.

（2）當(dāng)∠ADE=∠B=60°時(shí)，△ABC∽△ADE.

所以當(dāng)∠ADE等于70°或60°時(shí)△ABC與△ADE相似.

3.針對(duì)圖形的位置不確定而進(jìn)行的分類

例7、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t<6），連接DE，當(dāng)△BDE與△ABC相似時(shí)，t的值為2或3.5或4.5 。

分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的長(zhǎng)，由D為BC的中點(diǎn)，可求得BD的長(zhǎng)，然后分別從若∠DBE=90°與若∠EDB=90°時(shí)，去分析求解即可求得答案.

（四）根據(jù)圓中的隱含條件進(jìn)行分類討論

1.圓周角的頂點(diǎn)位置不確定需分類

例8、在半徑為5cm的⊙O中，弦AB=5cm，點(diǎn)C是⊙O上任意一點(diǎn)（不與A、B重合）。則∠ACB=30°或150°。

解析：一般地，弦的兩個(gè)端點(diǎn)分圓所成的兩條弧一條為優(yōu)弧，一條為劣弧。當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，∠ACB=30°；當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，∠ACB=150°.

2.兩平行弦相對(duì)于圓心的位置不確定需分類

例9、已知⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，弦CD=6cm，且AB∥CD，則AB和CD之間的距離為1cm或7cm .

解析：分弦AB、CD在圓心O的同側(cè)和異側(cè)兩種情況計(jì)算.

解析：分兩圓心在公共弦的同側(cè)和異側(cè)兩種情況計(jì)算.

值得一提的是，分類討論思想涉及初中數(shù)學(xué)的全部知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)，按可能出現(xiàn)的所有情況做到準(zhǔn)確分類，再分別加以求解，最后將各類結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。