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    一類解析函數(shù)的三階Hankel行列式上界估計

    2017-04-27 03:52:02張海燕湯獲馬麗娜
    關鍵詞:對稱點行列式三階

    張海燕,湯獲,馬麗娜

    (赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,內蒙古 赤峰 024000)

    一類解析函數(shù)的三階Hankel行列式上界估計

    張海燕,湯獲,馬麗娜

    (赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,內蒙古 赤峰 024000)

    主要研究了與對稱點有關的一類解析函數(shù)Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式H3(1),得到了該行列式的上界估計.

    解析函數(shù);對稱點;三階Hankel行列式;上界估計

    1 引言

    設S表示單位圓盤D={z∈C:|z|<1}內單葉解析且具有如下形式的函數(shù)族

    設P表示單位圓盤D={z∈C:|z|<1}內具有如下形式且滿足條件Rep(z)>0的函數(shù)族

    由文獻[1]中的結論易知,對于函數(shù)p(z)∈P,存在Schwarz函數(shù)ω(z),使得

    定義1.1[2]設函數(shù)f(z)和g(z)在單位圓盤D內解析.如果存在D內的Schwarz函數(shù)ω(z),滿足:ω(0)=0,|ω(z)|<1且f(z)=g(ω(z)),則稱f(z)從屬于g(z),記為f(z)?g(z).特別地,如果g(z)在D內單葉,則

    2013年,湯獲,鄧冠鐵在文獻[3]中引入與對稱點有關的一類解析函數(shù),并討論了該函數(shù)類的系數(shù)估計.

    定義 1.2[3]設Ms(α,μ,A,B)是具有(1.1)的形式且滿足下面條件的函數(shù)全體,

    其中?1≤B<A≤1,0≤μ≤α≤1.

    由從屬的定義可知f∈Ms(α,μ,A,B)當且僅當

    其中ω(z)是單葉解析函數(shù),且滿足ω(0)=0,|ω(z)|≤1,z∈D.

    1976年,Noonan和Thomas[4]定義了函數(shù)f的q階Hankel行列式:

    其中a1=1,n≥1,q≥1.

    特別地,有

    因為f∈S,a1=1,故有

    其中H2(1)的上界估計即是經(jīng)典的Fekete-Szeg不等式[5].

    近年來,越來越多的學者對Hankel行列式的研究產生了濃厚的興趣.文獻[4]研究了p葉函數(shù)的二階Hankel行列式,文獻[6]中研究了星象函數(shù)的行列式Hq(n),并確定了當n→∞時,行列式Hq(n)的增長率.文獻[7]中研究了指數(shù)多項式的Hankel行列式,文獻[8]中研究了積分序列的Hankel變換和一些性質.其他關于H2(2)的上界估計問題的研究,如文獻[9-11].但到目前為止,對于三階Hankel行列式H3(1)的研究較少(見文獻[12][13]).受以上啟發(fā),研究與對稱點有關的一類解析函數(shù)Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式H3(1),給出了其上界估計.

    2 主要結果

    除非特別說明,在本文中,假設

    為了證明本文結論,需要如下引理.

    引理 2.1[2]如果p(z)∈P,則

    引理 2.2[14]如果p(z)∈P,則存在復數(shù)x,z,滿足|x|≤1,|z|≤1,使得

    引理 2.3[3]設f∈Ms(α,μ,A,B),則

    借助于上面引理及下面幾個定理的結論,得到了函數(shù)Ms(α,μ,A,B)的三階Hankel行列式的估計.

    定理 2.1若f∈Ms(α,μ,A,B),則有

    其中

    證明設f∈Ms(α,μ,A,B),由從屬定義和(1.5)式可得

    其中ω(z)是單葉解析函數(shù),且滿足ω(0)=0,|ω(z)|≤1,z∈D.設

    定義函數(shù)p(z)如下:

    則p(z)∈P且

    故有

    分別比較(1.17)式、(1.18)式中z,z2,z3的系數(shù),得

    于是,有

    從而,有

    其中

    進而,有

    下面分兩種情況進行討論:

