初中數(shù)學(xué)拓展性課程的“哺育”與“反哺”
——“平方根”與“無理數(shù)的由來”對(duì)比研究

☉浙江杭州市富陽區(qū)永興中學(xué) 許靈嘉

初中數(shù)學(xué)拓展性課程的“哺育”與“反哺”
——“平方根”與“無理數(shù)的由來”對(duì)比研究

☉浙江杭州市富陽區(qū)永興中學(xué) 許靈嘉

拓展性課程開發(fā)的興起是伴隨著新一輪基礎(chǔ)教育課程改革出現(xiàn)的新生事物.2015年《浙江省教育廳關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》指出：義務(wù)教育課程分為基礎(chǔ)性課程和拓展性課程.基礎(chǔ)性課程指國家和地方課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的統(tǒng)一學(xué)習(xí)內(nèi)容；拓展性課程指學(xué)校提供給學(xué)生自主選擇的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是對(duì)基礎(chǔ)性課程的補(bǔ)充與拓展.

筆者認(rèn)為，基礎(chǔ)性課程與拓展性課程猶如大樹與枝葉.基礎(chǔ)性課程提供主干作用，滋養(yǎng)著拓展性課程，對(duì)拓展性課程的開發(fā)和實(shí)施起到指導(dǎo)作用；拓展性課程豐富了基礎(chǔ)性課程的內(nèi)容，也為基礎(chǔ)性課程的學(xué)習(xí)服務(wù).那么，如何運(yùn)用基礎(chǔ)性課程指導(dǎo)拓展性課程的設(shè)計(jì)、開發(fā)，拓展性課程又如何為基礎(chǔ)性課程服務(wù)呢？筆者通過一節(jié)成功的基礎(chǔ)性課程“平方根”教學(xué)與筆者在所在學(xué)校開設(shè)的拓展性課程“數(shù)學(xué)史拾趣”中“無理數(shù)的由來”一課進(jìn)行對(duì)比探究.

一、明月松間照：基礎(chǔ)性課程對(duì)拓展性課程的“哺育”作用

（一）基礎(chǔ)性課程教學(xué)是拓展性課程教學(xué)的“指南針”.

基礎(chǔ)性課程的教學(xué)經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的研究、實(shí)踐，有較為完善的體系，而拓展性課程作為新生事物，其教學(xué)處于探索階段.筆者認(rèn)為，拓展性課程不是一門“想怎么教就怎么教”的課程，它也需要形成教學(xué)方法，基礎(chǔ)性課程的教學(xué)為其提供了“指南針”作用.

1.教學(xué)程序.

在“平方根”教學(xué)中，筆者運(yùn)用的是概念教學(xué)的一般程序：

圖1 “平方根”教學(xué)程序

在“無理數(shù)的由來”教學(xué)中，筆者借鑒“平方根”的教學(xué)程序進(jìn)行：

圖2 “無理數(shù)的由來”教學(xué)程序

筆者在拓展性課程“無理數(shù)的由來”中運(yùn)用了基礎(chǔ)性課程“平方根”概念教學(xué)的教學(xué)程序，使教學(xué)過程完整、有序.

兩者的對(duì)比研究：

表1：“平方根”與“無理數(shù)的由來”教學(xué)程序?qū)Ρ缺?/p>

由此可見，基礎(chǔ)性課程的教學(xué)程序?yàn)橥卣剐哉n程提供指導(dǎo)，而在具體的程序中，基礎(chǔ)性課程更注重知識(shí)的理解和應(yīng)用，拓展性課程可以更注重知識(shí)的由來發(fā)展及趣味性體現(xiàn).

2.教學(xué)方法.

“平方根”概念辨析環(huán)節(jié)教學(xué)實(shí)錄：

一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫作a的平方根.如果x2=a，則x叫作a的平方根.

師：在這個(gè)定義里，你還能讀出更多的信息來嗎？你覺得這里的a是一個(gè)什么樣的數(shù)？

生1：a是一個(gè)非負(fù)數(shù).

師：a為什么是非負(fù)數(shù)？

生1：負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，正數(shù)的平方依然是正數(shù)，還要考慮0的平方是0，所以一個(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù).

師：非常厲害！進(jìn)一步，這里還有一個(gè)字母，你認(rèn)為x是什么情況？

生2：x可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0.

師：是不是同時(shí)出現(xiàn)的？

生3：不是，正數(shù)有兩個(gè)平方根，一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)，0只有一個(gè)平方根，就是0.

