展示典型失誤，發(fā)揮錯例價值
——以“用配方法解一元二次方程”的例題教學(xué)為例

☉江蘇昆山市葛江中學(xué)周曉秋

展示典型失誤，發(fā)揮錯例價值
——以“用配方法解一元二次方程”的例題教學(xué)為例

☉江蘇昆山市葛江中學(xué)周曉秋

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是新知的探究，還是舊知的應(yīng)用，學(xué)生在化解問題的過程中出現(xiàn)失誤是不可避免的.為了幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，糾正錯誤，形成規(guī)避錯誤的常用策略，在教學(xué)中我們應(yīng)將學(xué)生探究中出現(xiàn)的失誤作為學(xué)習(xí)展示的一個重要內(nèi)容加以呈現(xiàn).那么，如何用好這些錯誤資源，發(fā)揮其最大的教學(xué)價值呢？筆者認為，捕捉典型失誤是起點，剖析這些錯例是關(guān)鍵.找尋錯例中的代表性失誤，讓學(xué)生對正解與錯例對比辨析是最有效的手段，自主建構(gòu)出有效的避錯策略是教學(xué)的終極目標，只要抓住了典型，沿著正確的路徑，用好正確的方法，錯例的教學(xué)意義便會得到應(yīng)有的發(fā)揮.

一、“用配方法解一元二次方程”教學(xué)片段

在學(xué)生獲得了用配方法解一元二次方程的一般步驟后，課堂進入例題教學(xué)環(huán)節(jié).教師投影如下例題：

例題用配方法解方程2x2-4x+1=0.

1.學(xué)生解答，教師巡視.

學(xué)生按要求自主解方程，教師巡視，觀察學(xué)生解題，并對非典型錯誤進行即時點評糾正.

2.展示錯例，點評交流.

5分鐘后，教師將從學(xué)生解題中找出的有誤解法投影展示，兩位學(xué)生的解題過程如下：

解法1：2x2-4x+4-3=0.

（x-2）2-3=0.

（x-2）2=3.

則x1=2+，x2=2-.

解法2：2x2-4x=-1.

2x2-4x+4=-1+4.

以濃度為 0.075wt%、0.225wt%、0.375wt%和0.525wt%的碳酸鈉改性后的鈉化凹凸棒石分別標記為 APT-0.075wt%Na2CO3、APT-0.225wt%Na2CO3、APT-0.375wt%Na2CO3、APT-0.525wt%Na2CO3。

（x-2）2=3.

則x1=2+，x2=2-.

（投影后，停頓1分鐘）

師：這兩種解法對嗎？

生（齊答）：不對！

師：錯在哪兒？請大家認真觀察，找出這兩個同學(xué)的解法中的“出錯點”.

生1：解法1中，配方時雖然加上了“一次項系數(shù)的一半的平方”，但忽略了加這個數(shù)的前提“二次項系數(shù)化為1”.

生2：我發(fā)現(xiàn)解法2也犯了同樣的錯誤.雖然先進行了移項，但在配方時，并沒有先將二次項系數(shù)化為1，雖然給出的步驟十分清晰，但這個錯誤讓接下來的解題失去了價值.

3.規(guī)范流程，形成策略.

師：非常棒！兩位同學(xué)犯下了相同的錯誤，那么該怎樣做才能不再犯這個錯誤呢？

生3：我認為，用配方法解一元二次方程有著規(guī)范的過程，在解題時，我們應(yīng)按部就班地呈現(xiàn)解題過程，決不能跨步.

師：那就請你來展示一下規(guī)范的過程吧！

學(xué)生3在黑板上板演規(guī)范的解題過程，如下：

圖1

師：你真棒！看來，你不僅發(fā)現(xiàn)了錯誤，還從自己所學(xué)的知識中捕捉出有用的信息，為大家找到了一條避錯的路徑，非常感謝你！

（學(xué)生自發(fā)地鼓掌）

4.即時應(yīng)用，鞏固提升.

師：接下來就請同學(xué)們用剛剛的流程來解兩個一元二次方程.

（教師投影兩道解方程題，學(xué)生自主解答）

二、片段簡析

學(xué)生的數(shù)學(xué)認知是在犯錯與改錯中螺旋上升的.在教學(xué)中，學(xué)生出現(xiàn)錯誤是不可避免的，每一個基于數(shù)學(xué)認知下的錯誤，都是寶貴的教學(xué)資源.我們可以通過必要的學(xué)習(xí)展示，來挖掘出這些“錯誤”資源的教學(xué)效能.那么，學(xué)習(xí)展示該展示怎樣的“錯誤”呢？我認為，應(yīng)該展示一些共性錯誤，展示一些大家都會犯的錯誤，借助這些典型錯誤的糾錯，為學(xué)生建構(gòu)出能規(guī)避錯誤的問題化解策略，讓學(xué)生在今后的問題解決中少出錯，甚至不出錯.這則案例就是一個示范.在學(xué)生解答結(jié)束后，教師立即組織學(xué)習(xí)展示，讓巡視中發(fā)現(xiàn)的“錯誤”立刻生“效”.教者緊扣學(xué)生“錯誤”層層追問，通過語言陳述和書面呈現(xiàn)兩種方式放大錯誤的教學(xué)功能.判別對錯，找出錯點，分析出錯原因，分享避錯策略，看似簡單的“動作”，串在一起，將錯誤資源的教學(xué)價值充分挖掘出來.這樣的學(xué)習(xí)展示，讓所有參與者在找錯、糾錯中都能感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂.

