一類新型Szasz-Kantorovich-Bezier算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近

孫芳美,吳嘎日迪

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

一類新型Szasz-Kantorovich-Bezier算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近

孫芳美,吳嘎日迪

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

研究了一類新型Szasz-Kantorovich-Bezier算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近問題.在連續(xù)函數(shù)空間和Lp空間內(nèi)研究算子逼近方法的基礎(chǔ)上,利用函數(shù)逼近論中的常用方法和技巧以及K泛函、Ditzian-Totik模、Holder不等式、Cauchy不等式、凸函數(shù)的Jensen不等式等工具得到了該算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近正定理、逆定理和等價(jià)定理.由于Orlicz空間包含連續(xù)函數(shù)空間和Lp空間,其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也比Lp空間復(fù)雜得多,所以本文的結(jié)果具有一定的拓展意義.

新型Szasz-Kantorovich-Bezier算子;Orlicz空間;正定理;逆定理;等價(jià)定理

1 定理及主要結(jié)果

近年有一類稱為Bezier型算子在Lp空間及Orlicz空間內(nèi)得到了一系列的研究.2006年郭順生在文獻(xiàn)[1]中引入并討論了Szasz-Kantorovich-Bezier算子

在Lp空間內(nèi)的逼近問題，其中是Bezier基函數(shù),

且以Ditzian-Totik模為工具得到了該算子在Lp空間內(nèi)的逼近正定理、逆定理和等價(jià)定理.在文獻(xiàn)[2]中定義了一類新型Szasz-Kantorovich-Bezier算子

其中{sn}為一有界的正數(shù)列,并研究了該算子在Lp空間內(nèi)的逼近正定理、逆定理和等價(jià)定理.當(dāng)sn=0時(shí),即為通常的Szasz-Kantorovich-Bezier算子.至今為止尚未看到這類新型Szasz-Kantorovich-Bezier算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近性質(zhì).為此,本文在Orlicz空間內(nèi)研究了該算子的逼近性質(zhì),并得到了該算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近正定理、逆定理和等價(jià)定理.

文中用M(u)和N(v)表示互余的N函數(shù),關(guān)于N函數(shù)的定義及其性質(zhì)見文獻(xiàn)[3].由N函數(shù)M(u)生成的Orlicz空間是指具有有限的Orlicz范數(shù)

定理1.1設(shè)則

定理1.2設(shè)則

定理1.3設(shè)則

注1.1由Orlicz范數(shù)(1)和Luxemburg范數(shù)(2)的等價(jià)性容易看出,正定理和逆定理的結(jié)論在Orlicz空間內(nèi)同樣成立.本文中用C表示絕對(duì)正常數(shù),并且在不同處可以表示不同的值.

2 相關(guān)引理

連續(xù)模和K泛函定義如下:

則根據(jù)文獻(xiàn)[1,4,5]容易推得

引理2.1[1]1=Jn,0(x)＞Jn,1(x)＞···＞Jn,k(x)＞Jn,k+1(x)＞···＞0,x∈[0,∞).

引理2.2[1]p′n,k(x)=n(pn,k?1(x)?pn,k(x)),k=1,2,···,p′n,0(x)=?npn,0(x).

引理2.3[1]J′n,0(x)=0,J′n,k(x)=npn,k?1(x)＞0,k=1,2,···.

引理2.4[1]

引理2.5當(dāng)x∈[0,∞)時(shí),其中

證明經(jīng)過簡單的計(jì)算可以得到

因?yàn)閧sn}是有界量,則

所以

引理2.6[1]由于 α≥1時(shí),aα?bα≤α(a?b),0≤b≤a≤1,則

引理2.7是從的有界線性算子,且

證明的線性性是顯然的.下證有界性

引理2.8對(duì)于有

證明通過簡單的計(jì)算有

類似文獻(xiàn)[6]中由Orlicz空間內(nèi)的Holder不等式推出的結(jié)論容易推得

故有

結(jié)合引理2.4可得

于是可得

注意到J′n,0(x)=0,則

因此知

綜上

故而

引理2.9對(duì)于有

證明由于=0,有

又

且

因而

由文獻(xiàn)[2]中引理2.7的證明直接可得

所以

從而

3 定理的證明

定理1.1的證明利用K泛函與連續(xù)模的等價(jià)關(guān)系式知,存在g∈WM,使得

結(jié)合引理2.7有

因此只需證明

又

由引理2.9證明過程,有

故

從而,有

綜合利用Cauchy不等式,凸函數(shù)的Jensen不等式,可得

由引理2.5可得

故

綜上即可證得定理1.1.

定理1.2的證明由引理2.8,引理2.9及K泛函與連續(xù)模的等價(jià)關(guān)系知,存在g∈WM,有

利用文獻(xiàn)[5]中Berens-Lorentz引理可得

又由

有

定理1.3的證明 ”?”見定理1.2.

”?” 由于

所以充分性由由根定理1.1可以直接得到.

參考文獻(xiàn)

[1]郭順生,齊秋蘭,李清.Szasz-Kantorovich-Bezier算子在 Lp[0,∞)上的逼近定理 [J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論, 2006,26(4):744-755.

[2]盧敏.一類新型Szasz-Kantorovich-Bezier算子逼近[D].寧夏大學(xué):圖書館,2009.

[3]吳從炘,王廷輔.奧爾里奇空間及其應(yīng)用[M].哈爾濱:黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社,1983.

[4]Wu Garidi.On approximation by polynomials in Orlicz spaces[J].Approximation Theory and its Applications,1991,7(3):97-110.

[5]Ditzian Z,TOotik V.Moduli of Smoothness[M].Berlin:Springer-Verlag,1987.

[6]馮悅,吳嘎日迪.Shepard算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近等價(jià)定理[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào),2010,39(6):566-567.

[7]Zeng Xiaoming.On the rate of convergence of the generalized Szasz type operators for bounded variation functions[J].J.Math.Anal.Appl.,1998,226:309-325.

[8]鄧雪莉,吳嘎日迪.關(guān)于Bernstein-Durrmeyer-Bezier算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 2015,31(3):307-317.

On approximation of a new type of Szasz-Kantorovich-Bezier operator in Orlicz spaces

Sun Fangmei,Wu Garidi
(College of Mathematics Science,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,China)

In this paper we investigate the approximation problem of a new type of Szasz-Kantorovich-Bezier operator in Orlicz spaces based on the methods of studying the operator approximation in continuous function space and Lpspace,and used common measures and techniques in function approximation theory.K-functional, modulus of Ditzian-Totik,Holder inequality,Cauchy inequality,the convex property of N-function,Jensen inequality are used as tools to obtain direct throrem,converse throrem and equivalence theorem in orlicz spaces. Because the Orlicz space includes continuous function space and Lpspace,and its topological structure is more complicated than Lpspace,the results of this paper have certain expansion significance.

Szasz-Kantorovich-Bezier operator,Orlicz space,direct throrem,converse throrem, equivalence theorem

O 174.41

A

1008-5513(2017)02-0168-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.008

2016-12-08.

國家自然科學(xué)基金(11161033);內(nèi)蒙古自治區(qū)研究生科研創(chuàng)新資助項(xiàng)目(S20161013501).

孫芳美(1994-),碩士生,研究方向：函數(shù)逼近論.

吳嘎日迪(1962-),碩士,教授,研究方向：函數(shù)逼近論.

2010 MSC:41A35