初中數(shù)學(xué)問題解決的雙向翻譯策略

☉浙江杭州市清泰實(shí)驗(yàn)學(xué)校 張娟萍

初中數(shù)學(xué)問題解決的雙向翻譯策略

☉浙江杭州市清泰實(shí)驗(yàn)學(xué)校 張娟萍

數(shù)學(xué)問題解決是數(shù)學(xué)教與學(xué)的重要組成部分.目前，有大量關(guān)于解題技巧和題目類型方面的研究.但是還有很多學(xué)生雖能聽懂老師講的例題，但自己解決問題時(shí)無從下手，或者同種類型的可以解，變換一下條件就不會(huì)了；也有學(xué)生對(duì)公式、定理滾瓜爛熟，就是不知道什么時(shí)候用哪一個(gè).學(xué)生更需要問題解決策略的通法指導(dǎo).

其實(shí)，數(shù)學(xué)問題解決的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)雙向翻譯的過程.翻譯，通俗地講就是把一種語(yǔ)言文字（源語(yǔ)言）的意義用另一種語(yǔ)言文字（目標(biāo)語(yǔ)言）表達(dá)出來，包括理解、轉(zhuǎn)換、表達(dá)三個(gè)環(huán)節(jié).在這里，源語(yǔ)言就是指數(shù)學(xué)問題中的語(yǔ)言表述內(nèi)容，目標(biāo)語(yǔ)言則指數(shù)學(xué)語(yǔ)言.雙向翻譯，包含兩個(gè)方面：首先是閱讀源語(yǔ)言，理解分析其含義，將其信息轉(zhuǎn)換成目標(biāo)語(yǔ)言；通過數(shù)學(xué)語(yǔ)言的操作（建模、解模）得到數(shù)學(xué)結(jié)論；然后把數(shù)學(xué)結(jié)論，用一般人所能理解的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來，從而對(duì)實(shí)際問題的解決進(jìn)行解釋.后面部分我們稱之為“回譯”，在回譯時(shí)數(shù)學(xué)結(jié)論成了源語(yǔ)言，最后表述的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言變成目標(biāo)語(yǔ)言.數(shù)學(xué)問題解決的雙向翻譯，包含以下四個(gè)步驟：閱讀—翻譯—建模、解模—回譯.

一、閱讀題目的材料——審題過程

翻譯必然是以閱讀問題為起點(diǎn)的，之所以稱為“閱讀”，而不是“看”，是指有意識(shí)地進(jìn)行觀察，要“領(lǐng)會(huì)”材料的意義：把材料敘述的基本內(nèi)容轉(zhuǎn)化為條件和目標(biāo)的形式，弄清已知條件是什么、這些條件之間有什么聯(lián)系、有哪些隱含條件等，這就是審題過程.

1.理解題目信息的含義.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言由文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言構(gòu)成，每一個(gè)運(yùn)算、字符、圖表、點(diǎn)等都具有特定的含義和功能，要咬文嚼字地理解數(shù)學(xué)材料中這些元素所代表的含義.比如，對(duì)于-7×3和（-7）×3，粗看這兩個(gè)式子沒有什么區(qū)別，只是寫法不一樣罷了，而當(dāng)你“咬文嚼字”時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)第二個(gè)式子比第一個(gè)式子多了一個(gè)“（）”，進(jìn)而分析兩個(gè)式子的深層次涵義，由于括號(hào)是整體的意思，也就是說第二個(gè)式子的被乘數(shù)是（-7），第二個(gè)式子應(yīng)該理解為“負(fù)7與3的積”，而第一個(gè)式子沒有加括號(hào)，那么被乘數(shù)就是7，而前面的“-”又是怎么回事呢？通過思考進(jìn)一步就會(huì)發(fā)現(xiàn)這里的“-”是表示“相反的”，那么第一個(gè)式子應(yīng)該理解為“7與3的積的相反數(shù)”.這樣，才算真正理解了兩個(gè)式子的涵義.

一些數(shù)學(xué)的關(guān)鍵詞如“有”“或”“和”“一定不”“不一定”“不多于”“增長(zhǎng)了”“增長(zhǎng)到”等，對(duì)正確理解材料信息起著很關(guān)鍵的作用.

