借助動態(tài)定義認識角的分類
——《角的分類》教學(xué)案例

黃 建

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版四年級下冊第四單元。它是在學(xué)生初步認識角，會量角、畫角的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。

浙教版教材幾何部分的編排與眾不同，強調(diào)“動態(tài)”視角。根據(jù)教材，本課之前學(xué)生已經(jīng)認識了銳角、直角和鈍角，也感知了圖形的旋轉(zhuǎn)。在此基礎(chǔ)上，本課從旋轉(zhuǎn)射線入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察、體會旋轉(zhuǎn)過程中角的變化，建立角的“動態(tài)表象”，使平角和周角與直線、射線概念顯著地區(qū)別開來，同時又在平角、周角及銳角、直角、鈍角之間建立生動的聯(lián)系、變化，較好地建立“平角”和“周角”的概念。

【教學(xué)過程】

一、動態(tài)旋轉(zhuǎn)，形成各類角

1.動態(tài)定義，引出角。

師：這有一條射線，如果繞著它的端點旋轉(zhuǎn)會得到什么圖形？如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，還是角嗎？為什么？

（如圖：逐步旋轉(zhuǎn)，引出各種角）

2.揭示課題。

師：這么多的角，我們能不能把它們分一分類呢？

【設(shè)計意圖：該環(huán)節(jié)通過一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)會形成不同大小的角，感知角的大小是由始邊與終邊的位置關(guān)系決定，并初步體驗特殊位置能形成特殊的角。】

二、新課展開，角的分類

1.自主分類。

師：按角的大小來分，可以怎么分？

生：可以分成銳角、直角、鈍角、平角、周角。

2.全班交流。

（1）認識直角。

師：關(guān)于直角，你有什么想介紹的？

師：你能用這張紙折出直角嗎？

師：生活中，哪些地方還有直角？

師：我們用的三角板中也有直角，請你把它指出來。我們就用這個工具判斷一下9號、7號是不是直角。

（2）認識平角。

師：剩下的這些圖形中哪些也比較特殊？

（根據(jù)學(xué)生回答，聚焦平角）

師：它是角嗎？為什么？

生：我認為不是角。因為這里是平平的，不尖了，沒有頂點。

生：我也認為不是角，因為它看上去好像是一條直線。

生：剛才我們看到一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)形成不同的角，這個圖形是在旋轉(zhuǎn)過程中形成的一種特殊情況，也應(yīng)該是角。

生：我也認為是角，只是這個角的兩邊正好成為一條直線，頂點在這里（指），兩條邊在這里（指），從一點引出的兩條射線就是角。

師：同學(xué)們說得很好。這是一個特殊的角。它的兩條邊在一條直線上，這樣的角叫做平角。我們一起來畫一個平角，先畫一個頂點，由這個頂點引出兩條射線。也可以看成是一條射線（指始邊），繞著端點旋轉(zhuǎn)了半周（指終邊）而形成的。仔細看看，平角與直角有什么關(guān)系？

生：1個平角=2個直角。

（3）認識周角。

師：剛才我們用角的定義對6號進行了判斷。你覺得8號是角嗎？為什么？

生：我認為是角，從剛才的討論中我發(fā)現(xiàn)這個圖形也是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)形成的，而且是旋轉(zhuǎn)了一周，所以，我認為是角。

生：雖然從定義出發(fā)判斷是對的，但我還是有點疑問。角是由一點引出的兩條射線組成的圖形，而這里只有一條射線，怎么是角呢？

生：我補充，因為這兩條射線重合了，從這里開始，也到這里結(jié)束，其實是有兩條射線的。

師：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置像這樣的角叫周角。為了更好地表現(xiàn)它旋轉(zhuǎn)的過程，我們加上這樣一個符號，標(biāo)出箭頭。這樣是不是能看出有2條邊啦？周角的度數(shù)是360°。

師：周角相當(dāng)于幾個直角？幾個平角？

生：1個周角=4個直角=2個平角。

（4）認識銳角和鈍角。

師：剩下的角我們很熟悉，有的比直角小，我們把大于0°而小于90°的角叫做銳角；有的比直角大，把大于90°而小于180°的角，稱為鈍角。

3.總結(jié)回顧，溝通聯(lián)系。

（1）再次旋轉(zhuǎn)，溝通聯(lián)系。

師：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)分別得到什么角？

（2）交流討論。

師：你覺得哪些角比較特殊？為什么？

生：直角、平角、周角比較特殊。因為它們兩條邊的位置關(guān)系是確定的，給我們一條邊，我們就能畫出直角、平角、周角。直角、平角和周角，它們的度數(shù)是確定的，而銳角、鈍角的度數(shù)是在一個范圍內(nèi)的。

生：直角比較特殊，因為平角相當(dāng)于兩個直角，周角相當(dāng)于四個直角。大于0°小于90°的角叫做銳角，大于90°小于180°的角叫做鈍角。這些角都與直角有關(guān)。

【設(shè)計意圖：根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律，設(shè)計了“找特殊角”的活動來幫助學(xué)生認識角，尤其是平角和周角。在折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)等直觀活動的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生理性辨析平角、周角的構(gòu)成，明確平角、周角的幾何屬性，落實概念。同學(xué)之間相互辯駁、相互補充，使對角的概念理解漸漸走向深入和豐富。在前期的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)認識了直角，因此教學(xué)中，注意以直角為標(biāo)準(zhǔn)概念，其他各類角積極與直角進行比較、溝通，既豐富了對其他各類角的刻畫維度，概念之間又建立了積極的聯(lián)系。最后，再次旋轉(zhuǎn)射線，展示銳角、直角、鈍角、平角、周角之間的演變形象，鞏固和強化它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。在自然、自覺的操作和對話中，學(xué)生主動經(jīng)歷知識形成和完善的過程，獲得良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗?！?/p>

