平衡對和完備余撓對

孫丹,楊曉燕

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

平衡對和完備余撓對

孫丹,楊曉燕

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

通過討論平衡對、相對于平衡對的特殊逼近和相對于平衡對的余撓對之間的關(guān)系,給出了它們的一些性質(zhì),并得到了相對完備余撓對的等價刻畫.

平衡對;相對特殊逼近;相對余撓對

1 引言

在經(jīng)典同調(diào)代數(shù)中,平衡對占據(jù)很重要的位置.比如,文獻(xiàn)[1]中介紹了左(或右)平衡函子的概念.文獻(xiàn)[2]中將左(或右)平衡函子應(yīng)用到了相對同調(diào)代數(shù)中.近年來,文獻(xiàn)[3]中介紹了阿貝爾范疇中加法子范疇平衡對的概念,并證明了阿貝爾范疇中的平衡對,遺傳了經(jīng)典平衡對中一些很好的性質(zhì).余撓對的概念最早是由文獻(xiàn)[4]中提出的.因為余撓對的定義是以函子Ext(?,?)為基礎(chǔ)的,所以余撓對的本質(zhì)是以平衡對為基礎(chǔ)的.因此,通過平衡對來研究相對于平衡對的余撓對的性質(zhì)是很有意義的.2016年,文獻(xiàn)[5]中在阿貝爾范疇中,定義了相對于平衡對的余撓對的概念,給出了相對完備余撓對的一些等價刻畫.受到這些工作的啟發(fā),本文繼續(xù)研究了相對完備余撓對的等價刻畫.

2 準(zhǔn)備知識

在本文中,A是阿貝爾范疇,A的子范疇是在同構(gòu)和直和項下封閉的加法滿子范疇, P(A)是A中的投射對象構(gòu)成的子范疇,I(A)是A中的內(nèi)射對象構(gòu)成的子范疇,C(A)是A中對象的復(fù)形構(gòu)成的范疇.

定義 2.1[3,5]設(shè)X是A的一個子范疇,

(1)稱復(fù)形X?是零調(diào)的(或正合的),如果對任意的i∈Z,有Hi(X?)=0.

(2)稱復(fù)形X?是右X-零調(diào)的,如果對任意的X∈X,復(fù)形HomA(X,X?)是零調(diào)的.

定義 2.2[6]設(shè) X,Y是 A的子范疇且 X ?Y,f:X→Y是 A中的態(tài)射,其中X∈X,Y∈Y.

(1)稱f是Y的右X-逼近,如果對任意的X′∈X和A中任意的態(tài)射g:X′→Y,都存在態(tài)射h:X′→X,使得下圖交換

(2)稱X是Y的反變有限子范疇,如果Y中的每一個對象都有右X-逼近.類似地,可以定義左X-逼近和共變有限子范疇的概念.

定義 2.3[5]稱A的反變有限子范疇X是容許的,如果每一個右X-逼近是滿的.類似地,可以定義余容許子范疇的概念.

定義 2.4[3,7]設(shè)X是A的反變有限子范疇,M∈A.稱復(fù)形X是M的X-分解,如果A中的復(fù)形

是右X-零調(diào)的,其中Xi∈X.通常將該分解記為其中

是M的刪項X-分解.類似地,可以定義Y-余分解的概念.

3 平衡對和完備的余撓對

定義 3.1[3,7]設(shè)X,Y是A的子范疇.稱(X,Y)是平衡對,如果滿足以下條件:

(1)X在A中是反變有限的,Y在A中是共變有限的;

(2)對任意的M∈A,都存在M的左Y-零調(diào)的X-分解X?→M;

(3)對任意的N∈A,都存在N的右X-零調(diào)的Y-余分解N→Y?.

因此,(X,Y)是平衡對當(dāng)且僅當(dāng)右X-零調(diào)復(fù)形的類與左Y-零調(diào)復(fù)形的類是一致的.

