• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    關(guān)于上三角矩陣代數(shù)之間經(jīng)典伴隨交換單射

    2017-04-27 03:52:00張雋曹重光
    關(guān)鍵詞:標(biāo)量整數(shù)線性

    張雋,曹重光

    (黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

    關(guān)于上三角矩陣代數(shù)之間經(jīng)典伴隨交換單射

    張雋,曹重光

    (黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

    令F是一個(gè)域,且|F|>n+1,m,n為整數(shù)且m,n≥3.Tn(Tm)(F)是F上所有n×n(m×m)上三角矩陣的集合.本文中,刻畫(huà)了從Tn(F)到Tm(F)的保經(jīng)典伴隨交換的單映射,給出了映射的表達(dá)式,對(duì)相應(yīng)的方陣的工作是一個(gè)新的補(bǔ)充,所用方法是將其化歸為相應(yīng)的線性保持問(wèn)題.

    域;保伴隨交換;單映射

    1 引言

    刻畫(huà)矩陣集合保持某些性質(zhì)的映射稱為矩陣保持問(wèn)題研究.近年來(lái),這種研究更感興趣于映射沒(méi)有線性和加法假定的情形,例如文獻(xiàn)[1],[5].本文考慮上三角矩陣代數(shù)類似文獻(xiàn)[5]的問(wèn)題.

    設(shè)F是一個(gè)域,Tn(Tm)(F)是F上所有n×n(m×m)上三角矩陣的集合..設(shè)φ是Tn(F)到Tm(F)的映射.如果定義

    則稱φ是一個(gè)經(jīng)典伴隨交換映射,又稱φ滿足條件(Ac?1).

    本文目的是刻畫(huà)域上上三角矩陣經(jīng)典伴隨交換單射.在本文中記I為單位矩陣,用0記零元,用O記零矩陣,用F?記F中所有非0元的集合,Eij(i,j)位置是1,其余位置是零的矩陣.記[1,n]={1,2,···,n}.

    引理 1.1設(shè)F為一個(gè)域,|F|>n+1,n為整數(shù)且n≥3,令A(yù),B∈Tn,那么

    (a)存在一個(gè)矩陣X∈Tn,使得rank(A+X)=rank(B+X)=n.

    (b)存在一個(gè)非O的矩陣X∈Tn,A是可逆的或者X是可逆的,但不能兩者都可逆,使得rank(A+X)=n.

    (c)若rank(A+B)=n,則存在一個(gè)標(biāo)量λ0∈F且λ01,使得rank(A+λ0B)=n.

    證明首先,對(duì)A∈Tn作如下定義:

    其中,A=aij,i,j∈[1,n].

    則rank(B+X)=n.若想推出rank(A+X)=n,只需令

    秩為n,即令p+ci0,i∈[1,n].故令p0,p?c1,···,p?cn,由|F|>n+1,可推出存在X=pI?B使得rank(A+X)=rank(B+X)=n.

    (b)若A是可逆的,令X=AE12,結(jié)論顯然成立.若A是奇異的,令X=cI?A,注意到,若想推出X是可逆的,只需令

    秩為n,即令c?aii0,i∈[1,n],若想推出rank(A+X)=n,只需令

    (c)令λ∈F且p(λ)=det(A+λB).由p(1)0,知p是一個(gè)非0多項(xiàng)式.若B=O,那么rankA=n,結(jié)論成立.若BO注意到,

    秩為n?aii+bii0,i∈[1,n],

    秩為n?aii+λ0bii0,i∈[1,n].顯然bii不全為0.不妨設(shè)

    若bll=0,則all0,故all+λ0bll0,若bjj0,則對(duì)于由|F|>n+1,可推出存在一個(gè)標(biāo)量λ0使得rank(A+λ0B)=n.

    引理1.2設(shè)F為一個(gè)域,m,n為整數(shù)且m,n≥3,令A(yù)∈Tn,若φ:Tn→Tm為一個(gè)單射滿足(Ac?1),那么rankφ(A)=m當(dāng)且僅當(dāng)rankA=n.

