☉浙江寧波市曙光中學(xué) 王海燕
刪繁就簡凸顯本質(zhì),退回原點推導(dǎo)公式
——以一道坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)難題為例
☉浙江寧波市曙光中學(xué) 王海燕
最近一次的中考復(fù)習(xí)??季碇?,我們選用了2016年河南省中考把關(guān)題,該題的最后一問有一定的難度,雖然也有少數(shù)學(xué)生解答出來,但是解法單一,且該解法對原題中的直角三角形有較大的依賴作用,備課組內(nèi)幾經(jīng)討論仍然沒有生成較好的、更為自然的解法,后來大家求助網(wǎng)絡(luò),在某初中數(shù)學(xué)大群里開展研討,得到不少有益的提示,使得我們對該題最后一問有了更為深入的認識,并且總結(jié)出坐標(biāo)系中某一個點旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點坐標(biāo)之間的關(guān)系.本文梳理這次研討,并針對命題與教學(xué)作出一些必要的反思.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時,求線段PD的長;
(3)如圖2,將△BDP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),得到△BD′P′,且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OAC,當(dāng)點P的對應(yīng)點P′落在坐標(biāo)軸上時,請直接寫出點P的坐標(biāo).
圖1
圖2
思路解析:
(2)常規(guī)思考:要確定點P的位置(一般要進行分類),按點P在BD上方或下方,在y軸左側(cè)或右側(cè)可確定三種不同情況:①點P在y軸右側(cè)且在BD上方;②點P在y軸右側(cè)且在BD下方;③點P在y軸左側(cè).然后再有序解決問題:由△BDP是等腰直角三角形可知BD=PD,由點P′D′B的坐標(biāo)分別表示出BD和PD的長,由BD=PD建立方程模型,從而求出m值,即得到PD的長.上面的思路可以看成是在黑暗中的摸索,當(dāng)思路稍顯明確之后,我們把上述思路簡化表述:
簡化思路:首先由△BDP為等腰直角三角形解讀出PD=BD,設(shè)P用含參數(shù)m的式子表示PD、BD,得化為兩個一元二次方程解得
另解突破:如果深刻認識到△BDP為等腰直角三角形,可直接讀出直線BP的解析式為y=x-2或y=-x-2,把這兩條直線的解析式分別與拋物線聯(lián)立,得方程組
(3)常規(guī)思考:先分類思考點P的位置,可按點P在y軸左側(cè)或右側(cè),旋轉(zhuǎn)后點P′落在x軸或y軸,分為三種情況(如圖3~5):①點P在y軸左側(cè)且點P′只能落在x軸上;②點P在y軸右側(cè)且點P′落在x軸上;③點P在y軸右側(cè)且點P′落在y軸上.接著嘗試構(gòu)造相似或全等的直角三角形,利用相似或三角函數(shù)建立方程突破.具體解析如下:
圖3
先解讀兩個特殊角的三角函數(shù)值.由OA=3,OC=4,得AC=5.又∠PBP′=∠OAC,則sin∠PBP′=另外,還要記住在上一問中我們就已得出的PD=
①如圖3,當(dāng)點P′落在x軸上時,過點D′作D′N⊥x軸于N,交BD于點M,∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′,ND′-MD′,注意后者對應(yīng)的圖形是圖4.
圖4
圖5
②如圖5,當(dāng)點P′落在y軸上時,過點D′作D′M⊥x軸交BD于點M,過點P′作P′N⊥y軸,交MD′的延長線于點N,∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′,P′N=BM,即
解后反思:上述解法過分依賴△BPD,而問題的本質(zhì)卻只是線段BP繞點B旋轉(zhuǎn)后的探究.可簡化如圖6所示
刪繁就簡,簡化問題:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P是拋物線動點,該拋物線與y軸交于點B(0,-2),將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α角后,得到線段BP′,若tanα=當(dāng)點P′落在坐標(biāo)軸上時,求點P的坐標(biāo).
簡化思考,發(fā)現(xiàn)性質(zhì):如圖7,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若將P(x,y)繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ角得到點P′(x′,y′).
圖7
圖6
圖8
在圖8中,構(gòu)造矩形OBCD,設(shè)OP=OP′=r,則:
成果擴大,歸納性質(zhì):我們可延續(xù)上述方法,推導(dǎo)并總結(jié)出平面直角坐標(biāo)系中點的旋轉(zhuǎn)公式如下:任意點A(x,y)按旋轉(zhuǎn)中心(a,b)逆時針旋轉(zhuǎn)θ角得到點A′(x′,y′),則A′(x′,y′)的坐標(biāo)計算公式為:
x′=(x-a)·cosθ-(y-b)·sinθ+a,y′=(x-a)·sinθ+(y-b)· cosθ+b.
1.命題時應(yīng)該盡可能追求解法多樣,滿足不同學(xué)生的思維風(fēng)格.
在我們研討該題時,老師們多數(shù)認為第(3)問解法思路窄化,由常規(guī)思路不易切入,且對第(2)問中的直角三角形有一定的依賴,如果懂得及時刪減無關(guān)線條的,反而會丟失必要的輔助工具(輔助直角三角形),使得問題的求解陷入僵局.而在考場上再去推導(dǎo)、演算出上面我們總結(jié)出來的旋轉(zhuǎn)點坐標(biāo)之間的規(guī)律或公式,則時間上往往并不能保證.我們認為,命題組在預(yù)設(shè)這類考題時,不能出于個性化的喜好,而以窄化的思路切入問題,對不同思維風(fēng)格的學(xué)生要兼顧,也即命題人心中要時刻裝著學(xué)生,時刻預(yù)設(shè)學(xué)生可能會怎樣想,怎樣想會更自然.
2.解題教學(xué)時要重視引導(dǎo)學(xué)生看清問題本質(zhì),傳遞“以退為進”策略.
解題教學(xué)時我們針對較為復(fù)雜的習(xí)題,常常要求學(xué)生懂得排除干擾,凸顯問題本質(zhì),上面我們也是在這樣的思考下開展的凸顯本質(zhì)圖形(如圖6).然而根據(jù)圖6,會失去原考題中那個直角三角形BPD的幫助,反而不利于構(gòu)造處理.這時如果不能果斷后退,退到圖7,構(gòu)造圖8來輔助思考出旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點的坐標(biāo)關(guān)系式,則思路難以接通.所以,解題教學(xué)時,我們要向?qū)W生傳遞“以退為進”的策略,正所謂“解題要善于退,退到最簡單的地方,再迎上去.”也想起那句著名的禪詩《插秧詩》,摘錄如下,作為本文的結(jié)束:
手把青秧插滿田,低頭便見水中天.六根清凈方為道,退步原來是向前.
1.王友峰.專業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容,回看陳題洞察結(jié)構(gòu)—九年級“探究四點共圓”教學(xué)設(shè)計與解讀[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(12).
2.付小飛.明辨并列與遞進,引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(7).
3.羅增儒.數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟[M].鄭州:河南科學(xué)技術(shù)出版社,1997.
4.章建躍.“題型+技巧”的危害[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2010(11).
5.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2011(10).