對銳角三角函數(shù)試題的背景分析與備考復習建議
——以近幾年全國各地中考試卷為例

☉寧夏銀川市第十中學楊雄義

對銳角三角函數(shù)試題的背景分析與備考復習建議
——以近幾年全國各地中考試卷為例

☉寧夏銀川市第十中學楊雄義

本文以近幾年全國各地中考數(shù)學試題為研究對象，對近幾年全國各地中考數(shù)學試題中考查銳角三角函數(shù)的題目，從命題的背景、考查的特點、難易程度和命題方向等方面做了探討，意在讓廣大師生明確中考銳角三角函數(shù)復習的目標、方向，幫助廣大師生有效地進行中考復習.

一、問題的提出

縱觀近幾年全國各地中考試卷，銳角三角函數(shù)屬必考內容，題目集中在對銳角三角函數(shù)概念及解直角三角形的考查，難度適中.本文通過洞悉全國各地中考數(shù)學試題中銳角三角函數(shù)試題考查的特點和命題方向，幫助廣大師生有效地進行中考復習.

二、銳角三角函數(shù)概念題的考查特點及例題剖析

1.在直角三角形中考查銳角三角函數(shù)概念

銳角三角函數(shù)是學生學習勾股定理后，對直角三角形邊、角關系的深入研究、升華和拓展，它為初中解直角三角形提供了工具，為高中學習任意角的三角函數(shù)奠定基礎，起著承前啟后的作用.在直角三角形中，考查銳角三角函數(shù)概念，用銳角三角函數(shù)概念求直角三角形的邊或角，是各地中考基礎題中常見題型.

例1（1）（2015·甘肅蘭州）△ABC中，∠B=90°，BC= 2AB，則cos A=（）.

（2）（2016·湖南懷化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，AC=6cm，則BC=（）.

（3）（2014·四川巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，則tan B=（）.

2.在任意三角形中考查銳角三角函數(shù)概念.

在任意三角形中，運用相似三角形、圓等幾何圖形的特殊性質，通過尋找等角的方法考查銳角三角函數(shù)，是中考銳角三角函數(shù)概念命題的常見題型之一，解決這類題目的關鍵是構造直角三角形，找到相等的角，這類題目難度一般.

例2（1）（2013·湖北鄂州）如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于點D，若BD∶CD=3∶2，則tan B=（）.

圖1

圖2

（2）（2014·江蘇蘇州）如圖2，在△ABC中，AB=AC= 5，BC=8.若∠BPC=∠BAC，則tan∠BPC=（）.

（3）（2014·上海）如圖3，已知Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH.

圖3

圖4

（4）（2016·四川達州）如圖4，半徑為3的⊙A經過原點O和點C（0，2），B是y軸左側⊙A優(yōu)弧上一點，則tan∠OBC為（）.

對于（1），運用了直角三角形角之間的關系、相似三角形的性質及參數(shù)法，只要找到∠B=∠DAC，問題便解決了；對于（2），運用等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合，過A作AD⊥BC，出現(xiàn)直角三角形，找到∠BPC=∠BAD就能得到結果；對于（3），運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，找到∠B=∠BCD=∠CAH，問題就能解決；對于（4），運用圓中同弧上的圓周角相等及直徑所對的圓周角是直角，連接直徑CD，利用∠OBC=∠CDO就能解決.

3.在網格中考查銳角三角函數(shù)概念.

由于正方形網格的特殊性，在網格中考查銳角三角函數(shù)，既可以考查特殊四邊形的性質、勾股定理等知識，同時也能考查學生觀察、分析、解決問題等綜合能力，所以近幾年這類題比較常見.2016年福州中考題將正方形網格變?yōu)榱庑尉W格，是一種創(chuàng)新，解這類題的關鍵是利用特殊平行四邊形的性質、勾股定理，通過添加輔助線構造直角三角形.這類題目解法靈活、有難度.

例3（1）（2016·貴州安順）如圖5，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、C都在格點上，則∠ABC的正切值是（）.

圖5

圖6

（2）（2015·四川樂山）如圖6，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cos A的值為（）.

（3）（2016·四川自貢）如圖7，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APD的值為________.

圖7

圖8

（4）（2014·廣西賀州）如圖8，網格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC每個頂點都在網格的交點處，則sin A=________.

（5）（2016·福建福州）如圖9，6個形狀、大小完全相同的菱形組成網格，菱形的頂點稱為格點.已知菱形的一個角（∠O為60°），A、B、C都在格點上，則tan∠ABC的值是________.