    證明必要性:假設(shè)rankA≤n?1,則adj(adjA)=O,由φ是單射,有φ(adj(adjA))=O,由φ滿足(Ac?1)得adj(adj(φ(A)))=O.注意到rank(φ(A))=m,則

    矛盾,故

    充分性:假設(shè)rankφ(A)≤m?1,則adj(adj(φ(A)))=O,由φ滿足(Ac?1)得φ(adj(adjA)) =O,由φ是單射,可得adj(adjA)=O.另一方面,由rankA=n,可得(adj(adjA))=n,推出矛盾,故rankφ(A)=m.

    推論1設(shè)F為一個(gè)域,m,n為整數(shù),m,n≥3,令A(yù),B∈Tn,若φ:Tn→Tm為一個(gè)單射滿足(Ac?1),α∈F,那么rank(A+αB)=n當(dāng)且僅當(dāng)rank(φ(A)+αφ(B))=m.

    證明由引理1.2得,

    rank(A+αB)=n?rank(adj(A+αB))=n?rankφ(adj(A+αB))=m

    ?rank(adj(φ(A)+αφ(B)))=m?rank(φ(A)+αφ(B))=m.

    引理 1.3令F為一個(gè)域,|F|>n+1,m,n是整數(shù),且m,n≥3.若φ:Tn→Tm一個(gè)映射滿足(Ac?1)且φ是單射,那么φ是線性的.

    證明令A(yù),B∈Tn,α∈F,由引理1.1可得rank(A+αB)=n,由引理(1.2)和推論1知φ(A+αB)和φ(A)+αφ(B)是秩m,那么,

    由adj(φ(A)+αφ(B))=adj(φ(A+αB))得到,

    類似可證

    若在(1)中取A=O,αB是秩n,則有

    下面分6部分進(jìn)行證明.

    (a)要證對(duì)于每個(gè)非0標(biāo)量μ∈F,X∈Tn,rankX=n,有

    由引理(1.1)(b)知存在一個(gè)非O的奇異矩陣Y∈Tn使rank(μX+Y)=n.由引理1.2和推論1,注意到φ(μX+Y),μφ(X)+φ(Y),φ(μX)+φ(Y)是秩m.由(1),(2)可得

    因此

    令a1=det(μφ(X)+φ(Y),a2=det(φ(μX)+φ(Y)),由(5)可得

    假設(shè)a1a2,且rankX=n,由(3)知φ(μX)和φ(X)是線性相關(guān)的,因此φ(μX)=λφ(X), λ∈F,將其代入(6)中得到

    由 φ是單射且易證 φ(O)=O可知φ(X)和φ(Y)非O,得到φ(X),φ(Y)是線性相關(guān)的且rank φ(X)=rankφ(Y).另一方面,由引理1.2,注意到φ(X)是可逆的,φ(Y)是奇異的,因此,rank φ(X)rankφ(Y),矛盾.顯然,可得到det(μφ(X)+φ(Y))=det(φ(μX)+φ(Y)),因此(4)成立.

    (b)下面證明(7),即若X,Y∈Tn,rank(X+Y)=n,X,Y是線性無(wú)關(guān)的,那么φ(X), φ(Y)是線性無(wú)關(guān)的.假設(shè)φ(X),φ(Y)是線性相關(guān)的,那么存在一個(gè)標(biāo)量γ∈F使φ(Y)= γφ(X).由rank(X+Y)=n和推論1可得rank(φ(X)+φ(Y))=m,則rankφ(X)=m.由引理 1.2得到 rankX=n,因此由 (4)可得 φ(Y)=γφ(X)=φ(γX),由 φ是單射,得到Y(jié)=γX,這說(shuō)明X,Y是線性相關(guān)的,與已知矛盾,那么(7)被證明.

    (c)下證(8),即若X,Y∈Tn,有0<rankX<n,rankY=n,rank(X+Y)=n,那么

    在(1)中取α=1,得到

    由|F|>n+1和引理1.1(c)可知存在一個(gè)非0標(biāo)量α0∈F使rank(X+(1+α0)Y)=n,由(9)可得

    由rankX<n,得到1+α00且rank((1+α0)Y)=rank(α0(Y))=n,因此由(4)有φ(Y +α0(Y))=φ(Y)+φ(α0Y),則得

    令b1=det(φ(X+Y)+φ(α0Y)),b2=det(φ(X)+φ(Y+α0Y)),顯然,b1,b20.由(9),注意到φ(X+Y),φ(X)+φ(Y)是線性相關(guān)的.那么存在一個(gè)標(biāo)量c1∈F使φ(X)+φ(Y)= c1φ(X+Y),由(10)得到

    由X,Y線性無(wú)關(guān),得到X+Y,α0Y線性相關(guān).進(jìn)一步,由rank((X+Y)+α0Y)=n和(7)得到φ(X+Y),φ(α0Y)是線性無(wú)關(guān).由(11)可得b1=b2,因此,得到φ(X+Y)=φ(X)+φ(Y),因此(8)已被證明.

