何直觀 建立模型思想
——《兩積之和》拓展課案例分析

吳玉蘭

【課前思考】

浙教版四年級(jí)的應(yīng)用問題單元，出現(xiàn)了這樣的應(yīng)用問題：“一個(gè)籃球95元，一個(gè)足球75元。買5個(gè)籃球與2個(gè)足球共需要多少元？”“如果籃球的單價(jià)是95元，買5個(gè)籃球和2個(gè)足球共用去625元。1個(gè)足球多少元？”這兩題用算術(shù)方法解決，分別是“95×5+75×2”“（625-95×5）÷2”。僅從這兩個(gè)算式上看，似乎沒有什么聯(lián)系，但實(shí)際上，這兩題的基本結(jié)構(gòu)都是“a×b+c×d=f”，我們把這樣的應(yīng)用問題稱為“兩積之和”。它們的區(qū)別在于前一題是f未知，我們稱之為正向題；后一題是等式左邊的一個(gè)量未知，為前一題的逆向題。對(duì)于這一類題，結(jié)合數(shù)量關(guān)系來進(jìn)行分析與解答，在解決逆向問題時(shí)很難建立總量與部分量之間的關(guān)系，無法感知正向與逆向題之間的基本結(jié)構(gòu)是一致的。尤其在情境變得復(fù)雜以后（如雞兔同籠），更難分析量與量之間的關(guān)系。

模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，有助于學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與應(yīng)用意識(shí)。對(duì)于“兩積之和”這一內(nèi)容，可以借助圖形讓學(xué)生直觀感知各個(gè)量之間的關(guān)系，并通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)正向與逆向兩種題型的基本結(jié)構(gòu)其實(shí)是一樣的，建立“a×b+c×d=f”的基本模型，理解雖然情境在變、已知與未知量在變，但基本結(jié)構(gòu)不變，并能用這樣的模型來解決實(shí)際問題。同時(shí)，在這一過程中體會(huì)模型的建立能幫助我們解決一類問題，培養(yǎng)幾何直觀，建立模型思想。

【教學(xué)過程】

一、圖形引入，初步感知

1.看圖求面積（單位：厘米）。

師：這兒有一個(gè)圖形，你能求出它的總面積嗎？

（學(xué)生口頭列式，教師板書：6×4+7×10=94）

出示第二個(gè)圖形，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上板書：10×5+8×4=82。

出示第三個(gè)圖形，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上板書：10×5+（13-5）×4=82。

2.觀察比較。

師：通過觀察發(fā)現(xiàn)了什么？

生：都是左邊長方形的面積+右邊長方形的面積=總面積。

生：都是先用乘法求出兩個(gè)長方形的面積，再把兩部分的積加起來求和。

生：我還發(fā)現(xiàn)第三題和第二題其實(shí)是一樣的，只是第二題右邊長方形的長是已知的，第三題右邊長方形的長需要我們先求出來。

3.揭示課題：像這樣先分別求積，再求兩部分的和，我們可以把它稱為“兩積之和”。

（板書：a×b+c×d=f兩積之和）

【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于學(xué)生來說，圖形比較直觀，利于模型的建立。因此，本環(huán)節(jié)從求組合圖形的總面積引入，通過觀察、對(duì)比，發(fā)現(xiàn)三道題的圖形在變化，已知量在變化，但求面積的基本方法不變，都是“左邊長方形的面積+右邊長方形的面積=總面積”。從計(jì)算方法上來看，都是先求積，再求出兩部分的和，從而得出“兩積之和”的基本模型“a×b+c×d=f”。同時(shí)，題組中第三題的呈現(xiàn)，又可以讓學(xué)生體會(huì)到雖然其中的一個(gè)量沒有直接告知，需要先求，但基本結(jié)構(gòu)仍然不變。這樣的設(shè)計(jì)，使兩積之和”模型的建立經(jīng)歷了從圖形模型到代數(shù)模型的過程，借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，使模型的建立也有了依托，更利于學(xué)生理解?！?/p>

二、變化溝通，尋找聯(lián)系

1.變化圖形。

（將上面的三幅圖變化為下面的圖）

師：哪里變了？

生：原來是求總面積，現(xiàn)在總面積已知，求的是其中一條邊的長度。

師：現(xiàn)在你還能寫出像這樣的兩積之和的等式嗎？

2.獨(dú)立研究。

（1）寫一寫：看圖寫出兩積之和的等式。

（2）想一想：為什么這么列式？

（3）找一找：這三題有什么相同與不同？

3．集體交流。

（1）交流第一題。

生：（94-4×6）÷10。

生：4×6+10×▲=94。

師：你支持哪一種？為什么？

生：第二種。因?yàn)榈诙N還是 a×b+c×d=f，是兩積之和。

師：那這兩種方法之間有聯(lián)系嗎？

生：94就是面積和，去掉4×6可以得到右邊長方形的面積，再除以寬就是要求的長。

生:其實(shí)第一種方法就是來求第二種方法里的▲。也就是（f-a×b）÷d=c。

師：你們真會(huì)觀察。看來，只要列出了兩積之和的等式，我們就可以用第一種方法來求出圖形代表的數(shù)。

（2）交流剩下兩題。

生：第二題是10×▲+8×4=82，10×▲是左邊長方形的面積，8×4是右邊長方形的面積，合起來就是總面積82。

生：第三題我們是10×▲+（13-▲）×4=82，可以在這里加一條虛線，就把這個(gè)圖形分成了兩個(gè)長方形，左邊是10×△，右邊長是（13-▲），寬是 4，分別求出面積后再加起來就可以了。

