AASL策略透視代數(shù)應用情境的數(shù)學本質(zhì)

田獻增++魏淑玲?お?

【摘要】代數(shù)應用題是中小學數(shù)學主流問題、難點課題，是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要素材.AASL策略通過引入核心概念“基本數(shù)量關系”，借助分類思想，給出了揭示其數(shù)學本質(zhì)的普適性方法，詮釋了《課標》問題解決中有關模塊的“基本方法”.

【關鍵詞】AASL策略；數(shù)學本質(zhì)；基本數(shù)量關系；核心素養(yǎng)；基本方法

問題解決是數(shù)學的核心問題[1].在中小學數(shù)學中，代數(shù)應用題是問題解決的主流問題.“‘怎樣解數(shù)學應用題是從小學就開始的一個難點課題”[2].其根源或許是缺少系統(tǒng)完整的揭示承載具體問題的代數(shù)應用情境數(shù)學本質(zhì)的程序和方法.田獻增老師以教育數(shù)學[3]思想為指導，構建的“代數(shù)應用情境學習策略”[4，5]（即：Algebra Application Situation Learning Strategy.為敘述方便，下文簡稱“AASL策略”，《中國數(shù)學教育》2014年第12期中稱之為“DYQ學習策略”），從揭示數(shù)學本質(zhì)出發(fā)，構建了系統(tǒng)完整的中小學應用題審題方法，使八成左右的應用題審題方法統(tǒng)一了起來[5].

1數(shù)學本質(zhì)與代數(shù)應用情境的數(shù)學本質(zhì)

1.1數(shù)學本質(zhì)

對于數(shù)學本質(zhì)的認識，數(shù)學家、數(shù)學哲學家一直沒有統(tǒng)一的結論[6].張奠宙教授認為，數(shù)學本質(zhì)即數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學規(guī)律的形成過程、數(shù)學思想方法的提煉和數(shù)學理性精神的體驗.數(shù)學本質(zhì)的多元性[6]決定了數(shù)學本質(zhì)有廣義與狹義、整體與局部之分.張景中院士認為，小巧一題一法，固不應提倡，大巧法無定法，也確實太難，實時提倡“中巧”.所謂中巧，就是能有效地解決一類問題的算法或模式.如果沒有中巧，就要靠數(shù)學家研究創(chuàng)造一些“中巧”.筆者認為之所以“中巧”可以解決同類問題，原因是這一類題目的數(shù)學本質(zhì)是相同的.

1.2代數(shù)應用情境的數(shù)學本質(zhì)

不可置疑，代數(shù)應用情境的數(shù)學本質(zhì)是情境中的數(shù)量關系.這是因為，同一個代數(shù)應用情境中，問題是可變的，已知數(shù)和未知數(shù)是可變的，解決的具體問題需要的純數(shù)學理論知識是可變的，而代數(shù)應用情境中的數(shù)量關系是不變的.

另外，解決同一個代數(shù)應用情境的同一個問題時，不同模型獲得的分析過程（或解決同一類代數(shù)應用題時，模型獲得的分析過程）是可以同構的，揭示其“共性”或“規(guī)律”的方法是具有共性的，也就是說揭示該類代數(shù)應用情境的數(shù)學本質(zhì)應是具有“通式通法”的.

但縱觀代數(shù)應用題的教學設計和學生的學習過程可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)學理論體系中往往關注的是純數(shù)學知識，如方程、方程組、不等式、函數(shù)等等；對揭示“代數(shù)應用情境”數(shù)學本質(zhì)的方法，雖然前人已經(jīng)做了大量的工作，但似乎還可以從更高的角度，利用已有的成果構建概念更直觀、邏輯結構更簡單、方法更有力的通用工具[7]，以此揭示代數(shù)應用情境的數(shù)學本質(zhì).