再比如，標(biāo)點(diǎn)符號(hào)“；”，語(yǔ)文中表示“并列”，用“且”“和”“同時(shí)”表示，在數(shù)學(xué)中表示兩個(gè)條件并列常以“；”為標(biāo)志.例如，浙教版七下P46課內(nèi)練習(xí)2：甲、乙兩人從相距36千米的兩地勻速相向而行①.如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后經(jīng)2.5小時(shí)相遇②；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng)3小時(shí)相遇③.求甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米.（以下簡(jiǎn)稱“案例”）條件①后面是“.”，表示這個(gè)條件是大前提，②與③之間是“；”，表示兩個(gè)并列的條件，這樣應(yīng)該由②與③得到兩個(gè)并列的式子，并且都滿足①.

另外，數(shù)學(xué)材料的語(yǔ)言組織常常有省略現(xiàn)象，所以數(shù)學(xué)閱讀不像自然閱讀一樣流暢，有時(shí)需要將省略的字符進(jìn)行還原或補(bǔ)充.而且，數(shù)學(xué)知識(shí)具有系統(tǒng)性，新的數(shù)學(xué)材料中常常包含很多下位知識(shí)有關(guān)的語(yǔ)言，閱讀時(shí)，要提取出這些下位知識(shí).

2.分析語(yǔ)句表達(dá)的結(jié)構(gòu).

要對(duì)句子結(jié)構(gòu)包括句子主干、詞與詞的關(guān)系、句式進(jìn)行分析.例如，“幾個(gè)相同因數(shù)①的積的運(yùn)算②，叫作乘方③”這一概念，首先可以分析出句子的主干部分是“積的運(yùn)算叫作乘方”，“幾個(gè)相同因數(shù)①”是“積”的限定性條件，這樣就可以得出“滿足因數(shù)相同①”這一要素的“積的運(yùn)算②”才是乘方③運(yùn)算，這樣也有利于理解“積的運(yùn)算”也就是“乘法運(yùn)算”與“乘方運(yùn)算”的關(guān)系，得出“乘方運(yùn)算”是一種特殊的“乘法運(yùn)算”的深層理解.

還要重視數(shù)學(xué)表示的特殊句式.數(shù)學(xué)材料中常見的復(fù)合句的句法結(jié)構(gòu)有并列關(guān)系和嵌套關(guān)系.例如，在“直角三角形①三條邊②的垂直平分線③的交點(diǎn)④是斜邊的中點(diǎn)⑤”這句話中，“直角三角形①”修飾“三條邊②”，二者共同修飾“垂直平分線③”，三者又共同修飾“交點(diǎn)④”，這幾個(gè)概念構(gòu)成三重嵌套關(guān)系.

數(shù)學(xué)表達(dá)還跟表述順序有關(guān)，如“x與y的平方和”“x與y和的平方”這兩個(gè)句子，構(gòu)成的字母都是相同的，但字母的排列順序不同，使得兩個(gè)句子的意義完全不同.

3.標(biāo)注題目條件的信息.

數(shù)學(xué)實(shí)際問題中相互關(guān)聯(lián)的信息常常交錯(cuò)復(fù)雜地呈現(xiàn)，閱讀時(shí)，要善于從大量的信息中，過濾掉干擾信息，提取有效信息.在有效信息下面劃線標(biāo)注，突出條件信息，并且在每個(gè)劃線條件后面標(biāo)記序號(hào)：一是有利于厘清條件結(jié)構(gòu)；二是方便計(jì)條件個(gè)數(shù).劃線和標(biāo)注序號(hào)后，在下一步操作（翻譯）時(shí)，只要悉數(shù)對(duì)照序號(hào)①②③代表?xiàng)l件的信息，如果解題碰到挫折要重新回到原題時(shí)，只要重新審視這些序號(hào)所代表的信息即可，避免重復(fù)經(jīng)歷過濾干擾信息等閱讀過程.

比如，浙教版七下P46課內(nèi)練習(xí)2中：第一步：閱讀題目，劃線標(biāo)出條件信息，并標(biāo)注序號(hào)①②③.“甲、乙兩人從相距36千米的兩地勻速相向而行①.如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后經(jīng)2.5小時(shí)相遇②；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng)3小時(shí)相遇③.求甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米.”