    (1)當t>t?時,<0,函數(shù)F(c,t)關于t嚴格單調遞減,F(c,t)在t=0取最大值,即

    因為

    故函數(shù)G′(c)嚴格單調遞增.由于c∈[0,2],因此G′(c)>G′(0)=B2P?8.由于0≤P≤8,?1≤B≤1及c的任意性,可知G′(c)≥0,從而G′(c)單調遞增.從而有G′(c)≥G′(0)=0,即函數(shù) G(c)單調遞增,因此函數(shù) G(c)在 c=2處取到最大值.綜上可知,函數(shù) F(c,t)在t=0,c=2處取得最大值,即

    其中

    定理 2.2若f∈Ms(α,μ,A,B),則有

    其中

    證明此定理的證明方法與定理2.1類似,在此省略其證明過程.

    定理 2.3若f∈Ms(α,μ,A,B),則有

    其中

    證明由(1.19),(1.20),(1.21)式,可得

    設|x|=t,0≤t≤1,c1=c,c∈[0,2],又因為|z|≤1,則由三角不等式和引理2.2,可得

    其中

    進而,有

    下面分兩種情況進行討論:

    (1)當t>t?時,<0,函數(shù)F(c,t)關于t嚴格單調遞減,F(c,t)在t=0取最大值,即

    則由

    可得G′(c)嚴格單調遞減.因為c∈[0,2],所以G′(c)≤G′(0)=0,進一步可得G(c)單調遞減.因此函數(shù)G(c)在c=0取最大值.綜上可知,函數(shù)F(c,t)在t=0,c=0處取得最大值,即

    (2)類似地,當t<t?時,>0,函數(shù)F(c,t)關于t嚴格單調遞增,F(c,t)在t=1處取得最大值,G(c)在c=0處取得最大值.因此函數(shù)F(c,t)在t=1,c=0處取得最大值,即

    綜上可知,定理2.3得證.

    定理 2.4設f∈Ms(α,μ,A,B)則有

    其中

    T,P M,N分別由(1.14),(1.15),(1.27),(1.28)式給出.

    證明因為

    故由三角不等式可得

    將(1.10),(1.11),(1.12),(1.13),(1.24),(1.25)式代入到(1.34)式,即得定理2.4的結論.

    [1]Graham I,Kohr G.Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions[M].New York:Marcel Dekker,2003.

    [2]Duren P L.Univalent Functions[M].New York:Springer Verlag,1983.

    [3]Tang Huo,Deng Guan tie.Coefficient estimates for new subclasses of analytic functions with respect to other points[J].Tamkang Journal of Mathematics,2013,2(44):141-148.

    [4]Noonan J W,Thomas D K.On the second Hankel determinant of areally mean p-valent functions[J]. Transactions of the American Mathematical Society,1976,223(2):337-346.

    [5]Fekete M,Szeg G.Eine benberkung uber ungerada schlichte funktionen[J].J.London Math.Soc.,1933,8:85-89.

    [6]Noor K I.Hankel determinant problem for the class of functions with bounded boundary rotation[J].Rev. Roumaine Math.Pures Appl.,1983,28(8):731-739.

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    [13]Sudharsan T V,Vijayalakshmi S P,Adolf Stephen B.Third Hankel determinant for a subclass of analytic univalent functions[J].Malaya J.Mat.,2014,2(4):438-444.

    [14]Libera R J,Zlotkiewicz E J.Coefficients bounds for the inverse of a function with derivative in positive coefficients[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1983,87:251-257.

    The estimate of upper bound of third Hankel determinant for a class of analytic functions

    Zhang Haiyan,Tang Huo,Ma Lina
    (School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Inner Mongolia 024000,China)

    In this paper,we investigate the Hankel determinant H3(1)for a class of analytic functions with respect to symmetric points,denoted by Ms(α,μ,A,B),and obtain the estimate of upper bound of the above determinant.

    analytic functions,symmetric points,third Hankel determinant,upper bound

    30C45,30C50

    A

    1008-5513(2017)02-0211-10

    10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.013

    2016-11-04.

    國家自然科學基金(11561001);內蒙古自治區(qū)高等學??茖W研究項目(NJZY16251).

    張海燕(1982-),碩士,講師,研究方向:算子代數(shù)與復分析.

    2010 MSC:30C45,30C55

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