2AASL策略的內(nèi)涵

自上世紀八十年代末，張景中院士提出了教育數(shù)學思想，在教育數(shù)學思想的影響下，涌現(xiàn)出了大批優(yōu)秀成果.針對中小學數(shù)學應用題的審題環(huán)節(jié)建構的AASL策略就是其代表之一.它包含以下要點：

（1）該策略根據(jù)應用題中常見“關鍵詞”，把數(shù)學語言劃分成三類，即：數(shù)量的大小比較、數(shù)量的倍分比、數(shù)量的大小比較和倍分比，并明確了每一類數(shù)學語句的分析方法.

（2）該策略根據(jù)代數(shù)應用題中常見的數(shù)量關系的呈現(xiàn)形式、應用方法，將數(shù)量關系分為直譯型數(shù)量關系、基本數(shù)量關系、公式型數(shù)量關系；并在此基礎上，給出了清晰的識別標準、系統(tǒng)完整的分析模式和程序.

（3）該策略抓住行程問題的“動態(tài)”特點，引入了“運動過程圖”概念，明確規(guī)范了運動過程圖的畫法，突破了理解行程問題的瓶頸.

（4）該策略針對在生活數(shù)學情境中，廣泛存在且具有本原性特點的、形如“a×b=c”的數(shù)量關系，引進了“基本數(shù)量關系”的概念，將普遍存在的類似于“速度×時間=路程”、“單價×數(shù)量=總價”、“工作效率×工作時間=工作量”等數(shù)量關系給予統(tǒng)一.針對新概念——“基本數(shù)量關系”具有反復應用的特點，引入了“分類思想”，給出了具有“大眾化”特點的、本原性方法——“分類列表”的通用模式.

（5）該策略針對數(shù)量關系存在的形式，重新明確了應用題的分類標準.將中小學代數(shù)應用題分為——“直譯型”、“基本數(shù)量關系型”和“公式型”應用題.對于每一類應用題，為學生提供了清晰的識別標準和審題方法，使每一類問題的審題有了明確的突破口.

該策略共分五個模塊，即“怎樣分析數(shù)學語句”、“怎樣分析數(shù)量關系”、“怎樣畫運動過程圖”、“基本數(shù)量關系與分類列表”、“數(shù)學建模程序介紹”，按照先分后總的思路，介紹了獲得數(shù)學模型“前期”的首要方法和技能.（詳見文[4]）

AASL策略解決的問題是中小學應用題的審題或分析題意的過程和方法，其核心概念是“基本數(shù)量關系”，核心方法是根據(jù)基本數(shù)量關系“分類列表”.它是解答代數(shù)應用題前期必備的“基礎知識”、“基本技能”和“首要方法”.

3AASL策略與代數(shù)應用情境的數(shù)學本質(zhì)

下面結合2015年浙江省紹興市中考數(shù)學試題第16題說明如下：

3.1引例圖1

實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1∶2∶1，用兩個相同的管子在容器的5cm高度處連通（即：管子底端離容器底5cm），現(xiàn)三個容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如圖1所示.若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升56cm，則開始注入分鐘的水量后，甲與乙的水位高度之差是05cm.

說明本題背景來源于學生熟悉的實驗室里連通器，因此給人們的第一感覺是一道學科綜合性問題.分析題意時容易想到物理學中的“壓強”、“毛細現(xiàn)象”、“連通器原理”等.之所以出現(xiàn)這樣的偏差，或許與古今中外在數(shù)學教育中，缺少揭示代數(shù)應用情境數(shù)學本質(zhì)方法上的研究有直接關系.

3.2AASL策略透析引例的數(shù)學本質(zhì)

算術法由“開始注水1分鐘，乙的水位上升56cm”可想到本題含有基本數(shù)量關系：“1分鐘升高的高度×分鐘數(shù)=升高總高度”，因此本題屬于“基本數(shù)量關系型”問題，可套用“AASL策略”的核心方法“分類列表”進行分析.過程如下.

首先，由基本數(shù)量關系“1分鐘升高的高度×分鐘數(shù)=升高總高度”知，本題是“基本數(shù)量關系型”問題.