例如，“紅紅兩天看完一本小說①，第一天看了全書的40%②，第二天比第一天多看了15頁(yè)③，這本書共多少頁(yè)？”

有學(xué)生沒有用到“兩天看完①”這個(gè)條件，導(dǎo)致問題無法解決、實(shí)際上很多學(xué)生，在識(shí)別出“兩天看完①”和“第一天看了全書的40%②”時(shí)，就自動(dòng)得出“第二天看了全書的60%”（標(biāo)注‘②’），完成了數(shù)學(xué)翻譯“引申”的任務(wù).解決問題時(shí)，相當(dāng)于條件是①‘②’③.

在完成全部操作后，仍舊無法解出問題時(shí)，要重新審視所有條件，將用到的條件序號(hào)劃去，看還剩下什么序號(hào)標(biāo)識(shí)條件沒有運(yùn)用，如這些條件也沒法用上，則要考慮條件的翻譯和變式，有時(shí)還需要挖掘隱含的條件將省略掉的內(nèi)容補(bǔ)充完整，增補(bǔ)序號(hào).

二、翻譯標(biāo)注的信息——數(shù)學(xué)化過程

這里的翻譯，是指“雙向翻譯”的前面部分，就是將閱讀時(shí)標(biāo)注的條件信息翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過程.

1.根據(jù)標(biāo)注信息翻譯成數(shù)學(xué)表述.

（1）積累關(guān)鍵性詞語(yǔ)的數(shù)學(xué)表述.

很多學(xué)生采用直譯的方式，“直接”按照文字描述的順序逐字“翻譯”，但直譯并不一定能實(shí)現(xiàn)正確的數(shù)學(xué)化.比如，對(duì)于“m的2倍比n大1”，表示為“2m比n＞1”.又如，“兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”，表示為“x=-y”.再比如，“用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：負(fù)數(shù)①的奇數(shù)②次方③仍是負(fù)數(shù)④”，有學(xué)生先寫出了奇數(shù)②的表示“2n+1”，再寫出奇數(shù)次方③的表示“x2n+1”，然后寫出負(fù)數(shù)①的表示“x＜0”，盡管“負(fù)數(shù)”“奇數(shù)”“乘方”這些要素都表現(xiàn)出來了，但最終不能整體表示出來.反過來，解釋“|x|=-x”的數(shù)學(xué)意義為：x的絕對(duì)值等于負(fù)x；解釋“ab=1”的數(shù)學(xué)意義為：a乘以b等于1.

顯然，“逐字翻譯”，僅僅是將數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言“讀”出來了，并不一定能準(zhǔn)確地翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，所以，需要目標(biāo)語(yǔ)言對(duì)翻譯的導(dǎo)引.平時(shí)要積累一些關(guān)鍵性詞語(yǔ)與數(shù)學(xué)運(yùn)算之間轉(zhuǎn)譯的表述.如：大于或超出（＞）、不小于或至少（≥）、正數(shù)（＞0）、非負(fù)數(shù)（≥0）；再比如“多、少、增加、擴(kuò)大、節(jié)約”等這些詞對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)符號(hào)：＋或-；題目中的“幾倍、幾分之幾”常與數(shù)學(xué)符號(hào)×或÷相聯(lián)系.

（2）引申條件信息的數(shù)學(xué)意義.

數(shù)學(xué)材料中的語(yǔ)言往往是抽象的、形式化的，所以，要對(duì)條件信息進(jìn)一步引申.比如，“今年的總消費(fèi)比去年減少10%”可引申為“今年的總消費(fèi)是去年的90%”，翻譯為：今年的總消費(fèi)＝去年的總消費(fèi)×90%.

例如，多邊形的概念：由線段①圍成的封閉圖形②叫作多邊形.條件①“線段”解讀為“不能是曲線”，條件②“封閉圖形”解讀為“不能有開口的圖形”，那么多邊形的要素就明確了.