    (d)下面證明 (12),即 φ的齊次性,φ(αA)=αφ(A),對(duì)于每個(gè) A∈Tn,α∈F.當(dāng)α= 0,A=O或rankA=n時(shí),(12)成立.當(dāng)α0,A是一個(gè)非O的奇異矩陣.由引理1.1(b),知存在一個(gè)可逆矩陣Z∈Tn使rank(αA+Z)=n,因此rank(A+α?1Z)=n.由(4),(8)得,φ(α(A+α?1Z))=αφ(A+α?1Z)=α(φ(A)+φ(α?1Z))=αφ(A)+αφ(α?1Z)=α(φA))+ φ(Z).另一方面,由(8)可得φ(α(A+α?1Z))=φ(αA+Z)=φ(αA)+φ(Z),因此φ(αA)= αφ(A).因此(12)已被證明.

    (e)下面證明(13),即φ(X+Y)=φ(X)+φ(Y),對(duì)于每一個(gè)矩陣X,Y∈T(n),rank (X+Y)=n.下面分兩種情況討論.若X,Y是線性相關(guān)的,由rank(X+Y)=n,假設(shè)X0,那么 Y=βX,β∈F.由 φ的齊次性,知 φ(X+Y)=φ((1+β)X)=(1+β)φ(X)= φ(X)+βφ(X)=φ(X)+φ(Y).現(xiàn)在考慮X,Y是線性無(wú)關(guān)的.由引理1.1(c),知存在一個(gè)非0標(biāo)量β0∈F使得rank(X+(1+β0Y))=n.由(9)和φ的齊次性,得到

    由X線性無(wú)關(guān)和(7)可得φ(X+Y),φ(β0Y)是線性無(wú)關(guān)的.由類似(11)的證明可得到det (φ(X+Y)+φ(β0Y))=det(φ(X)+φ(Y+β0Y)),因此(13)已被證明.

    (f)最后證明(15),即φ是保加法的.令A(yù),B∈Tn,由引理1.1(a)知存在一個(gè)矩陣Z∈Tn使得rank(A+Z)=rank(A+B+Z)=n.由(13)注意到φ(A+B+Z)=φ(A+B)+φ(Z).另一方面,由(13)得φ(A+B+Z)=φ(A+Z)+φ(B),由rank(A+Z)=n和(13)得到φ(A+Z)=φ(A)+φ(Z).顯然可得,

    因此φ(A+B)=φ(A)+φ(B),A,B∈Tn.因此φ是保加法的.綜上所訴,由φ的齊次性和φ是保加法的,可得φ是線性的.

    引理 1.4[6]令F為一個(gè)域,m,n是整數(shù),且m,n≥3.若φ:Tn→Tm一個(gè)非零可加保伴隨映射滿足φ(E1n)0當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)量一個(gè)可逆矩陣P∈Tn和一個(gè)域F上的單自同態(tài)δ使得

    或者

    2 主要結(jié)果

    定理2.1令F為一個(gè)域,|F|>n+1,m,n是整數(shù),且m,n≥3.若φ:Tn→Tm一個(gè)單射滿足(Ac?1)當(dāng)且僅當(dāng)m=n,存在一個(gè)可逆矩陣P∈Tn,一個(gè)標(biāo)量λ∈F?,λn?2=1,一個(gè)域F上的單自同態(tài)δ,

    使得

    或者

    證明由引理1.3和引理1.4,易證定理2.1.

    3 結(jié)論

    本文給出了在域條件|F|>n+1下從Tn(F)到Tm(F)的保經(jīng)典伴隨交換的單映射的表達(dá)式,對(duì)文獻(xiàn)[5]的關(guān)于方陣的結(jié)果是一個(gè)重要補(bǔ)充,其創(chuàng)新點(diǎn)在于通過(guò)一系列步驟證明了映射是線性的,對(duì)同類工作有一定啟發(fā)意義.