其次，根據(jù)題中“底面半徑之比為1∶2∶1”等信息可知，本題與圓柱的體積公式有關，所以準確回憶圓柱的體積公式——V=πr2h是必經(jīng)的審題過程.

結合基本數(shù)量關系可知，需要考慮甲、乙、丙三管“1分鐘升高的高度”.

設甲、丙兩管的半徑都為1，乙管半徑為2，則圓柱體積分別為

V甲（丙）=πh，V乙=4πH.

若把V看做一分鐘注水量，則由比例可知h∶H=4∶1，因此甲、丙兩管分別注水1分鐘水位升高的高度都是乙管的4倍，即56×4=206cm.

另外，由題意知，丙管外溢后，乙管注水1分鐘水位升高的高度應為：56×2=106cm.

乙外溢后，注水1分鐘甲管水位升高的高度是406cm.

因丙、乙兩管存在外溢的事實，所以需要考慮乙、丙外溢時的有關數(shù)量.也就

是說審題時需要注意丙、乙外溢時兩個節(jié)點.

由“甲與乙的水位高度之差是05cm”可知，本題需借助分類思想進行分類討論（即“甲比乙高05cm”和“乙比甲高05cm”兩種情況）.因給出的情境是學生熟知的實驗室連通器.從宏觀上看，需要考慮乙管外溢前和乙管外溢后兩種情況，而乙管外溢前又需考慮“甲比乙高05cm”和“乙比甲高05cm”兩種情況.對于乙管外溢后的情形，只需考慮“乙比甲高05cm”的情形.最后，結合基本數(shù)量關系分類列表如表1：表1

綜合上述可得算術法解題過程.（下略）

說明：（1）表1框中算式均由同行中另外兩數(shù)或算式相乘或相除得到.除此之外，表中下劃線數(shù)據(jù)均來源于表中前面已經(jīng)計算獲得的數(shù)據(jù).（2）表1是在基本數(shù)量關系導引下，結合數(shù)學中的“分類思想”完成的.利用表1同樣可以獲得方程法、函數(shù)法等.

方程法1當表1中相應階段對應的時間設為xmin時，（注意：表2中每一行中的x的含義是不同的），且將水管“升高高度”利用“1分鐘升高的高度”與x表示后，填表如下.

結合題意和表3可得本題的另一種方程解法.（下略）

函數(shù)法用函數(shù)的觀點看，設x min后甲、乙兩管的水位高度分別為y甲（cm）、y乙（cm），同樣可以利用表3，分別建立函數(shù)關系式，然后根據(jù)對應的函數(shù)值求自變量x即可.（下略.利用表2，也可得函數(shù)解法）

3.3對代數(shù)應用情境的數(shù)學本質(zhì)思考

從引例不同解法的分析過程可以看出：

（1）上述表格結構是完全相同的，不同之處是數(shù)據(jù)填寫方法或處理數(shù)據(jù)的方法.

（2）對于同一類方法（算術法、方程法或函數(shù)法）呈現(xiàn)的數(shù)學模型之所以不同，原因是對同一張表格中的數(shù)據(jù)，加工處理的方法不同.

（3）對于函數(shù)法來說，表中數(shù)據(jù)與方程法表中的數(shù)據(jù)完全相同，不同的是分別運用了方程思想、函數(shù)思想.

（4）從（3）中看出，數(shù)學理論層次不同，導致表格中數(shù)據(jù)的填寫順序、處理方式也不盡相同，但本質(zhì)是相同的.

（5）對于復雜的問題，在分析實際問題時，常常需要邊建模、解模，邊填寫表格中數(shù)據(jù)（如表1中的帶有下劃線數(shù)據(jù)，表3中的數(shù)據(jù)②③）.

（6）事實上，算術法、方程法或函數(shù)法對應的數(shù)學模型又分別可有若干種，但從分析題意或審題的角度看，這些不同的方法都可在基本數(shù)量關系的引領下，運用“分類思想”進行分類列表實現(xiàn).