師：你的意思就是根據(jù)a的取值分情況來看.x是一個(gè)數(shù)或者是兩個(gè)數(shù)，如果是兩個(gè)數(shù)，一正一負(fù)什么關(guān)系？

生（七嘴八舌）：互為相反數(shù).

師：看，我們又分析得到了兩個(gè)字母的取值問題，所以我們要善于發(fā)現(xiàn)概念背后的隱含信息，把它讀出來.

筆者在“平方根”的概念教授過程中花了大量的時(shí)間在概念的剖析上，以概念中的兩個(gè)字母為切入點(diǎn)，分析兩個(gè)字母的取值，得到了概念的隱含條件且順其自然地得到了平方根的性質(zhì).這樣的概念教學(xué)是學(xué)生依據(jù)自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)加以建構(gòu)得到的，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，又深入了概念本質(zhì).這為學(xué)生以后的概念學(xué)習(xí)提供了方法指導(dǎo)，既讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有了深刻的認(rèn)知，又培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力.

由此可見，基礎(chǔ)性課程的教學(xué)已有理論支持和方法指導(dǎo)，在日常的教學(xué)中，一線教師已基本掌握基礎(chǔ)性課程的教學(xué)方法，所以拓展性課程的教學(xué)需要借鑒、依據(jù)基礎(chǔ)性課程的教學(xué)方法.比如，概念教學(xué)要深入概念本質(zhì)，不能因?yàn)槭峭卣剐哉n程就一帶而過；拓展性課程也需要以學(xué)生為主體，使學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地對(duì)知識(shí)進(jìn)行建構(gòu)；基礎(chǔ)性課程需要培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力，拓展性課程更是學(xué)生提出、分析、解決問題的最好平臺(tái).

（二）數(shù)學(xué)思想方法的滲透是拓展性課程的“風(fēng)向標(biāo)”.

初中數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)思想與方法，這些是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最本真的東西，在基礎(chǔ)性課程中隱性地體現(xiàn)其中.

“平方根”教學(xué)片段實(shí)錄1：

師：乘方的逆運(yùn)算是什么？我們一起來研究一下.首先我們來回憶一下乘方運(yùn)算，xn中，x稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)，整個(gè)結(jié)果稱為冪.在乘方運(yùn)算中，比如，x的平方、立方、四次方……如果要一一研究，特別難，那我們?cè)趺崔k？

生（齊）：挑一個(gè).

師：你挑哪個(gè)？

生（齊）：平方，簡(jiǎn)單.

“平方根”教學(xué)片段實(shí)錄2：

師：乘方的逆運(yùn)算有嗎？我們先來看加法的逆運(yùn)算是怎么產(chǎn)生的.加法運(yùn)算中有加數(shù)、和，已知一個(gè)加數(shù)與和，求另一個(gè)加數(shù)，產(chǎn)生了減法.那么乘除呢？

生1：乘法運(yùn)算中已知一個(gè)因數(shù)和積，求另一個(gè)因數(shù)，產(chǎn)生了除法.

師：那么乘方呢？加法運(yùn)算中我們把一個(gè)加數(shù)變成問號(hào)產(chǎn)生逆運(yùn)算，乘法運(yùn)算中我們把一個(gè)因數(shù)變成問號(hào)產(chǎn)生逆運(yùn)算，乘方運(yùn)算中我們把什么變成問號(hào)？

生（齊）：底數(shù).

師：求指數(shù)的運(yùn)算我們高中將學(xué)習(xí)——對(duì)數(shù)，求底數(shù)的運(yùn)算我們今天來學(xué)習(xí)，也就是乘方的逆運(yùn)算——開方.

“平方根”教學(xué)片段實(shí)錄3：

觀察思考：兩種運(yùn)算有什么不同？

圖3

“無理數(shù)的由來”教學(xué)片段實(shí)錄1：

師：通過計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，我們可以得到一系列越來越接近的近似值，但是不能做到底，這與我們學(xué)過的很像，它們都是無限不循環(huán)的小數(shù)，我們把這種無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).你還能舉出類似的無理數(shù)嗎？

“無理數(shù)的由來”教學(xué)片段實(shí)錄2：

(二)離合詞“A了個(gè)B”與網(wǎng)絡(luò)語“A了(嘞)個(gè)B”在不同的語體中使用。前者一般在書面語體中或是在正規(guī)場(chǎng)合的口語中出現(xiàn)。而后者則主要出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)即時(shí)工具聊天，網(wǎng)絡(luò)游戲或者網(wǎng)絡(luò)論壇中，不過現(xiàn)在也開始“入侵”到非正規(guī)場(chǎng)合的口語中，用以表示幽默和時(shí)髦。如：

