一類常微分方程邊值問題的格林函數(shù)的討論

馬 慧

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210003)

一類常微分方程邊值問題的格林函數(shù)的討論

馬 慧

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210003)

為了研究方便，通常應(yīng)用格林函數(shù)將微分方程轉(zhuǎn)化為與其等價(jià)的積分方程。通過常數(shù)變易法研究了一類三階常微分方程在一類邊值條件下的格林函數(shù)求法，也給出了另一類邊值條件下微分方程的格林函數(shù)表達(dá)式，最后給出了一些上述方程求解格林函數(shù)的實(shí)例。

格林函數(shù)； 邊值問題； 三階常微分方程

0 引言

Green函數(shù)[1]在求解常微分方程中是十分關(guān)鍵的，可以通過格林函數(shù)把微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程來求解平面動(dòng)力問題等。在實(shí)際生活中，線性常微分方程的解通?？捎肎reen函數(shù)的顯式來表示；而相應(yīng)的非線性常微分方程的邊值問題[2]，則需要通過Green函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為積分方程來求解。

在求解Green函數(shù)時(shí)，通常要考慮2個(gè)方面，其一是常微分方程，其二是邊值條件，因而求解方法不統(tǒng)一。葛渭高[3]研究了共振邊值條件下的Green函數(shù)求法；孫經(jīng)先[4]給出了Sturm-Liouville兩點(diǎn)邊值問題的Green函數(shù)表達(dá)式；Kafri等[5]則給出了推廣的Sturm-Liouville兩點(diǎn)邊值問題的Green函數(shù)表達(dá)式；Zhao[6]研究了二階常微分方程三點(diǎn)邊值問題的Green函數(shù)；Nieto等[7]考慮了二階周期邊值問題的Green函數(shù)；Seifert[8]考察了二階中立時(shí)滯邊值問題的Green函數(shù)。上述都是傳統(tǒng)經(jīng)典的方法，但是遇到特殊微分方程及邊值問題時(shí)，計(jì)算尤為復(fù)雜，因此本文給出了一類特殊三階微分方程的Green函數(shù)求法，具體方程如下：

L(y)≡y'''(x)-k2y'(x)=0,x∈[α,β],k≠0

(1)

求解出該方程在一種邊值條件下的Green函數(shù)(其中L為算子)，由此推廣到其他邊值條件下的Green函數(shù)。

本文首先給出Green函數(shù)的定義及其構(gòu)造方法[9]，其次研究了一類三階常微分方程(1)在多種邊值條件下的Green函數(shù)，最后給出了求解三階常微分方程(1)在不同邊值條件下的Green函數(shù)的實(shí)例。

1 Green函數(shù)的定義及其構(gòu)造

給定三階常微分方程(1)及邊值條件：

(2)

其中y(j)(α),y(j)(β)(j=1,2)的一次式Vk(k=1,2,3)是線性獨(dú)立的。

定義[10]設(shè)ε為(α，β)中任意一點(diǎn)，則具有以下4條性質(zhì)的函數(shù)G(x,ε)稱為邊值問題(1)、(2)的Green函數(shù)。

1)在[α，β]區(qū)間內(nèi)，函數(shù)G(x,ε)，G'x(x,ε)在點(diǎn)x=ε處連續(xù)；

2)G(x,ε)關(guān)于x的二階導(dǎo)數(shù)，以x=ε為第1類間斷點(diǎn)，且其躍度為-1，即:

(3)

3)作為x的函數(shù),G(x,ε)在[α，ε),(ε,β]是方程(1)的解L(G)=0；

4)作為x的函數(shù)，滿足邊值條件(2)Vk(G)=0(k=1,2,3)。

Green函數(shù)構(gòu)造：

設(shè)y1(x),y2(x),y3(x)是方程(1)的線性無關(guān)解，由性質(zhì)(3)知函數(shù)G(x,ε)在[α，ε),(ε,β]上可由上述y1(x),y2(x),y3(x)表出，即:

(4)