例 3.1[7]設(shè)R是n-Gorenstein環(huán),Mod R是左R-模范疇.GP(R)是由Gorenstein-投射模構(gòu)成的Mod R的子范疇,GI(R)是由Gorenstein-內(nèi)射模構(gòu)成的Mod R的子范疇.則(GP(R),GI(R))是Mod R的平衡對.

定義 3.2[5,7](1)稱復(fù)形X是?-零調(diào)的,如果X既是右X-零調(diào)的又是左Y-零調(diào)的.

(2)設(shè)(X,Y)是平衡對,M,N∈A,X?→M是M的X-分解,N→Y?是N的Y-余分解.對任意的i∈Z,定義上同調(diào)群

(3)設(shè)E是A的子范疇,f:E→M是M的右E-逼近,其中M∈A,E∈E.稱f相對于平衡對(X,Y)是特殊的,如果f是滿的且Ker f∈E⊥?,其中

類似地,我們可以定義相對于平衡對(X,Y)的特殊左E-逼近.

(4)設(shè)(X,Y)是平衡對,C,D是A的子范疇.稱(C,D)是相對于(X,Y)的余撓對,如果C=⊥?D,D=C⊥?,其中⊥?D=

在本節(jié)的其余部分,(X,Y)指的是A中的平衡對,(C,D)指的是相對于(X,Y)的余撓對.

命題 3.1[5]X是容許的當(dāng)且僅當(dāng)Y是余容許的.此時,稱(X,Y)是容許的.

定理 3.1設(shè)E是A的子范疇.

證明(1)因為φ:E→M是相對于(X,Y)的特殊右E-逼近,所以φ是滿的且

即g=hi.設(shè)ε:K→M是包含映射.令f=εg,則f=εhi,即f可通過i分解.同理可證 (2).

命題 3.2設(shè)(C,D)和(D,F)是相對于(X,Y)的遺傳余撓對.若(X,Y)關(guān)于直和項封閉,則C∩D=X,D∩F=Y.

證明因為(C,D)和(D,F)是相對于(X,Y)的遺傳余撓對,所以由文獻(xiàn)[5]和命題3.7知,

故對1M∈HomA(M,M),存在γ∈HomA(M,X),使得β?(γ)=1M,即βγ=1M.

因為 X關(guān)于直和項封閉,所以 M∈X.故 C∩D?X.因此 C∩D=X.同理可證D∩F=Y.

定義 3.3[7](1)稱(C,D)有足夠投射對象,如果對任意的M∈A,都存在A中的一個?-零調(diào)的復(fù)形0→D→C→M→0,其中C∈C,D∈D.

(2)稱(C,D)有足夠內(nèi)射對象,如果對任意的M∈A,都存在A中的一個?-零調(diào)的復(fù)形0→M→D→C→0,其中C∈C,D∈D.

(3)稱(C,D)是完備的,如果(C,D)有足夠投射對象和足夠內(nèi)射對象.

由前面可知,由平衡對可以得到與之相關(guān)的余撓對.下面我們說明,由(X,Y)上的余撓對可以構(gòu)造出新的平衡對.

命題 3.3設(shè) (C,D)和 (D,F)是相對于 (X,Y)的完備遺傳余撓對,(X,Y)是容許的.則(C,F)是一個平衡對.

證明任取N∈A.因為(D,F)是完備的,所以(D,F)有足夠內(nèi)射對象,即存在A中的一個 ?-零調(diào)的復(fù)形其中 F∈F,D∈D.下證:若 C∈C,則HomA(C,F)→HomA(C,D)→0是零調(diào)的.取A中?-零調(diào)的復(fù)形

其中X∈X.由[5,命題3.7]知,X∈X?D,D∈D,(D,F)是遺傳的,所以L′∈D.因為=0,所以用函子HomA(C,?)作用得零調(diào)的復(fù)形

即HomA(C,X)→HomA(C,D)→0是零調(diào)的.