    [1]Li C K,Plevnik L,emrl P.Preservers of matrix pairs with a fixed inner product value[J].Operators and matrices,2012,6(3):433-464.

    [2]Cao C G,Ge Y L,Yao H M.Maps preserving classical adjoint of products of two matrices[J].Linear and Multilinear Algebra,2013,61(12):1593-1604.

    [3]Huang L P.Geometry of Matrices over Ring[M].Beijing:Science Press,2006.

    [4]You H,Wang Z Y.K-Potence preserving maps without the Linearty and surjectivity assumptions[J].Linear Algebra Appl.,2007,426:238-254.

    [5]Wai leong Chooi,Wei Shean Ng.On classical adjoint-commuting mappings between matrix algebras[J]. Linear Algebra Appl.,2010,432:2589-2599.

    [6]Zhang X,Tang X M,Cao C G.Preserver Problems on Spaces of Matrices[M].Beijing:Science Press,2007.

    On classical adjoint-commuting injective mappings between upper triangular matrix algebras

    Zhang Jun,Cao chongguang
    (School of Mathematical Science,Heilongjiang University,Harbin 150080,China)

    Let F be a field and let m and n be integers with m,n≥3,Tn(Tm)(F)be the set of all n×n(m×m) upper triangular matrices over F.This paper describes a induced map preserving classical adjoint-commuting injective mappings from Tn(F)to Tm(F),gives expressions of the map,adds the work of relevant square matrix. This paper use ways of translating the problem into relevant linear preserving problems.

    field,preserving multiplicative,injective map

    O178

    A

    1008-5513(2017)02-0204-07

    10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.012

    2016-10-10.

    國(guó)家自然科學(xué)基金(11371109).

    張雋(1991-),碩士生,研究方向:矩陣代數(shù).

