通用解法：數學解題教學的核心關注點
——以一道例題的教學為例

☉江蘇海門市實驗初級中學 徐標

通用解法：數學解題教學的核心關注點
——以一道例題的教學為例

☉江蘇海門市實驗初級中學 徐標

數學問題的解決方法很多，為了給學生多樣化的解題路徑，我們常會將“一題多解”問題作為數學教學的重要內容.然而，解法的拓展還是要適度的，我們更多地應將教學的重心放在一些通用方法上，因為，這些方法才是學生最容易接受，在今后的問題解決中最容易被應用的方法.在教學中，我們應找尋出這些方法，并將其呈現給學生，讓他們在對比辨析中，實現解法的優(yōu)選，從而獲取問題解決的典型方法和常用套路.基于此，課前，教師應充分準備，對解題方法從多角度分析，找出與學生認知匹配的典型解法；課上，應認真觀察、細致分析，努力發(fā)現學生給出的眾多解法中與預設相符的通用方法，適時將其在全班展示、共享.現呈現“二次函數”復習課一道例題的教學歷程，并談一些個人的思考，希望能給你帶來啟示.

一、例題簡析及其教學歷程

1.例題及其簡析.

在平面直角坐標系中，一個二次函數的圖像經過A（1，0）、B（3，0）兩點.設這個二次函數的頂點為D，與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點E，連接AC、DE和DB，當△AOC與△DEB相似時，求這個二次函數的表達式.

簡析：本題改編自陜西的一道中考題，為了突出對待定系數法、相似三角形等核心知識的考查，編題時，刪去了原題第（1）題“寫出這個二次函數的對稱軸”.解答本題，可以根據A、B兩點的特點，先用“交點式”設出函數的解析式，再利用二次函數圖像的對稱性將頂點D與E的坐標表示出來，從而將兩個三角形的邊長表示出來，最后，根據相似三角形的性質進行充分的分類討論，求出解析式中的未知系數即可.

2.教學過程簡錄.

學生自主解答，10分鐘后開始全班交流.

師：下面我們一起來交流一下這道例題的求解過程.

生1：根據題意，我設這個二次函數的解析式為y＝a（x-1）（x-3），即y＝ax2-4ax＋3a.

師：你是怎樣想到這樣設的？

生2：這里給出的兩個點A（1，0）、B（3，0），正好是拋物線與x軸的兩個交點，所以，我自然而然就想到交點式y(tǒng)＝a（x-x1）（x-x2）了，這是我們求二次函數解析式的常用方法.

師：是的，用待定系數法求二次函數的解析式，要結合所給點的特點從一般式、頂點式、交點式中“優(yōu)選”.對于這道題，從交點式入手，回避了煩瑣的解方程組，節(jié)省了很多解題時間.接下來該怎么做呢？

生3：利用得到的y＝ax2-4ax＋3a，可以分別求出點C、D和E的坐標，即C（0，3a）、E（2，0）、D（2，-a）.

師：求出這些點有什么用呢？

生4：可以將△AOC與△DEB的直角邊分別表示出來.

師：你是怎么發(fā)現這里的直角三角形的？

生5：作圖，我將求出的這些點大致在圖1中標出（C點也可以在y軸的負半軸上）.顯然，∠AOC＝∠DEB＝90°.這樣，我就找到了這對相似三角形的一對對應角，確定了一對對應頂點.

師：這一步叫什么？生（齊）：找對應頂點.

師：很好！找到了一對對應頂點，下面該做什么了？

生6：用對應邊分類，共分兩類，AO與BE為對應邊；AO與DE為對應邊.根據“抓關系式求解”，由兩種情況可以分別列出，從而求出a的值.

圖1

師：你說得真好！“找對應頂點，用對應邊分類，抓關系式求解”，是我們解決函數視角下的相似三角形問題的通用方法，這一方法在解答本題時，得到了很好的應用.下面我們一起來看一下這道題的完整解題過程.

（教師投影展示一名學生給出的通用解法，并讓學生對照調整）

二、教學過程簡析

本題涉及的待定系數法和相似三角形都是初中數學的核心知識，這道例題的教學一方面要回顧這兩個知識，同時還要培養(yǎng)學生應用與這兩個知識相關的典型解法的意識.案例中，學生首先交流了求二次函數解析式的歷程，將“優(yōu)選”的解法直接與全班同學作了分享；接下來，交流了用作圖將數向形轉化的過程，找出了數與形的結合點；最后，緊扣問題解決過程，對相似三角形的“找對應頂點，用對應邊分類，抓關系式求解”的典型解法進行了再梳理.語言的陳述和書面的展示，學生個體的展示實現了解法的共享，所有學生獲得典型解法的同時，還都能感受到這些方法在問題解決中的巨大價值.

三、幾點思考

1.例題教學應突出通解、通法教學.

通解、通法是解決數學問題的一般方法，在學生解題中是應用得最多的方法.因此，例題教學時，我們應突出通解、通法的教學，力求讓學生掌握一類問題解答的一般套路或常用方法.本文中，教師所設計的例題，指向的正是用待定系數法求二次函數的解析式和基于函數圖像之上的相似三角形的求解常用套路——“找對應頂點，用對應邊分類，抓關系式求解”.顯然，教師對例題的教學處置很好地將例題的教學核心凸顯了出來.僅就解法交流而言，教師選取了本題最為常用的解法進行交流，弱化了“邊緣”解法，將例題需要交流的核心內容推到了學生認知活動的最前沿，其教學成效還是比較顯著的.

2.例題教學應重視思維過程展示.

例題教學除了解題方法的教學，還要關注學生思維過程的分享.教師在教學過程中，應該努力找尋學生中出現的具有示范意義的思路分析歷程，將這些具有代表性的思維歷程通過全班交流，實現共享，以全面提升學生分析問題和解決問題的能力.我想，本文案例中的老師可能正是基于這樣的思考才通過步步緊逼的追問，讓學生將自己獲得通解、通法的思維過程完整展示在全班同學面前，這樣的交流，不糾結于具體的解題步驟和解題結果，而是由學生陳述帶有明顯個性特征的分析問題和解決問題的思路獲得過程.這種來自于學生的思路交流，對于處于同一情境中的學生而言，是可以學習、可以借鑒，甚至是可以復制的.我想，在此過程中，每一名學生都能從中收獲到自己認同的東西，不只是知識，經驗可能更為重要.

3.例題教學應強化數學思想交流.

例題的通解、通法教學，除了上面所述的常用方法和典型思維過程，還應包括基本數學思想的教學.在數學教學中，數學思想一直是最為重要的教學內容.基于數學思想的可應用性和可生長性，它理應成為例題教學的“常客”，教師在教學時必須予以重點關注.我們還是回到本文中的例題上來，純文本的陳述并不代表不需要圖形，在解題時，學生5作出了圖1，而且用圖1很好地解決了問題，這就是數形結合的絕佳體現，其富有成效的陳述給全班學生作出了很好的示范，也讓數形結合思想再次深入到學生的心中；學生6能給出“兩種情形下的方程，正是其對分類討論思想的深刻認知與反復應用的自然生成，他的展示既是自身對分類討論思想的再度強化，同時還加深了其他學生的認知……正是教師對數學思想的窮追不舍，一個個潛在的數學工具才逐步顯山露水擺放在學生眼前.這樣的成效，自然觸動著每一名學生的“解題神經”，思想的內化應用是遲早的事.