仿射變換在初等幾何教學(xué)中的應(yīng)用

譚建中，咼立丹

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 廣東 韶關(guān) 512005）

仿射變換在初等幾何教學(xué)中的應(yīng)用

譚建中，咼立丹

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 廣東 韶關(guān) 512005）

高等幾何是高師院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的主干課程之一，通過實例從平行射影和仿射對應(yīng)圖形兩個方面，說明屬于高等幾何內(nèi)容之一的仿射變換在解決某些中學(xué)幾何問題中所起到的作用，闡述高等幾何與中學(xué)幾何的聯(lián)系和高等幾何的思想方法對中學(xué)幾何的教學(xué)的指導(dǎo)作用，使得數(shù)學(xué)教育專業(yè)的師范生能夠更好地理解高等幾何在實際教學(xué)中的應(yīng)用。

仿射變換；平行射影；高等幾何；初等幾何；教學(xué)

高等幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的主干課程之一，該專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)后，大部分的同學(xué)將從事中學(xué)數(shù)學(xué)的教育工作。他們常常對學(xué)習(xí)高等幾何的內(nèi)容與他們以后從事的中學(xué)數(shù)學(xué)教育有什么關(guān)系，即高等幾何的學(xué)習(xí)對他們以后的數(shù)學(xué)教學(xué)會起到什么樣的作用而感到困惑。實際上，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中與高等幾何聯(lián)系最緊密的是中學(xué)幾何，或稱初等幾何。初等幾何是高等幾何的基礎(chǔ)，而高等幾何則是初等幾何的延伸和拓展。我們可用高等幾何的一些原理、方法來分析初等幾何的有關(guān)問題，使得高等幾何能“用高于下”，以便深入理解高等幾何對初等幾何的指導(dǎo)意義。為此，本文將通過實例說明屬于高等幾何內(nèi)容之一的仿射變換在解決初等幾何問題中的一些應(yīng)用。

一、利用平行射影證明幾何題

平行射影是最簡單的仿射變換，利用兩條直線之間的平行射影，將圖形中不共線的點和線段投射成共線的點和線段，再利用仿射不變性證明幾何題。［1］

例1 設(shè)線段AB的中點為M，從AB上另一點C向直線AB的一側(cè)引線段CD，令CD的中點為N， BD的中點為P，MN的中點為Q。求證：直線PQ平分線段AC。［2］

證 如圖（1），以DA為射影方向，將點D、N、P平行射影到直線AB上。設(shè)D→A，N→E，P→M，根據(jù)仿射不變性，因N是DC的中點，所以E是AC的中點。又因P是BD 的中點，所以M是AB的中點，故NE∥PM∥DA，且NE＝PM＝DA，即四邊形NPME為平行四邊形，因Q是MN的中點，所以三點P、Q、E共線，故直線PQ平分線段AC。

(1)

例2 在ΔABC中，AC＝3AB，自C作LA的平分線的垂線，垂足為D，求證：BC平分AD。

證 如圖(2)，設(shè)AD交BC于M，以BA 為射影方向，將點M、D平行射影到直線AC上。［2］

設(shè)M→E，D→F。 由仿射不變性有AB∥EM∥FD，所以，，故AE＝EM；因為 AC＝3AB，所以，EC＝3EM＝3AE，即：

又因為，∠FDC和∠FCD為等角的余角，所以，∠FDC＝∠FCD，故FC＝DF＝AF，即：

由式(1)和式(2)得：2AF＝4AE，AF＝2AE，E為AF的中點。所以，M為AD的中點，即BC平分AD。

例3 設(shè)直線MN過ΔABC的重心G，分別交AB、AC于M、N，求證：。［3］

證 如圖(3)，以NM為射影方向作平行射影，將點N、C、D射影到直線AB上。

設(shè) N→M，C→C，D→D。

因為D是BC的中點，所以，由仿射不變性得，D是B C的中點。

又因為G是ΔABC的重心，

從上面的實例可以看出，平行射影適用于證明有關(guān)兩平行線段的比或同一直線上兩線段的比（特殊情形是線段的中點）的幾何命題或可以轉(zhuǎn)化為上述情形的有關(guān)命題。如果將上面的證法看成是中學(xué)幾何中通過添加輔助線來求證的，那么從平行射影的思路即可看出上面例題中的輔助線是怎樣做出來的，這就是高等幾何對中學(xué)幾何解題思路方法的啟迪或指導(dǎo)。