其中a1,a2,a3,b1,b2,b3都為ε的待定函數(shù)。

由性質(zhì)(1)、(2)知函數(shù)G(x,ε)，G'x(x,ε)在點(diǎn)x=ε處連續(xù)，且G''x(x,ε)在點(diǎn)x=ε處的躍度為-1，即:

[b1y1(ε)+b2y2(ε)+b3y3(ε)]-[a1y1(ε)+a2y2(ε)+a3y3(ε)]=0,

[b1y'1(ε)+b2y'2(ε)+b3y'3(ε)]-[a1y'1(ε)+a2y'2(ε)+a3y'3(ε)]=0,

[b1y''1(ε)+b2y''2(ε)+b3y''3(ε)]-

[a1y''1(ε)+a2y''2(ε)+a3y''3(ε)]=-1。

設(shè)ck=bk-ak,k=1,2,3

(5)

于是得到關(guān)于ck(ε)的線性方程組：

(6)

方程組(6)的系數(shù)行列式為Wronski行列式W(y1(x),y2(x),y3(x))在點(diǎn)x=ε時(shí)的值，因?yàn)閥1(x),y2(x),y3(x)線性無關(guān)，所以W(y1(ε)，y2(ε),y3(ε))≠0,故方程組(6)有唯一解ck(ε)(k=1,2,3)。

下面求ak(ε),bk(ε)(k=1,2,3)。

對(duì)于邊值條件(2)中的Vk(y),設(shè)Vk(y)=Ak(y)+Bk(y),其中：

由式(4)得：

同理有：

Bk(G)=b1Bk(y1)+b2Bk(y2)+b3Bk(y3)。

再根據(jù)性質(zhì)(4)可知Vk(y)=Ak(y)+

Bk(y)=0(k=1,2,3),即：a1Ak(y1)+a2Ak(y2)+a3Ak(y3)+b1Bk(y1)+b2Bk(y2)+b3Bk(y3)=0(k=1,2,3)。

又由式(5)知bk=ak+ck，則：

a1Ak(y1)+a2Ak(y2)+a3Ak(y3)+(a1+c1)Bk(y1)+(a2+c2)Bk(y2)+(a3+c3)Bk(y3)=0

(k=1,2,3)。

于是：

a1Vk(y1)+a2Vk(y2)+a3Vk(y3)=c1Vk(y1)+c2Vk(y2)+c3Vk(y3),k=1,2,3

(7)

方程組(7)為關(guān)于a1,a2,a3的線性方程，由Vk(k=1,2,3)線性無關(guān)知方程組的系數(shù)行列式為：

因此方程(7)的解a1,a2,a3存在且唯一。由bk=ak+ck知bk(ε)(k=1,2,3)也存在且唯一。將ak(ε),bk(ε)(k=1,2,3)代入式(4)就得到了G(x,ε)，因此可得到下面的引理。

引理1 如果邊值問題(1)、(2)只有零解y(x)=0，則算子L有且只有一個(gè)Green函數(shù)。

2 一類邊值問題下的Green函數(shù)證明

首先設(shè)方程(1)邊值條件為：

y(α)=2y(β),y'(α)=y'(β),y''(α)=

y''(β)

(8)

有以下結(jié)論。

定理1 三階邊值問題(1)、(8)的Green函數(shù)為：

(9)

證明 已知方程組(1)的基本解組為1，ekx,e-kx,則通解為y=A+Bekx+Ce-kx，其中A,B,C為任意常數(shù)。由邊界條件(8)，可得到A,B,C滿足下列等式：

從而得到A=B=C=0，故由引理1知Green函數(shù)存在且唯一。

因此可以根據(jù)基本解組1，ekx,e-kx,以及性質(zhì)(3)設(shè)Green函數(shù)的形式如下：

(10)

其中ak(ε),bk(ε)(k=1,2,3)都為ε的待定函數(shù)。

設(shè)ck=bk-ak(k=1,2,3),由方程(6)可得到關(guān)于ck(ε)的線性方程組：

解得：

(11)