三、感悟

1.搜集生成素材，展示典型失誤.

錯例是學(xué)生給出的錯誤案例，是較為重要的教學(xué)資源.獲取這些教學(xué)資源最主要的方式就是教師巡視過程中的有意搜索.為了獲取教學(xué)資源，在學(xué)生解答過程中，我們應(yīng)及時行走在學(xué)生中間，從學(xué)生給出的解題過程中找尋出大家都易犯的錯誤，為下一步展示交流積累素材.所以，在教學(xué)過程中，除了課前預(yù)設(shè)的教學(xué)生成，我們還應(yīng)將關(guān)注的重點放在學(xué)生的解題生成上，在關(guān)注學(xué)生給出的正解的同時，要把學(xué)生出現(xiàn)的最多的、最為典型的錯誤挖掘出來，發(fā)揮其資源價值，使得學(xué)生在接下來的問題解決中少出錯，甚至不出錯，這是我們例題教學(xué)應(yīng)有的態(tài)度和必須遵循的規(guī)則.以上面的片段為例，在教師給出例題后，學(xué)生進入自主解答狀態(tài)，此時教師并沒有停留在講臺邊，而是開始在全班巡視.教師在教室內(nèi)的“轉(zhuǎn)圈”不是在瞎逛，而是有意識通過對不同學(xué)生給出的解法與正確解法間的比對，找出學(xué)生的錯誤解法與自己的預(yù)估錯誤之間的偏差，形成下一步對話交流的教學(xué)素材.

2.重視展示對比，注重失誤歸納.

典型失誤之所以典型，是因為學(xué)生出現(xiàn)得多.所以，從數(shù)量上看，我們應(yīng)展示多位同學(xué)的相同錯誤，使其產(chǎn)生較為明顯的對比效應(yīng).教學(xué)過程中，我們應(yīng)力求通過基于錯例的對比剖析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯例中的共性特征，讓學(xué)生認同.在呈現(xiàn)這些具有共性特征的失誤后，我們還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生做好及時的歸納總結(jié)，使這一特征明顯顯現(xiàn)，為下面的避錯策略的建構(gòu)做好鋪墊.用配方法解一元二次方程，學(xué)生會出現(xiàn)的錯誤有很多，其中“忽略配方前二次項系數(shù)為1”大家最常犯.如果在新授課上不及時歸納總結(jié)，這樣的錯誤將會伴隨著學(xué)生接下來的很多解一元二次方程的問題，為了化解這一問題，在上面的教學(xué)過程中，教師是動了心思的.無論是錯例的挖掘，還是點評交流，都緊扣這一失誤展開，學(xué)生通過兩個相似錯誤解題過程的對比，找到錯誤、說出錯誤都是較為容易的.

3.強化正解教學(xué)，建構(gòu)避錯策略.

數(shù)學(xué)教學(xué)，正解的呈現(xiàn)是非常重要的，它是解題的范式，是學(xué)生模仿應(yīng)用的主要對象.因此，在教學(xué)中，我們應(yīng)高度重視正解的教學(xué)展示.正解呈現(xiàn)的時機既可以在新知獲得之后，也可以在學(xué)生出現(xiàn)典型失誤后對比展示.至于在什么節(jié)點上出現(xiàn)，與教學(xué)內(nèi)容和教師的教學(xué)機智有很大關(guān)系.對于一些并不復(fù)雜的新知，我們一般在對學(xué)生給出的應(yīng)用過程糾錯、究錯后將正解進行展示，使其與錯解形成視覺沖突，發(fā)揮對比效應(yīng)，強化正解的價值體驗，推動學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的解題過程中的不足，并將正確的解題過程與自己的已有解題習(xí)慣融合起來.當(dāng)然，對于一些較為復(fù)雜的新知，我們還是建議先給出解題范式，為學(xué)生樹立解題榜樣，提供解題臨摹的“參照物”.至于本文中給出的用配方法解一元二次方程，這在初中階段屬于簡單知識，學(xué)生根據(jù)自己的已有經(jīng)驗是可以進行簡單應(yīng)用的.所以，在教學(xué)過程中，教師將錯解先于正解呈現(xiàn)分析，待幫助學(xué)生找到問題之所在后，再給出正確的解法加以剖析，形成求解的正確流程.我覺得教者這樣做完全符合學(xué)生認知發(fā)展的規(guī)律，在正誤沖突中形成了避錯的策略，正是依托于最后的正解分析，教師的教學(xué)起到了“規(guī)范解題過程，推動習(xí)慣養(yǎng)成”的作用，對學(xué)生解題能力的提升是非常重要的.

1.許愛珍.用好錯誤資源提高教學(xué)成效［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（5）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.印冬建.精彩課堂，不容“錯”過［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（1）.