三、練習(xí)提升

1.認識三角板。

（1）量一量。

師：這里有兩塊三角板。哪個角的度數(shù)是你馬上能夠判斷出來的？（直角）剩下的四個角都是什么角？我們一起來量一量。

（根據(jù)學(xué)生回答標(biāo)注角度）

（2）說一說。

師：請你自己再認一認、說一說各個角的度數(shù)。指出60°的角和45°的角。

（3）拼一拼。

師：兩塊三角板都用上，拼出一個新的角。想一想，最大的角會是什么角？請你試著拼好這個角放在桌子上。

生：兩塊三角板最多只能用兩個角拼在一起。選最大的兩個角拼起來，得到一個平角，90°+90°=180°。

2.觀察75°的角。

（1）觀察思考。

師：用兩塊三角板拼了一個這樣的角，請你估一估它是多少度？

（2）指名交流。

生：這個角小于直角，是一個銳角，用三角板上的銳角來拼。60°+45°=105°，不符合要求，30°+45°=75°符合要求。

3.拼特殊角（120°、105°、15°）。

（1）想一想，說一說。

師：這里還有三個角，它們也是由一副三角板拼出來的。請你先估一估，再拼一拼，然后跟同桌說一說。

（2）全班交流。

生：我來拼第一個角，這是一個鈍角，用一個直角+一個銳角來拼。經(jīng)過嘗試是90°+30°=120°。

生：第二個角也是鈍角，但比120度還小。想到把直角換成 小一 些的 銳 角：60° +45°=105°。

生：第三個角是不是錯啦？三角板里最小的角——30°的角都比它大，怎么可能是兩個角拼起來的呢?

師：有道理哦！

生：第三個角是把兩個角重疊在一起，找相差部分！把45°角和30°角重疊起來，它們的差就是這個15°角。

（3）總結(jié)。

師：剛才，我們在用三角板拼角的時候，有兩步是非常關(guān)鍵的。首先是判斷角的類別，以90°為標(biāo)準(zhǔn)，看比90°大還是比90°小；其次，不僅要從“和”的角度去考慮，也可以從“差”的角度去考慮。當(dāng)然，動手拼一拼，驗證一下也是必要的。

【設(shè)計意圖：幾何教學(xué)不僅要教知識，更要創(chuàng)造機會讓學(xué)生應(yīng)用知識解決問題，在此過程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理能力。拼角的活動由易到難，75°角是一個銳角，學(xué)生自然想到用銳角來拼，只有一種可能，75°=30°+45°。在此基礎(chǔ)上，全體學(xué)生完成120°、105°和 15°三個任務(wù)，提倡學(xué)生自主觀察、自主分析、操作驗證，三個任務(wù)的解決過程有同有異，方便學(xué)生在對比中體會到基本的思想方法。如先判斷角的類別，以猜測拼角的可能；有序的組合角度；既可以從“和”的角度考慮，也可以從“差”的角度考慮等等?？臻g觀念，要做、要看，在做中感悟，從指尖上生長智慧?！?/p>

四、回顧

學(xué)習(xí)了這節(jié)課，你們有什么收獲？

【編輯點評】

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)，向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動和交流的機會?！边@節(jié)課正是遵循這一理念，充分考量四年級學(xué)生的生活經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)，設(shè)計了一系列看、做、說的活動，有效地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了主動建構(gòu)知識、應(yīng)用知識的空間，思維如流水般在課堂里流淌。

整節(jié)課充分利用角的動態(tài)定義，著重讓學(xué)生在動態(tài)聯(lián)系中認識各類角，掌握各類角之間的聯(lián)系與區(qū)別。教師善于將操作與反思相結(jié)合，通過適時的提問、追問，引導(dǎo)學(xué)生反思操作所得的形象、表象，深入分析其幾何本質(zhì)。如平角和周角是不是角？那就要回顧平角和周角是怎么形成的？是否符合角的定義？（先動態(tài)再靜態(tài)）又如，各類角之間有怎樣的聯(lián)系和區(qū)別？反復(fù)演示射線旋轉(zhuǎn)的過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察各類角的形成，突出特殊的角度。將以直覺把握角的大小的分類方法與以特殊度數(shù)的角為分類依據(jù)的分類方法進行了比較，實現(xiàn)了知識的深度建構(gòu)；此外，拼角的活動也富有教學(xué)內(nèi)涵。相較于使用三角板自由拼角來說，這個活動相對封閉，但思考性也更強。看到一個角，如何推斷它是怎樣拼成的呢？學(xué)生在嘗試完成不同度數(shù)角的拼組任務(wù)的基礎(chǔ)上，慢慢積淀、概括出一些經(jīng)驗：先判斷角的類別，有利于更好地猜測拼組的可能；兩個角可以合起來，也可以重疊相減。

總的來說，這節(jié)幾何課，一是深入數(shù)學(xué)內(nèi)部，從動態(tài)角度解釋角的類別與關(guān)系，非常有效；二是注意操作與思辨有機結(jié)合，把操作作為思辨的基礎(chǔ)，思辨則使操作走向深化，很好地推動了空間觀念的發(fā)展。