類比引例不難得出：對于同一個代數(shù)應用題，不管利用什么樣的數(shù)學模型解決，分析題意的方法是可以統(tǒng)一的；事實上，對于同一類代數(shù)應用題，不管利用什么樣的數(shù)學模型解決，分析題意的方法同樣是可以統(tǒng)一的.顯然，要獲得這一通式通法的前提，必須抓住承載具體問題的代數(shù)應用情境數(shù)學本質(zhì).4AASL策略價值分析

4.1AASL策略是人們生活經(jīng)驗的積累，是對已有成果的發(fā)展與整合

“數(shù)學既不像有些數(shù)學家所認為的是同經(jīng)驗無關的純邏輯體系，也不完全是經(jīng)驗的總結.”[6]“凡吾人之一切知識，皆以經(jīng)驗始.（康德語）”AASL策略也不是無源之水、無本之木，同樣是將人們的生活經(jīng)驗（如案例清點人民幣.見文[5]）提煉為非傳統(tǒng)意義上的數(shù)學方法，是對已有成果的改造與整合.

4.2AASL策略是對中小數(shù)學教學難點的突破

因為AASL策略引入核心概念“基本數(shù)量關系”后，借助核心方法“分類列表”，同構了80%左右的應用題或問題解決的審題方法.其核心概念和核心方法是“從平凡之處尋求的創(chuàng)新”，通過新定義新概念，提出的新問題新技巧，建立的新方法新體系.起點低，觀點高，適宜從義務教育階段的低年級開始滲透施教，在高年級強化訓練，小學階段系統(tǒng)掌握，在初中階段當做數(shù)學“工具”使用.這無論從學生學習數(shù)學的時間、精力上考慮，還是從學生對數(shù)學學習心理上考慮，在數(shù)學教育中，或將產(chǎn)生積極的意義和影響.

4.3AASL策略是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑

在2014年3月教育部印發(fā)的《關于全面深化課程改革、落實立德樹人根本任務的意見》中，明確把“核心素養(yǎng)”作為各學科課程目標和教學要求的重要依據(jù).因為“數(shù)學素養(yǎng)”與“閱讀素養(yǎng)”、“科學素養(yǎng)”并列成為PISA測試的三大領域，因此數(shù)學學科在提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)中顯得尤為重要.

目前，對于數(shù)學核心素養(yǎng)的表述，盡管有所不同，但通過“數(shù)學建?！薄ⅰ澳Ｐ退枷搿卑l(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是大家的共識.從這個角度看，AASL策略的構建，對于在中小學數(shù)學教學或學習中，落實教育部《意見》，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)也將產(chǎn)生積極的作用.

4.4AASL策略是對《課標》問題解決中相關模塊的基本方法的嘗試說明

我們知道，義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）首次要求“使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型…的過程”、“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法”等等.因為AASL策略給出的是解決實際問題、構建數(shù)學模型的普適性方法，所以從某種意義上說，AASL策略用教育數(shù)學的思想詮釋了《標準》問題解決中相關模塊的基本方法[5].

參考文獻

[1]喻平.數(shù)學問題解決認知模式及教學理論的研究[D].南京：南京師范大學，2002，2.

[2]羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版，2016.

[3]張景中，曹培生.從數(shù)學教育到教育數(shù)學[M].北京：中國少年兒童出版社，2005.

[4]田獻增.數(shù)學慧眼[M].成都：電子科技大學出版社，2013.

[5]田獻增，李忠海.大道至簡，悟者天成[J].中國數(shù)學教育.2014（12）：1-5.

[6]曹一鳴.從數(shù)學本質(zhì)的多元性看數(shù)學教育的價值[J].中國教育學刊，2005，2.

[7]張景中.什么是教育數(shù)學[J].高等數(shù)學研究，2004，2：2-6.

[8]義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京師范大學出版社.2012.

作者簡介田獻增（1963—），男，山東日照人，中學高級教師，AASL策略創(chuàng)始人.主要研究教材教法、代數(shù)應用題等.著有《數(shù)學慧眼》、《中考數(shù)學十大突破》等.