趣味“海盜分寶石”問題的數(shù)學(xué)建模

孫慧

【摘要】文章介紹了數(shù)學(xué)建模的一般賽事，介紹了什么是數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)建模比賽的形式，通過一個(gè)經(jīng)典博弈論的小問題，介紹了數(shù)學(xué)建模論文的一般格式和步驟，使用逆推歸納法，求解出了這個(gè)經(jīng)典博弈論問題的結(jié)果，并給出完整的解決方案，最后總結(jié)給出數(shù)學(xué)建模寫作的一般思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；逆推歸納法；博弈論

近年來大學(xué)生數(shù)學(xué)建模在國內(nèi)發(fā)展非常迅速，國家對大學(xué)生數(shù)學(xué)建模也越來越重視，主要的數(shù)學(xué)建模賽事有：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽、美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等，地區(qū)賽有華中賽、華東賽、東北賽、蘇北賽等，我校近幾年在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模中也取得了多次國家獎的好成績。

一、數(shù)學(xué)建模的概念、比賽的形式

數(shù)學(xué)建模是指：面對實(shí)際問題，人們在深入調(diào)查研究、了解對象信息、做出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言作表述，也就是建立數(shù)學(xué)模型，然后用通過計(jì)算得到的結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)，這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

數(shù)學(xué)建模競賽是針對全體大學(xué)生的，要求學(xué)生不僅僅要數(shù)學(xué)好，對其他專業(yè)課的學(xué)習(xí)也要求很多，最重要的是考查學(xué)生的自學(xué)能力和吃苦耐勞、團(tuán)隊(duì)合作能力。

參加數(shù)學(xué)建模競賽，一般要求最多三個(gè)人為一個(gè)組，比賽地點(diǎn)沒有限制，比賽條件要求就是一臺可以上網(wǎng)的電腦，比賽時(shí)間是三天，三天內(nèi)參賽隊(duì)員可以自己查閱各種書籍資料，但不可以和隊(duì)員以外的其他人進(jìn)行交流，每個(gè)大賽的參賽時(shí)間都是不一樣的，比如五一建模競賽是在每年的五一放假三天內(nèi)，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是在每年的九月份等，數(shù)學(xué)建模競賽的題目和最終論文的提交都是在網(wǎng)上進(jìn)行。

二、舉例子說明對于數(shù)學(xué)建模論文的一般格式和要求

以趣味海盜分寶石問題為例，

（一）問題重述

5名海盜搶到了100塊金幣，他們準(zhǔn)備采用以下方法分贓，抽簽為每人確定1、2、3、4、5這五個(gè)不同的序號，先由抽到1的人提出自己的分贓方案，如果他的方案被超過一半人贊同，就按照他的意見分贓；如果他的意見沒有得到過半數(shù)人贊同，他將被扔進(jìn)大海去喂鯊魚，當(dāng)海盜1被投人大海之后，由序號2重新制定分贓方案，如果海盜2的方案在現(xiàn)有海盜中超過半數(shù)同意便執(zhí)行，否則也將海盜2投入大海，以此類推。

假定這五個(gè)海盜都是高智商且極其貪財(cái)?shù)模噯柡１I1會制定出怎樣的分贓方案，以使自己免于葬身魚腹。

（二）模型假設(shè)

1.假設(shè)五個(gè)人都是非常聰明的人，都可以分得清利害關(guān)系；

2.假設(shè)五個(gè)人之間沒有恩怨互不認(rèn)識，沒有交流；

3.假設(shè)五個(gè)人考慮問題優(yōu)先考慮保住性命，然后次要利益最大化；

4.假設(shè)五個(gè)人都嚴(yán)格遵守游戲規(guī)則，不存在暴力行為，在自己利益最大的情況下不會危及別人生命。

（三）符號說明

i表示五個(gè)人的編號，i=1，2，3，4，5，

Ai表示第i個(gè)人提出的最優(yōu)方案，

（四）模型建立與求解

對于這個(gè)問題，我們可以建立逆推歸納法的模型，也就是從第5號開始考慮，先分析如果輪到第5號做決定，他會做出怎樣的決定，依次倒推到第1號的決定。

具體過程如下：

5號分配方案A5：5號100個(gè)，

4號分配方案A4：5號100個(gè)；4號0個(gè)，

分析：4號一個(gè)都不能要，否則5號不同意，4號自己同意自己的決定，只達(dá)到半數(shù)的人同意，沒有超過半數(shù)，所以5號不同意，4號就會死掉，而4號一旦死掉，只剩下5號一人，就可以獲得100個(gè)。

3號分配方案A3：5號0個(gè)；4號1個(gè)；3號99個(gè)；

分析：如果1號和2號已經(jīng)死掉，一旦3號也死掉，5號就可以獲得100個(gè)寶石，所以無論3號給5號多少寶石，他都不會答應(yīng)，所以干脆給5號0個(gè)，給4號1個(gè)，因?yàn)槿绻?號不同意，那么3號死掉，4號分配將一個(gè)也得不到，

2號分配方案A2：5號1個(gè)；4號2個(gè)；3號0個(gè)；2號97個(gè)；

分析：如果2號死了，3號的分配方案就可以獲得99個(gè)，所以2號的分配方案干脆給3號0個(gè)，給5號1個(gè)，4號2個(gè)，如果4號5號不同意，2號死掉，他們兩個(gè)獲得的分配數(shù)量都會減少。

1號分配方案A1：5號2個(gè)；4號0個(gè)；3號1個(gè)；2號0個(gè)；1號97個(gè)；

分析：對于5號，比2號分配方案多了一個(gè)，贊成；4號贊不贊成都無所謂，這里說要利益最大化就不給了，反對；對于3號如果讓2號分配1個(gè)都沒，有一個(gè)也不錯(cuò)了，贊成；2號反對，無所謂；1號自己分配怎么也贊成的。

綜上所述，1號應(yīng)該提出的最優(yōu)分配方案為A1：5號2個(gè)；4號0個(gè)；3號1個(gè)；2號0個(gè)；1號97個(gè)！

三、對以上數(shù)學(xué)建模的問題的簡單分析

1.政策制定的人，也就是獲得利益最大的人，當(dāng)然表面看上去也是處境最危險(xiǎn)的人。

2.條件中的五個(gè)人都是非常聰明的人，能夠認(rèn)清楚自己的利害關(guān)系，這個(gè)是很重要的一個(gè)前提條件。

3.在政策制定的同時(shí)，五個(gè)人是相互獨(dú)立的，也就是沒有交換過信息，最后，模型的假設(shè)是很關(guān)鍵的，它是模型成立的一個(gè)基礎(chǔ)，去掉一個(gè)假設(shè)，都可能導(dǎo)致模型的錯(cuò)誤。

對于數(shù)學(xué)建模假設(shè)部分，假設(shè)主要是為了在一定程度上簡化問題，有的實(shí)際問題不簡化也許現(xiàn)有的方法無法求解或者在大學(xué)階段無法求解，簡化也不是無條件地簡化，不能讓原問題失去本來的意義，模型的假設(shè)主要是論文的模型成立的條件，也就是論文的模型的解是在哪些條件下才成立的，離開了這些前提條件或許答案就會發(fā)生改變。