    2010 MSC:15A04

    猜你喜歡
    標(biāo)量整數(shù)線性
    漸近線性Klein-Gordon-Maxwell系統(tǒng)正解的存在性
    線性回歸方程的求解與應(yīng)用
    一種高效的橢圓曲線密碼標(biāo)量乘算法及其實(shí)現(xiàn)
    二階線性微分方程的解法
    一種靈活的橢圓曲線密碼并行化方法
    一類整數(shù)遞推數(shù)列的周期性
    聚焦不等式(組)的“整數(shù)解”
    單調(diào)Minkowski泛函與Henig真有效性的標(biāo)量化
    標(biāo)量電子能級(jí)束縛態(tài)的計(jì)算
    具有θ型C-Z核的多線性奇異積分的有界性
    六月丁香七月| 特级一级黄色大片| 99热这里只有是精品在线观看| 国产精品女同一区二区软件| 日本色播在线视频| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲av成人精品一二三区| 丰满人妻一区二区三区视频av| 成人毛片a级毛片在线播放| 日本黄色片子视频| 啦啦啦在线观看免费高清www| 大陆偷拍与自拍| 久久鲁丝午夜福利片| 欧美高清成人免费视频www| 亚洲av不卡在线观看| av一本久久久久| av在线观看视频网站免费| 99re6热这里在线精品视频| 男人狂女人下面高潮的视频| 校园人妻丝袜中文字幕| 国产永久视频网站| 日韩一区二区视频免费看| 一级毛片我不卡| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 99精国产麻豆久久婷婷| 国产欧美日韩一区二区三区在线 | 国产精品人妻久久久久久| 国产黄色视频一区二区在线观看| 欧美另类一区| 免费大片黄手机在线观看| 国产成人一区二区在线| 大香蕉久久网| 国产高清不卡午夜福利| 日韩成人av中文字幕在线观看| 只有这里有精品99| 日本免费在线观看一区| 久久久久久久久久成人| 中文在线观看免费www的网站| 在线 av 中文字幕| 一级毛片久久久久久久久女| 久久久久久伊人网av| 久久久久九九精品影院| 日日啪夜夜撸| 在线精品无人区一区二区三 | 国产在视频线精品| 亚洲最大成人av| www.色视频.com| 你懂的网址亚洲精品在线观看| kizo精华| 国产高清三级在线| 香蕉精品网在线| 久久久久性生活片| 男人和女人高潮做爰伦理| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 国产高清国产精品国产三级 | av播播在线观看一区| 身体一侧抽搐| 寂寞人妻少妇视频99o| 国产av码专区亚洲av| 色5月婷婷丁香| av线在线观看网站| 国产精品久久久久久精品古装| 国模一区二区三区四区视频| 成人黄色视频免费在线看| 成年女人在线观看亚洲视频 | 欧美日韩综合久久久久久| 中国美白少妇内射xxxbb| 日韩视频在线欧美| 伊人久久国产一区二区| 国产69精品久久久久777片| 国产精品熟女久久久久浪| 大片免费播放器 马上看| 我要看日韩黄色一级片| 亚洲精品色激情综合| 国产 一区精品| av.在线天堂| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 黄色配什么色好看| 少妇的逼水好多| 高清在线视频一区二区三区| 免费看日本二区| 女人被狂操c到高潮| 亚洲最大成人手机在线| 韩国av在线不卡| 99热这里只有是精品在线观看| 午夜福利视频1000在线观看| 亚洲欧洲日产国产| 久久久久久久久大av| 国产一区二区三区av在线| 婷婷色麻豆天堂久久| 人体艺术视频欧美日本| 91狼人影院| 黄色配什么色好看| 网址你懂的国产日韩在线| 国产伦在线观看视频一区| 波多野结衣巨乳人妻| 直男gayav资源| 啦啦啦啦在线视频资源| 国产老妇伦熟女老妇高清| 欧美成人一区二区免费高清观看| 久久久精品94久久精品| 日韩制服骚丝袜av| .国产精品久久| 国产伦精品一区二区三区四那| 国产成人午夜福利电影在线观看| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 日日啪夜夜爽| 日韩一区二区三区影片| 下体分泌物呈黄色| 最后的刺客免费高清国语| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 91久久精品国产一区二区三区| 精品午夜福利在线看| 久久久久久伊人网av| 国内揄拍国产精品人妻在线| 亚洲欧美精品专区久久| 国产亚洲5aaaaa淫片| 91久久精品电影网| 亚洲第一区二区三区不卡| 夫妻性生交免费视频一级片| 大香蕉久久网| 亚洲国产日韩一区二区| 搞女人的毛片| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 免费看不卡的av| 日韩在线高清观看一区二区三区| 中文字幕久久专区| 久久精品夜色国产| 亚洲最大成人手机在线| 亚洲av免费高清在线观看| 免费在线观看成人毛片| 免费在线观看成人毛片| 天堂俺去俺来也www色官网| 久久精品夜色国产| 久久久久国产精品人妻一区二区| 国产精品一区www在线观看| 麻豆成人午夜福利视频| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 