4.在小綜合題中考查銳角三角函數(shù)概念.

以特殊幾何圖形為背景結合相似形、一元二次方程等知識考查銳角三角函數(shù)概念，我認為這是對學生數(shù)學綜合素養(yǎng)的考查，既考查學生對圖形的掌握情況，也考查學生綜合運用知識分析、解決問題的能力，是近幾年各地中考的常見題型，難度適中.

例4（1）（2013·四川攀枝花）如圖10，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，cos A=3 5，BE=4，則tan∠DBE的值是________.

圖9

圖10

圖11

（2）（2016·四川綿陽）如圖11，△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，D是AB的中點，點E在AC上，DE⊥AB，則cos A的值為（）.

（3）（2016·上海）如圖12，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉90°，點A、C分別落在點A′、C′處.如果點A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為________.

圖12

5.用銳角三角函數(shù)解決實際問題.

對于銳角三角函數(shù)的概念，初中的應用主要是解直角三角形，利用解直角三角形解決實際問題.在全國各地每年中考數(shù)學題中，這類題型是常見、?？碱}型.這類題的考查要求嚴格遵循新課標的要求，題目多數(shù)與仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等結合，解題的關鍵是將實際問題轉化為數(shù)學模型，通過構造直角三角形，利用勾股定理、三角函數(shù)解決，難度一般.

例5（1）（2015·遼寧大連）如圖13，從一個建筑物的A處測得對面樓BC的頂部B的仰角為32°，底部C的俯角為45°，觀測點與樓的水平距離AD為31cm，則樓BC的高度約為_______m（結果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）

圖13

圖14

（2）（2015·江蘇蘇州）如圖14，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB=2km，從A處測得船C在北偏東45°的方向，從B處測得船C在北偏東22.5°的方向，則船C離海岸線l的距離（即CD的長）為（）.

（3）（2016·海南）如圖15，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A、C、E在同一直線上.

①求斜坡CD的高度DE；

②求大樓AB的高度.（結果保留根號）

圖15

圖16

（4）（2016·山東菏澤）南沙群島是我國固有領土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業(yè)，如圖16，當漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20（1+）海里的C處，為了防止某國海巡警干擾，就請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護航，已知C位于A處的北偏東45°的方向上，A位于B處的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離.

三、備考建議

1.追本溯源，確立目標.

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》確定銳角三角函數(shù)的教學目標是：（1）利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)（sin A、cos A、tan A），知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值；（2）會用計算器由已知銳角求它的銳角三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應銳角；（3）能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.課標是中考命題的依據(jù)，因此，我們在進行中考復習時，要認真研究課標，仔細推敲，確定復習目標和方向，不能遺漏任何一個知識點，注意在知識的交匯處設置問題，系統(tǒng)把握復習難度.

2.小題大做，注重本質.

縱觀近幾年各地中考考查銳角三角形的題目，內涵越來越豐富，知識交匯比較多，題目向綜合性發(fā)展.但題目無論如何變化，考查銳角三角函數(shù)定義，解題的關鍵是尋找直角三角形、運用勾股定理.因此，我們要研究近幾年各地中考題，對考查銳角三角函數(shù)的題目中有代表性的填空題、選擇題進行歸類、總結，小題大做、以小見大.復習時認真設置每一個例題，讓學生能從題目中發(fā)掘、歸納、提煉出蘊含的解題方法、總結出解題規(guī)律.

3.因勢利導，夯實基礎.

分析近幾年全國各地考查銳角三角函數(shù)的題目，都強調基礎性，與教材中的習題聯(lián)系緊密，多數(shù)題目都是對教材中習題的改編.因此，復習時要合理利用教材、發(fā)掘教材，對教材中的基礎性習題做適當?shù)淖兪剑騽堇麑?、夯實基礎.

4.推陳出新，強化應用.

在小綜合題中考查銳角三角函數(shù)是近幾年各地中考命題的一種趨勢，復習時我們要重視銳角三角函數(shù)與多種幾何圖形及知識的結合（如網格、特殊三角形、四邊形、圓、相似形等），在知識的交匯點上下功夫，推陳出新.此外，各地考查三角函數(shù)應用的題目，都是解直角三角形的實際應用題，難度不大，學生容易上手，體現(xiàn)了對學生的人文關懷，復習時要強化對實際應用問題常規(guī)題目的學習.總之，銳角三角函數(shù)的復習，要突出銳角三角函數(shù)的工具性，注重學生數(shù)學能力的培養(yǎng).

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.