兩者對(duì)比研究：“平方根”三個(gè)教學(xué)片段分別在教學(xué)過程中滲透了從一般到特殊的數(shù)學(xué)研究方法、類比的數(shù)學(xué)思想、圖表探究法等數(shù)學(xué)思想方法，基礎(chǔ)性教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透可見一斑.“無理數(shù)的由來”中，從特殊的的研究、得到一般的無理數(shù)的概念，滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法；模仿是無理數(shù)的證明方法證明是無理數(shù)運(yùn)用了類比思想；又由特殊的無理數(shù)證明可以歸納出證明一般的“開不盡方”產(chǎn)生的無理數(shù)的方法.

顯而易見，是基礎(chǔ)性課程對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透方式指導(dǎo)著拓展性課程如何在教學(xué)過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法.而拓展性課程的教學(xué)更是滲透數(shù)學(xué)思想方法的最好平臺(tái).

（三）短片式閱讀為拓展性課程提供“活水源”.

在“平方根”教學(xué)中，涉及根號(hào)的學(xué)習(xí)，筆者通過查閱根號(hào)的演變歷史，在教學(xué)中以短片式閱讀的方式向?qū)W生介紹了根號(hào)的寫法：

平方根號(hào)曾經(jīng)用拉丁文“Radix”（根）的首尾兩個(gè)字母合并起來表示.1840年前后，德國人用一個(gè)點(diǎn)“.”來表示平方根.1525年，路多爾夫在他的代數(shù)著作中，首先采用了“”表示根號(hào)，“”是由拉丁字母“r”變化而來的.十七世紀(jì)初葉，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒在他的《幾何學(xué)》中，第一次使用現(xiàn)今的“這是出于什么考慮呢？有時(shí)候被開方數(shù)的項(xiàng)數(shù)較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線把這幾項(xiàng)連起來，因此我們的根號(hào)書寫中橫線長(zhǎng)短要恰當(dāng).

這樣的教學(xué)素材為筆者的拓展性課程的開展提供了“活水源”，在“無理數(shù)的由來”一課中，筆者將“根號(hào)的歷史”作為一塊內(nèi)容展開進(jìn)行教學(xué)：

根號(hào)的由來

古時(shí)候，埃及人用記號(hào)“┌”表示平方根.印度人在開平方時(shí)，在被開方數(shù)的前面寫上ka.

1840年前后，德國人用一個(gè)點(diǎn)“.”來表示平方根，兩點(diǎn)“..”表示4次方根，三個(gè)點(diǎn)“...”表示立方根，比如，.3、..3、...3就分別表示3的平方根、4次方根、立方根.

與此同時(shí)，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個(gè)字母的大寫R來表示開方運(yùn)算，并且后面跟著拉丁文“平方”一字的第一個(gè)字母q，或“立方”的第一個(gè)字母c，來表示開的是多少次方.

直到十七世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650年）第一個(gè)使用了現(xiàn)今用的根號(hào)“在一本書中，笛卡爾寫道：“如果我想求a2+b2的平方根，就寫作，如果想求a3+b3+abc的立方根，則寫作求

這是出于什么考慮呢？有時(shí)候被開方數(shù)的項(xiàng)數(shù)較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線把這幾項(xiàng)連起來，前面放上根號(hào)就為現(xiàn)時(shí)根號(hào)形式.

立方根符號(hào)出現(xiàn)得很晚，一直到十八世紀(jì)，才在一書中看到符號(hào)的使用，比如25的立方根用表示.以后，諸如等形式的根號(hào)漸漸使用開來.

由此可見，一種符號(hào)的普遍采用是多么地艱難，它是人們?cè)谟凭玫臍q月中，經(jīng)過不斷改良、選擇和淘汰的結(jié)果，它是數(shù)學(xué)家們集體智慧的結(jié)晶，而不是某一個(gè)人憑空臆造出來的，也絕不是從天上掉下來的.

兩者對(duì)比研究：基礎(chǔ)性課程的數(shù)學(xué)史滲透或短片式閱讀的呈現(xiàn)方式更為簡(jiǎn)潔，它所起到的作用主要是引入，激發(fā)學(xué)生一定的學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生的視野.“平方根”中根號(hào)的演變歷史介紹另一用途是由此強(qiáng)調(diào)了根號(hào)書寫中橫線的用處及寫法.基礎(chǔ)性課程介紹的這些數(shù)學(xué)史、短片式閱讀往往可以成為拓展性課程的設(shè)計(jì)開發(fā)的“活水源”，拓展性課程可以在此基礎(chǔ)上對(duì)內(nèi)容、形式進(jìn)行拓展，形成自身的教學(xué)內(nèi)容.