故對任意的a∈HomA(C,D),存在b∈HomA(C,X),使得a=βb.又因為

是右X-零調(diào)的,所以

是零調(diào)的.故對β∈HomA(X,D),存在c∈HomA(X,F),使得β=gc.因此,a=βb=gcb,即對任意的a∈HomA(C,D),存在bc∈HomA(C,F),使得a=HomA(C,g)b=gcb.從而

是零調(diào)的.因為(X,Y)是容許的,所以每一個?-零調(diào)的復(fù)形是零調(diào)的,繼續(xù)這個過程

對任意的N∈A,可以得到右C-零調(diào)的F-余分解N?→F?.對偶地,對任意的M∈A,可以得到左F-零調(diào)的C-分解C??→M.因此,(C,F)是一個平衡對.

由余撓對完備的定義,我們有以下完備的等價刻畫:

定理 3.2設(shè)(X,Y)是容許的,(C,D)是遺傳的余撓對.則以下等價:

(1)(C,D)是完備的;

(2)A的每一個對象有相對于(X,Y)的特殊右C-逼近且C的每一個對象有相對于(X,Y)的特殊左D-逼近;

(3)A的每一個對象有相對于 (X,Y)的特殊左 D-逼近且 D的每一個對象有相對于(X,Y)的特殊右C-逼近.

證明(1)?(2)與(1)?(3)類似.只證(1)?(2).

(1)?(2)因為(C,D)是完備的,所以(C,D)有足夠投射對象,即對任意的M∈A,都存在A中的一個?-零調(diào)的復(fù)形其中C∈C,D∈D.故

是A中對象M的相對于(X,Y)的特殊右C-逼近.因為(C,D)是完備的,所以(C,D)有足夠內(nèi)射對象,即對任意的M∈A,都存在A中的一個?-零調(diào)的復(fù)形其中C′∈C,D′∈D.特別地,取N∈C?A,存在A中的一個?-零調(diào)的復(fù)形其中C′∈C,D′∈D.故α′:N→D′是C中對象N的左D-逼近且Coker又因為α′是單的,所以α′:N→D′是C中對象N的相對于(X,Y)的特殊左D-逼近.

(2)? (1)設(shè) φ:C→M是A中對象 M的相對于 (X,Y)的特殊右 C-逼近.因為 (X,Y)是容許的,所以存在 A中的一個 ?-零調(diào)的復(fù)形0,其中K==D.設(shè)ψ:C→D′是C中對象C的相對于(X,Y)的特殊左D-逼近.則存在A中的一個?-零調(diào)的復(fù)形其中=C.因為C,C′∈C,(C,D)是遺傳的,所以D′∈C,即D′∈C∩D.考慮下面的推出圖

并且存在一個態(tài)射j:D′→Y,使得g=jψ.

因此,f=gi=jψi=ji′且0→0是?-零調(diào)的.因為(C,D)是遺傳的,所以

下證:ψ′:M→X是 A中對象 M的相對于 (X,Y)的特殊左 D-逼近.即證:ψ′是單的且 Coker因為0是 ?-零調(diào)的,所以 ψ′是單的且又因為C′∈C,C關(guān)于同構(gòu)封閉,所以

因此,ψ′:M→X是A中對象M的相對于(X,Y)的特殊左D-逼近.故對任意的M∈A,有A中的?-零調(diào)的復(fù)形其中C∈C,Ker φ∈D和A中的?-零調(diào)的復(fù)形

其中Coker ψ′∈C,X∈D.因此,(C,D)有足夠投射對象和足夠內(nèi)射對象,即(C,D)是完備的.

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The balanced pair and complete cotorsion pair

Sun Dan,Yang Xiaoyan
(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)

This paper discuss the relationship of the balanced pair,special approximation relative to balanced pair and cotorsion pair relative to balanced pair,then give some properties about them,and get some equivalent characterizations of a relative complete cotorsion pair.

balanced pair,relative special approximation,relative cotorsion pair

O153.3

A

1008-5513(2017)02-0197-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.011

2016-12-23.

國家自然科學(xué)基金(11361051).

孫丹(1992-),碩士生,研究方向：同調(diào)理論.

2010 MSC:16D10