久久韩国三级中文字幕| 久久99热这里只频精品6学生| 久久99热这里只频精品6学生| 国产黄片视频在线免费观看| 色视频在线一区二区三区| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 性色avwww在线观看| 最近手机中文字幕大全| 国产精品嫩草影院av在线观看| 成年人午夜在线观看视频| 亚洲国产色片| 少妇 在线观看| 性色av一级| 亚洲久久久久久中文字幕| 国产乱人偷精品视频| 黄色欧美视频在线观看| 午夜免费男女啪啪视频观看| 尾随美女入室| 国产探花极品一区二区| 在线天堂最新版资源| 我的老师免费观看完整版| 亚洲欧美精品自产自拍| 天堂中文最新版在线下载 | 亚洲av日韩在线播放| 日本黄大片高清| 亚洲av欧美aⅴ国产| 亚洲真实伦在线观看| 又大又黄又爽视频免费| 色吧在线观看| 国产成人福利小说| 舔av片在线| av在线播放精品| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 一本久久精品| 亚洲国产精品成人久久小说| 成年人午夜在线观看视频| 色婷婷久久久亚洲欧美| 国产乱来视频区| 亚洲国产成人一精品久久久| 精品人妻一区二区三区麻豆| 人妻 亚洲 视频| 国产精品99久久久久久久久| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 久久女婷五月综合色啪小说 | 国产永久视频网站| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| eeuss影院久久| 国产精品无大码| 少妇丰满av| 午夜亚洲福利在线播放| 乱系列少妇在线播放| 性色av一级| 香蕉精品网在线| 成人亚洲精品av一区二区| 欧美日韩亚洲高清精品| 男女无遮挡免费网站观看| 精品熟女少妇av免费看| 午夜福利高清视频| 亚洲欧美精品自产自拍| 男的添女的下面高潮视频| 亚洲精品视频女| 亚洲精品视频女| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲av.av天堂| 99久久精品热视频| 中国三级夫妇交换| 爱豆传媒免费全集在线观看| 久久人人爽人人爽人人片va| 欧美少妇被猛烈插入视频| 青春草亚洲视频在线观看| 日韩强制内射视频| 69人妻影院| 亚洲国产最新在线播放| 国产精品嫩草影院av在线观看| 亚洲国产色片| 国产乱来视频区| 超碰97精品在线观看| 中文字幕亚洲精品专区| 又爽又黄a免费视频| av在线亚洲专区| av天堂中文字幕网| 久久久亚洲精品成人影院| 3wmmmm亚洲av在线观看| 久久99热这里只有精品18| 久久人人爽人人爽人人片va| 国产高清有码在线观看视频| 国产亚洲av嫩草精品影院| 韩国av在线不卡| 国产在线一区二区三区精| 另类亚洲欧美激情| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 三级经典国产精品| 久热这里只有精品99| 精品视频人人做人人爽| 久久久欧美国产精品| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | 永久网站在线| 日韩欧美精品v在线| 99久久精品热视频| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 69人妻影院| 国产亚洲精品久久久com| 天堂俺去俺来也www色官网| 国产久久久一区二区三区| 男女无遮挡免费网站观看| 国产成人一区二区在线| 精品熟女少妇av免费看| 2021天堂中文幕一二区在线观| 亚洲伊人久久精品综合| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 色网站视频免费| 国产一区亚洲一区在线观看| 如何舔出高潮| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 别揉我奶头 嗯啊视频| 极品少妇高潮喷水抽搐| 一级毛片aaaaaa免费看小| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 22中文网久久字幕| 日韩制服骚丝袜av| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 青青草视频在线视频观看| 国产在视频线精品| 欧美3d第一页| 国产日韩欧美在线精品| 亚洲欧美日韩东京热| 国产有黄有色有爽视频| 国产极品天堂在线| 色吧在线观看| 一区二区三区四区激情视频| 黄色视频在线播放观看不卡| 中文字幕免费在线视频6| 中文字幕久久专区| 亚洲最大成人中文| 边亲边吃奶的免费视频| 看非洲黑人一级黄片| 亚洲国产欧美人成| 卡戴珊不雅视频在线播放| 色婷婷久久久亚洲欧美| 啦啦啦啦在线视频资源| 精品人妻一区二区三区麻豆| 日韩电影二区| 国产熟女欧美一区二区| 亚洲欧美日韩无卡精品| 亚洲av.av天堂| 一区二区三区免费毛片| 99热6这里只有精品| 亚洲av成人精品一区久久| 黄色配什么色好看| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 国产男人的电影天堂91| 精品久久久久久久末码| 国产淫片久久久久久久久| 成年av动漫网址| 内射极品少妇av片p| 