生：我們有不一樣的方法，13×4+（10-4）×△。

師：這種方法可以嗎？他又是怎么分這個(gè)圖形的？你可以手勢(shì)表示一下嗎？

（課件演示虛線分割）

師：是這樣嗎？現(xiàn)在你能解釋這個(gè)等式的意思嗎？說給同桌聽一聽。

生：我還有不一樣的方法。我是 13×10-（10-4）×（13-▲）=82。

師：這又是怎么得到的？你能想象出圖嗎？

（在學(xué)生表述的基礎(chǔ)上課件演示補(bǔ)的過程，并請(qǐng)學(xué)生解釋等式的意思）

師：這種方法與前兩種有什么區(qū)別？

生：前面都是分割后求面積和，現(xiàn)在是補(bǔ)上一塊，用大面積減去補(bǔ)的部分的面積。

生：前面都是兩積之和，最后一種方法不是了。

師：如果我們也給這類等式取個(gè)名字，你打算叫它什么？

生：兩積之差。

4.前后比較，尋找異同。

（1）將兩個(gè)題組一起呈現(xiàn)，進(jìn)行比較。

師：這是我們剛才研究的兩組題，請(qǐng)你仔細(xì)觀察一下，有沒有發(fā)現(xiàn)什么？

生：第一組題是總面積不知道；第二組題總面積告訴我們了，是一條長或一條寬不知道。

生：這兩組題都是a×b+c×d=f，只是未知數(shù)的位置在變化。

師：看來，不管要求的是誰，這兩組題的基本結(jié)構(gòu)都是兩積之和，我們都可以列出兩積之和的等式來解決。

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)將上一組題進(jìn)行了已知與未知的變換，以列兩積之和的等式。并通過這一題組與前一題組的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)變化中的不變——基本結(jié)構(gòu)仍然是“a×b+c×d=f”。體會(huì)到雖然問題在變復(fù)雜，但是結(jié)構(gòu)不變，根據(jù)兩積之和列出等式就能解決這樣的問題，化難為易。同時(shí)，借助圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形有機(jī)結(jié)合，充分展現(xiàn)問題的本質(zhì)，再次體會(huì)兩積之和的基本模型“a×b+c×d=f”，感知模型的建立使問題的解決更為方便。這樣的處理，幫助學(xué)生打開了數(shù)學(xué)的大門，突破了理解的難點(diǎn)?！?/p>

三、實(shí)際應(yīng)用，體會(huì)價(jià)值

1.結(jié)合活動(dòng)要求獨(dú)立研究。

（1）★兩種昆蟲飛行速度和時(shí)間如下表，B昆蟲飛行了多少分鐘？

昆蟲 速度（米/分） 時(shí)間（分）A 20 ？B 10 15飛行路程和（米） 390

（2）超市賣出一些雞蛋和鴨蛋，共收入390元。其中雞蛋每千克20元，鴨蛋每千克10元。鴨蛋賣了15千克，雞蛋賣了多少千克？

（3）★★松鼠媽媽采松果，晴天每天可采20個(gè)，雨天每天只能采12個(gè)。松鼠媽媽一連采了8天，共采112個(gè)松果。這幾天中下雨的有多少天？

①根據(jù)題中的信息，在圖中標(biāo)上數(shù)據(jù)。

②列出兩積之和的等式。

（4）★★★根據(jù)上圖，你還能編出怎樣的應(yīng)用題？試一試。

2.全班交流一星級(jí)題。

（1）匯報(bào)一星級(jí)兩題。

（2）觀察一星級(jí)兩題，尋找聯(lián)系與區(qū)別。

生：這兩題用到的數(shù)都是一樣的。

生：第一題中昆蟲的速度相當(dāng)于第二題雞蛋與鴨蛋的單價(jià)；第一題中昆蟲的飛行時(shí)間相當(dāng)于第二題雞蛋與鴨蛋的質(zhì)量；第一題飛行的總路程等于第二題的總收入。

生：其實(shí)這兩題的基本結(jié)構(gòu)是一樣的，都是兩積之和。

師：那有不一樣的地方嗎？

生：每個(gè)數(shù)表示的意義不一樣。比如20，第一題表示A昆蟲的速度，第二題表示雞蛋的單價(jià)。

（3）將一星級(jí)第二題的圖變?yōu)橄聢D：你能根據(jù)圖編道應(yīng)用題嗎？現(xiàn)在兩積之和的等式又可以怎么列？

3.分析二星級(jí)題。

生：原來雞兔同籠也是兩積之和。

師：是的，原來我們一直認(rèn)為很難的“雞兔同籠”問題也可以用兩積之和來解決。

4.出示三星級(jí)題中標(biāo)上數(shù)據(jù)以后的圖。

師：根據(jù)這幅圖，我們還能編出怎樣的應(yīng)用題呢？

【設(shè)計(jì)意圖：從與圖形相關(guān)的一個(gè)數(shù)學(xué)問題引入，基本模型建立后還需要與現(xiàn)實(shí)生活建立聯(lián)系，體會(huì)到實(shí)際中的許多數(shù)學(xué)問題都可以用兩積之和的模型來解決。因此本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了分層的練習(xí)，通過比較，體會(huì)到雖然情境在變，求的量在變，但基本結(jié)構(gòu)不變，題與題之間存在一定的相關(guān)性。同時(shí)，借助能見到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，使抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，互相滲透，進(jìn)一步體會(huì)現(xiàn)實(shí)世界中存在的許多數(shù)學(xué)問題都可以抽象成某種數(shù)學(xué)模型。對(duì)于學(xué)習(xí)能力比較好的學(xué)生，也安排了編題的練習(xí)，在變化中進(jìn)一步體會(huì)基本結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性?！?/p>