由性質(zhì)(4)可知Green函數(shù)應(yīng)滿足邊值條件(4)，則對(duì)邊值問題(3)、(4)應(yīng)有：

G(α,ε)=2G(β,ε),G'x(α,ε)=G'x(β,ε),G''x(α,ε)=G''x(β,ε),即：

(12)

再由式(5)、(11)、(12)可得：

把所求的系數(shù)a1,a2,a3,b1,b2,b3代入式(5)即可到問題(3)、(4)的Green函數(shù)為：

(13)

3 另一類邊值問題下的Green函數(shù)

關(guān)于下面這一類邊值條件下Green函數(shù)的證明過程與上述邊值條件下Green函數(shù)的證明類似，因此直接給出所述問題的Green函數(shù)。定理2提出的思路可參考文獻(xiàn)[11]。

k≠0,其Green函數(shù)為：

(14)

4 計(jì)算Green函數(shù)的實(shí)例

在實(shí)際求解Green函數(shù)時(shí)，可以使用定義，關(guān)于定義的求法與本文研究的三階常微分方程類似，故不再舉例說明；也可以直接使用公式，下面舉例說明。

例1 求解三階常微分方程y'''(x)-

y'(x)=0,x∈[0,1]，在邊值條件y(0)=2y(1),y(0)'=y'(1),y''(0)=y''(1)下的Green函數(shù)。

解 本例中k=1,α=0,β=1，由式(13)可得Green函數(shù)為：

G(x,ε)=

例2 求解三階常微分方程y'''(x)-4y'(x)=0,x∈[0,1]，在邊值條件y(0)=2y(1),2y'(0)=y''(1),y''(0)=2y'(1)下的Green函數(shù)。

解 本例中k=2,α=0,β=1，由式(14)可得Green函數(shù)為：

G(x,ε)=

[1] Hartman P.Ordinary Differential Equations[M].New York:Addison Wiley,1964:251.

[2] 郭大鈞,孫紀(jì)先，劉兆理.非線性常微分方程泛函方法[M].2版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社,2005:35-44.

[3] 葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京:科學(xué)出版社,2007:23-26.

[4] 孫經(jīng)先.非線性泛函分析及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2008:17-20.

[5] Kafri HQ,Khuri SA.Bratu's problem:A novel approach using fixed-point iterations and Green's functions[J].Computer Physics Communications,2016,198:97-104.

[6] Zhao Z.Solutions and Green's functions for some linear second-order three-point boundary value problems[J].Computers and Mathematics with Applications,2008,56:104-113.

[7] Nieto JJ,Rodríguez-López R.Green's function for second-order periodic boundary value problems with piecewise constant arguments[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications,2005,304(1):33-57.

[8] Seifert G.Second-order neutral delay-differential equations with piecewise constant time dependence[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications,2003,281(1):1-9.

[9] 李莉.一類二階常微分方程邊值問題的格林函數(shù)的討論[J].菏澤學(xué)院學(xué)報(bào), 2013,35(2): 5-9.

[10] 沈以淡.積分方程[M].北京:清華大學(xué)出版社,2012:213.

[11] 趙增勤.一類常微分方程邊值問題的格林函數(shù)求法[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,25(3):1-6.

(責(zé)任編輯 吳鴻霞)

Discussion on Green Function for a Class of Boundary Value Problems of Ordinary Differential Equations

MaHui

(School of Applied Mathematics,Nanjing University of Finance & Economics,Nanjing Jiangsu 210003)

In order to study conveniently,the differential equation is transformed into its equivalent integral equation by using Green's function.The Green function for a third-order ordinary differential equation with a boundary condition was studied by the method of variation of constant.The expression of the Green function for other boundary condition was also given.Finally some examples of Green function were provided for boundary value problems of ordinary differential equations.

Green function;boundary value problem;third-order ordinary differential equation

2016-12-28

馬慧，碩士生。

10.3969/j.issn.2095-4565.2017.02.011

O29

A

2095-4565(2017)02-0050-04