少妇人妻一区二区三区视频| 亚洲av电影在线观看一区二区三区 | 久久精品久久精品一区二区三区| 亚洲av免费高清在线观看| 高清毛片免费看| 亚洲国产精品999| 久久精品人妻少妇| 久久久国产一区二区| 亚洲av免费高清在线观看| 乱码一卡2卡4卡精品| 亚洲成色77777| 五月伊人婷婷丁香| 超碰av人人做人人爽久久| 久久精品国产亚洲网站| 久热这里只有精品99| 日本黄大片高清| 成人国产av品久久久| 国产真实伦视频高清在线观看| av一本久久久久| 国产淫片久久久久久久久| 国产色爽女视频免费观看| 免费av不卡在线播放| 亚洲熟女精品中文字幕| 超碰av人人做人人爽久久| 99热全是精品| 国产在线男女| 成人毛片a级毛片在线播放| 丰满人妻一区二区三区视频av| 国产成人免费无遮挡视频| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 啦啦啦在线观看免费高清www| 日韩免费高清中文字幕av| 久久久久久久久久久丰满| 精品酒店卫生间| 看非洲黑人一级黄片| 亚洲色图综合在线观看| 免费看av在线观看网站| 看黄色毛片网站| 身体一侧抽搐| 日日撸夜夜添| 一区二区三区免费毛片| 亚洲成人久久爱视频| 亚洲av在线观看美女高潮| 女人久久www免费人成看片| 精华霜和精华液先用哪个| 天美传媒精品一区二区| 超碰97精品在线观看| 内射极品少妇av片p| 免费高清在线观看视频在线观看| 综合色av麻豆| 99热6这里只有精品| 免费av观看视频| 免费看a级黄色片| 久久久精品欧美日韩精品| 亚洲精品成人av观看孕妇| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 亚洲综合色惰| 日韩欧美精品免费久久| 观看免费一级毛片| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线 | 欧美最新免费一区二区三区| 日韩伦理黄色片| av卡一久久| 新久久久久国产一级毛片| 欧美三级亚洲精品| 在线观看三级黄色| 丝袜脚勾引网站| 另类亚洲欧美激情| 国产极品天堂在线| 舔av片在线| 国产精品国产三级国产专区5o| 国产成人一区二区在线| 五月伊人婷婷丁香| 欧美激情在线99| 高清在线视频一区二区三区| 欧美日本视频| 日本免费在线观看一区| 少妇人妻一区二区三区视频| 国产成人免费观看mmmm| 国产精品熟女久久久久浪| 日韩电影二区| 蜜臀久久99精品久久宅男| 午夜免费鲁丝| 免费黄网站久久成人精品| 老司机影院毛片| 啦啦啦在线观看免费高清www| 日韩亚洲欧美综合| 99久久精品一区二区三区| 日本与韩国留学比较| 久久99热这里只频精品6学生| 欧美极品一区二区三区四区| 一个人看的www免费观看视频| 亚洲国产av新网站| 一级毛片我不卡| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 国产黄色免费在线视频| 亚洲精品久久午夜乱码| 新久久久久国产一级毛片| 成人毛片a级毛片在线播放| 亚洲精品国产色婷婷电影| 成人二区视频| 免费av不卡在线播放| 777米奇影视久久| 免费在线观看成人毛片| 十八禁网站网址无遮挡 | 国产成人aa在线观看| 欧美人与善性xxx| 搡女人真爽免费视频火全软件| 毛片女人毛片| 国产午夜精品一二区理论片| 只有这里有精品99| 性插视频无遮挡在线免费观看| 日日啪夜夜爽| 午夜福利高清视频| 色视频在线一区二区三区| 伊人久久国产一区二区| 交换朋友夫妻互换小说| av在线天堂中文字幕| 免费黄网站久久成人精品| 亚洲电影在线观看av| 国产av国产精品国产| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| av国产免费在线观看| 精品久久久精品久久久| 可以在线观看毛片的网站| 国产黄频视频在线观看| 在线观看免费高清a一片| 亚洲人成网站高清观看| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 真实男女啪啪啪动态图| 2022亚洲国产成人精品| 男男h啪啪无遮挡| 男女无遮挡免费网站观看| 国产精品无大码| 丰满少妇做爰视频| 久久久欧美国产精品| 91aial.com中文字幕在线观看| 国产黄片视频在线免费观看| 亚洲av在线观看美女高潮| 亚洲av日韩在线播放| av在线天堂中文字幕| 日日啪夜夜爽| 亚洲精品自拍成人| 久久午夜福利片| 精品一区二区三卡| 哪个播放器可以免费观看大片| 国内精品宾馆在线| 久久久久久久久久成人| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片 精品乱码久久久久久99久播 | 男人爽女人下面视频在线观看| 波多野结衣巨乳人妻| 一区二区av电影网| 丝袜脚勾引网站| 五月开心婷婷网| 有码 亚洲区| 国产一级毛片在线| 成年女人看的毛片在线观看| 日韩强制内射视频| 老女人水多毛片| 精品一区二区免费观看| 国产欧美日韩一区二区三区在线 | 亚洲欧美日韩无卡精品| 成人无遮挡网站| 尾随美女入室| 色吧在线观看| 啦啦啦啦在线视频资源| 免费av不卡在线播放| 成人特级av手机在线观看| 欧美成人午夜免费资源| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 