再如，“x的平方與y的差的倒數(shù)”，“平方”“差”“倒數(shù)”都是名詞，但在翻譯時(shí)，必須將它們譯成“運(yùn)算”，將“平方”翻譯成為乘方運(yùn)算（自乘二次），將“差”翻譯成減法，將倒數(shù)翻譯成“求倒數(shù)”.

2.根據(jù)條件結(jié)構(gòu)確定表達(dá)框架.

面對(duì)條件較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)，首先從整體上確定表達(dá)的基本結(jié)構(gòu)框架.比如，應(yīng)用題：G20志愿者人數(shù)安排，甲組有40個(gè)志愿者，乙組有21個(gè)志愿者①，如果要使乙組人數(shù)比甲組人數(shù)的2倍還多1②，應(yīng)從甲組調(diào)多少人到乙組？解這個(gè)題目的關(guān)鍵就在“乙組人數(shù)比甲組人數(shù)的2倍還多1②”這個(gè)條件上，“…的2倍還多1”寫成：“2（）+1”.所以，將題目的結(jié)構(gòu)表達(dá)出來為：乙組人數(shù)=2（甲組人數(shù)）+1.

又如，“負(fù)數(shù)①的奇數(shù)②次方③仍是負(fù)數(shù)④”，根據(jù)結(jié)論“仍是負(fù)數(shù)④”可以確定題目的框架是“（）＜0”，再表示（）內(nèi)部即可.

3.根據(jù)條件信息確定結(jié)構(gòu)內(nèi)部.

（1）框架內(nèi)部?jī)?nèi)容的表示.如：奇數(shù)②表示為“2n-1”（n為自然數(shù)）；奇數(shù)次方③表示為“x2n-1”，再表示x是負(fù)數(shù)①：“x＜0”，最后得出整體表示“若x＜0，則x2n-1＜0”，”.

再比如，“同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.”結(jié)合例題（-3）+（-5）＝-（3+5）＝-8，與法則的每一部分進(jìn)行同步翻譯.第一部分“同號(hào)兩數(shù)相加”，發(fā)現(xiàn)（-3）和（-5）同號(hào)，都是負(fù)數(shù)；第二部分，“取與加數(shù)相同的正負(fù)號(hào)”，所以取“-”；第三部分，“并把絕對(duì)值相加”，（3+5），其中，3是（-3）的絕對(duì)值，5是（-5）的絕對(duì)值.

（2）用未知元和已知量表示相關(guān)量.比如，上面的問題中，設(shè)從甲組調(diào)x人到乙組，則甲組人數(shù)：40-x；乙組人數(shù)：21+x.代入結(jié)構(gòu)框架“乙組人數(shù)=2（甲組人數(shù)）+1”中，得到21+x=2（40-x）+1.

回到浙教版七下P46課內(nèi)練習(xí)2中，第二步：將這些條件信息翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言.設(shè)甲、乙每小時(shí)分別走x千米、y千米.將①甲、乙兩人從相距36千米的兩地勻速相向而行，②甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后經(jīng)2.5小時(shí)相遇，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即4.5x+2.5y=36；將①甲、乙兩人從相距36千米的兩地勻速相向而行，③乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng)3小時(shí)相遇，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即3x+5y=36.

“；”表示“并列”，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言“｛”.

翻譯的過程，自然進(jìn)入到第三步：使得該問題與方程組建立聯(lián)系，問題轉(zhuǎn)換為解方程組.

根據(jù)以上例子我們不難發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)問題是一句句有數(shù)量關(guān)聯(lián)的語(yǔ)句構(gòu)成的，只要我們善于將一字一句譯成式子（方程、不等式、函數(shù)式、等式），問題就被簡(jiǎn)單地?cái)?shù)學(xué)化了.