二、利用仿射對應(yīng)圖形證明幾何題

由仿射幾何可知，橢圓的特殊仿射像是圓，只要涉及仿射不變性和仿射不變量，且與橢圓有關(guān)的命題，都可以通過仿射變換轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的命題，這使得命題的證明過程比較簡單。

例4 自橢圓外一點P引橢圓的兩條切線，切點分別為A、B，O為橢圓的中心，AO與橢圓交于另一點C，證明：BC∥PO。［3］

證 設(shè)仿射變換T將圖(4)中的橢圓仿射成圖(4')中的圓。圖(4')中表示點的字母仍沿用圖(4)中對應(yīng)點相同的字母。根據(jù)仿射不變性，在圖(4')中，PA、PB為圓O的切線，切點為A、B，由初等幾何知識可知：

例5 自橢圓外一點A引切線，切點為B，過AB的中點M作割線交橢圓于C、D，連結(jié)AC、AD交橢圓于E、F。 求證：AB∥EF。［2］

證 設(shè)仿射變換T將圖(5)中的橢圓仿射成圖(5')中的圓，圖(5')中表示點的字母仍沿用圖(5)中對應(yīng)點相同的字母。由仿射不變性，在圖(5')中，AB為圓的切線，B為切點，M仍是AB的中點，由割線定理可知：，即，且。所以，△MCA ~ △MAD，∠MAC＝∠MDA。因為 ∠MDA＝∠CEF，所以 ∠BAE＝∠MAC＝∠MDA＝∠CEF＝∠AEF。故AB∥EF。由仿射不變性可知，對圖(5)中的橢圓也有AB∥EF。

例6 證明：橢圓的任何一對共軛直徑為鄰邊的平行四邊形的面積為定值。

證 橢圓的方程為：

在仿射變換下，橢圓①的一對共軛直徑變成圓②的一對互相垂直的直徑。設(shè)橢圓的一對共軛直徑

［1］朱德祥.高等幾何［M］.北京：高等教育出版社，1984:152-153.

［2］王林全.初等幾何研究教程［M］.廣州：暨南大學(xué)出版社，1996:17-21.

［3］呂世虎.從高等數(shù)學(xué)看中學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社,1995:79-81.為鄰邊的平行四邊形的面積為S1，圓的一對互相垂直的直徑為鄰邊的平行四邊形的面積為S2，橢圓的面積為S3，圓的面積為S4。

故橢圓①式的任何一對共軛直徑為鄰邊的平行四邊形的面積為定值。

三、結(jié)語

高等幾何涉及到的許多平行射影、仿射不變性和二次曲線的射影性質(zhì)等內(nèi)容，都可以對初等幾何教學(xué)中碰到的一些困難問題給予相應(yīng)的解析。因此，學(xué)習(xí)高等幾何不僅可以提高在校大學(xué)生理解問題與解決問題的能力，還可使中學(xué)教師的初等幾何教學(xué)思路更加開闊，在邏輯思維與三維空間分析能力上會有明顯的提升，并且有助于中學(xué)生加深對初等幾何的理解。

The Applications of Affine Transformation in Elementary Geometry Teaching

TAN Jian-zhong，GUO Li-dan
(College of Mathematics and Statistics, Shaoguan University, Shaoguan 512005, Guangdong, China)

Higher geometry is one of the main courses in the mathematics education major of the normal university. What is the link between the higher geometry and middle school geometry? How does the thinking method of the higher geometry guide the teaching of the middle school geometry? With the examples of parallel projection and affine correspondence graph, we give the facts of solving some questions in middle school geometry with the affine transformations in higher geometry. Finally, we wish that the students majoring mathematics education can understand the application in teaching and learning of higher geometry.

affine transformation; parallel projection; higher geometry; elementary geometry; teaching

G642.1

A

1007-5348（2017）02-0106-03

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

2017-02-01

韶關(guān)學(xué)院教育教學(xué)改革研究項目“突出數(shù)學(xué)思想方法滲透的《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)研究與實踐”（SYJY20141545）

譚建中（1958-），男，廣東珠海人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授；研究方向：數(shù)學(xué)教育。