午夜福利视频精品| 18+在线观看网站| 久久精品国产自在天天线| 国产 精品1| 大香蕉久久网| 精品久久国产蜜桃| 国产v大片淫在线免费观看| av网站免费在线观看视频| 成人黄色视频免费在线看| 国产精品熟女久久久久浪| 内射极品少妇av片p| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 一级黄片播放器| 成人亚洲欧美一区二区av| 一级毛片久久久久久久久女| 国产免费又黄又爽又色| 久久精品国产自在天天线| 一级av片app| 亚洲国产成人一精品久久久| 成人美女网站在线观看视频| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 嫩草影院精品99| 久久久a久久爽久久v久久| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 日本欧美国产在线视频| 一个人看视频在线观看www免费| 一边亲一边摸免费视频| 国产久久久一区二区三区| 午夜日本视频在线| 一本久久精品| 国产成人精品福利久久| 久久久精品94久久精品| 亚洲人成网站高清观看| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 少妇 在线观看| 国产午夜福利久久久久久| 丝袜美腿在线中文| 亚洲欧美成人精品一区二区| 中国三级夫妇交换| 国产91av在线免费观看| 2022亚洲国产成人精品| 国产精品嫩草影院av在线观看| 99久久九九国产精品国产免费| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 日本一本二区三区精品| 成人国产麻豆网| 免费在线观看成人毛片| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 最近最新中文字幕免费大全7| 国产v大片淫在线免费观看| 日韩av不卡免费在线播放| 99久国产av精品国产电影| 免费av不卡在线播放| 日本av手机在线免费观看| 少妇的逼水好多| 国产男女内射视频| 国产色爽女视频免费观看| 国产精品无大码| 国产中年淑女户外野战色| 边亲边吃奶的免费视频| 日韩免费高清中文字幕av| www.av在线官网国产| 欧美一区二区亚洲| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 欧美成人午夜免费资源| 欧美日韩在线观看h| 久久精品夜色国产| av在线蜜桃| 午夜福利视频1000在线观看| 不卡视频在线观看欧美| 激情 狠狠 欧美| 日韩欧美一区视频在线观看 | 99久久人妻综合| 免费观看a级毛片全部| 麻豆乱淫一区二区| 日本黄大片高清| 男插女下体视频免费在线播放| 亚洲经典国产精华液单| 久久久久久久精品精品| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 精品午夜福利在线看| 亚洲天堂国产精品一区在线| 精品国产乱码久久久久久小说| 性色av一级| 午夜福利在线在线| 狂野欧美激情性bbbbbb| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 超碰av人人做人人爽久久| 成年av动漫网址| 精品国产乱码久久久久久小说| 在现免费观看毛片| kizo精华| 日韩av免费高清视频| av在线老鸭窝| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频 | 国产一区二区三区av在线| 一级黄片播放器| 亚洲av中文av极速乱| 少妇 在线观看| 22中文网久久字幕| 国产片特级美女逼逼视频| 在线天堂最新版资源| 亚洲国产最新在线播放| av天堂中文字幕网| 欧美成人a在线观看| 网址你懂的国产日韩在线| 国产高清有码在线观看视频| 特级一级黄色大片| 色视频在线一区二区三区| 伦精品一区二区三区| 偷拍熟女少妇极品色| 十八禁网站网址无遮挡 | 男女无遮挡免费网站观看| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91 | 精品一区二区免费观看| 老师上课跳d突然被开到最大视频| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频 | 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 中文字幕免费在线视频6| 久久久久精品久久久久真实原创| 中文字幕制服av| 99热国产这里只有精品6| 中文字幕制服av| 五月伊人婷婷丁香| 晚上一个人看的免费电影| 黄片wwwwww| 中文字幕制服av| 99热国产这里只有精品6| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 欧美bdsm另类| 欧美高清性xxxxhd video| 少妇人妻 视频| 丝瓜视频免费看黄片| av国产免费在线观看| 中文字幕亚洲精品专区| 男女下面进入的视频免费午夜| 丝瓜视频免费看黄片| 成人国产av品久久久| 99热这里只有是精品在线观看| 国产精品福利在线免费观看| 国产69精品久久久久777片| 日韩欧美精品v在线| 亚洲国产成人一精品久久久| 成人黄色视频免费在线看| 国产精品蜜桃在线观看| 亚洲欧洲国产日韩| 观看免费一级毛片|