三、對(duì)照條件的模型——建模過程

上述翻譯過程，源語(yǔ)言提供的信息與目標(biāo)語(yǔ)言庫(kù)中已有模型進(jìn)行對(duì)照，找到匹配的模型，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來，就是數(shù)學(xué)建模.首先，分析條件信息中源語(yǔ)言所對(duì)應(yīng)的基本數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，然后搜索該知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)基本模型（假設(shè)），通過大腦進(jìn)行識(shí)別和對(duì)照，確定模型.比如，水果店以每斤2元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價(jià)格出售①，每天可售出100斤②，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價(jià)每降低0.1元，每天可以多售出20斤③，水果店決定降價(jià)銷售.銷售這種水果要想每天盈利300元④，水果店需將每斤的售價(jià)降低多少元⑤？這是關(guān)于單價(jià)、數(shù)量和利潤(rùn)的問題，腦海中聯(lián)想到模型：?jiǎn)危ㄓ米兞勘硎荆亮浚ㄓ米兞勘硎荆?總，這就是這個(gè)題目整體表達(dá)的結(jié)構(gòu)框架.然后，用未知量和已知量來表示相關(guān)的量，將內(nèi)部條件結(jié)構(gòu)表示出來，設(shè)每斤的售價(jià)降低x元，由①、⑤得單利潤(rùn)：4-2-x；由③得多售出量：0.1x· 20‘③’，由②、‘③’得到銷售量：100+0.1x·20；由④得總利潤(rùn)為300元.于是得到：（4-2-x）×（100+0.1x·20）=300.這就建立了二次方程.

不同語(yǔ)言之所以可以轉(zhuǎn)換，是因?yàn)椋宏P(guān)于同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的基本模型，不同語(yǔ)言有相應(yīng)的表征特征.如一次函數(shù)不同語(yǔ)言的表征特征如表1所示.

表1

所以，翻譯的關(guān)鍵是找到源語(yǔ)言信息中所涉及的基本知識(shí)及其對(duì)應(yīng)的基本模型.

文字表述的題目可以直接翻譯成示意圖.例如：“兒子游學(xué)今日回，媽媽早到校門口，兒子到后細(xì)端詳，母子高興把家還.”如果用縱軸y表示母親與兒子行進(jìn)中離家的距離，用橫軸x表示母親離家的時(shí)間，如圖1，可以選擇第幾幅圖像表達(dá)詩(shī)意？

圖1

反過來，根據(jù)圖形，也可以表示相應(yīng)的實(shí)際信息.

例如，根據(jù)圖2，自編一則新的“龜兔賽跑”故事，并寫出龜兔賽跑過程中的函數(shù)關(guān)系式.這是圖像語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的典型例子.

圖2

四、回譯模型的結(jié)論——解釋過程

列出模型后，還需解模，就是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能，解出模型參數(shù)的結(jié)果.

把參數(shù)結(jié)果用一般人所能理解的非數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來，“從理論分析轉(zhuǎn)回現(xiàn)實(shí)語(yǔ)言”，從而對(duì)實(shí)際問題的解決進(jìn)行解釋.這就是回譯，是“雙向翻譯”的后面部分.

回譯首先是檢驗(yàn)，將模型解得的參數(shù)結(jié)果代入實(shí)際情形進(jìn)行比較，如果與實(shí)際情景吻合，則可以用這個(gè)結(jié)果來說明實(shí)際問題的結(jié)果，從而翻譯成實(shí)際問題的語(yǔ)言并解釋其實(shí)際含義.

浙教版七下P46課內(nèi)練習(xí)2中的問題轉(zhuǎn)換為解方程組后，根據(jù)方程組的解法規(guī)則，解得，從而進(jìn)入第四步：回譯.根據(jù)假設(shè)“甲、乙每小時(shí)分別走x千米、y千米”，把結(jié)果翻譯成文字語(yǔ)言，即：甲、乙每小時(shí)分別走6千米、3.6千米.

如果模型參數(shù)的結(jié)果與實(shí)際情景不吻合，則要重新回到信息的閱讀、翻譯、建模、解模過程，稱之為“迭代”，經(jīng)過多次反復(fù)“迭代”，直至實(shí)際問題結(jié)果滿意為止.

1.張嵐.初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自然語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的相關(guān)性及轉(zhuǎn)化策略［D］.陜西師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2008（5）.

2.湯強(qiáng).7～9年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解與表示［D］.西南大學(xué)博士學(xué)位論文，2009（5）.

3.王麗.預(yù)設(shè)“問題串”漸次推進(jìn)新知生成——以“有理數(shù)乘法”第1課時(shí)教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（11）.

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