基礎(chǔ)性課程的依據(jù)主要是課程標(biāo)準(zhǔn)和教材.由于課程改革，目前的教材中有大量的短片式閱讀為拓展性課程的開發(fā)提供了“活水源”.筆者所在學(xué)校將浙教版數(shù)學(xué)教材提供的短片式閱讀進(jìn)行了簡(jiǎn)單整理，這些基礎(chǔ)性課程的內(nèi)容已經(jīng)成為或即將成為開展拓展性課程教學(xué)的“活水源”，運(yùn)用到學(xué)生開設(shè)的拓展性課程的開發(fā)和實(shí)施中.

1.課題學(xué)習(xí)與設(shè)計(jì)題.

數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活.現(xiàn)實(shí)生活中有大量與時(shí)代發(fā)展同步的數(shù)學(xué)素材，開發(fā)這些數(shù)學(xué)素材應(yīng)用于拓展性課程的教學(xué)，既可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).教材中的課題學(xué)習(xí)與設(shè)計(jì)題為我們提供了范例.

表2

2.探究活動(dòng)或習(xí)題.

教材中的探究活動(dòng)或習(xí)題往往與所學(xué)內(nèi)容相關(guān)，有一定的探究?jī)r(jià)值又具有一定的趣味性，由此可以開發(fā)由學(xué)生主體參與的問題發(fā)現(xiàn)、探究、解決、反思、歸納等形式的拓展性課程，通過運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想解決問題，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，歸納和形成解題方法和策略，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

表3

3.數(shù)學(xué)史閱讀.

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)思想和方法產(chǎn)生、發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué)，有關(guān)的數(shù)學(xué)的重大歷史事件、重要的數(shù)學(xué)成果及其研究過程、數(shù)學(xué)大師的介紹等都能有機(jī)融入數(shù)學(xué)課程.數(shù)學(xué)史的滲透有助于學(xué)生用發(fā)展的眼光看數(shù)學(xué)、用堅(jiān)毅的品質(zhì)研究數(shù)學(xué)、用大家的眼光理解數(shù)學(xué).

表4

七年級(jí)下冊(cè)第135頁閱讀材料八年級(jí)上冊(cè)第21頁閱讀材料實(shí)驗(yàn)與歸納推理實(shí)驗(yàn)與歸納推理費(fèi)馬和他的猜想費(fèi)馬大定理八年級(jí)上冊(cè)第79頁閱讀材料從勾股定理到圖形面積關(guān)系的發(fā)展勾股定理探索八年級(jí)上冊(cè)第125頁閱讀材料八年級(jí)下冊(cè)第129頁閱讀材料九年級(jí)上冊(cè)第52頁閱讀材料笛卡爾笛卡爾與直角坐標(biāo)系有趣的拼圖移動(dòng)與剪拼機(jī)會(huì)均等有趣的概率游戲九年級(jí)上冊(cè)第94頁閱讀材料生活離不開圓九年級(jí)上冊(cè)第101頁閱讀材料九年級(jí)上冊(cè)第122頁閱讀材料九年級(jí)上冊(cè)第159頁閱讀材料美妙的鑲嵌黃金分割精彩的分形生活中的圓與數(shù)學(xué)中的圓數(shù)學(xué)的構(gòu)圖美學(xué)

二、清泉石上流：拓展性課程對(duì)基礎(chǔ)性課程的”反哺“作用

“有興趣的同學(xué)可以課外自己去研究.”這是我們數(shù)學(xué)教師提及教材中的探究活動(dòng)、設(shè)計(jì)題、閱讀材料或布置課外實(shí)踐活動(dòng)作業(yè)時(shí)常用的一句話.試問：學(xué)生課外真的去“研究”了嗎？有多少學(xué)生會(huì)去“課外研究”？他們又是否有時(shí)間、有能力去自行研究呢？作為教師，我們需要關(guān)注這些問題，真正為學(xué)生進(jìn)行“課外探究”創(chuàng)造條件.拓展性課程為這樣的”課外探究“創(chuàng)造了條件.拓展性課程由基礎(chǔ)性課程“哺育”，又“反哺”基礎(chǔ)性課程的教學(xué)和學(xué)習(xí).

（一）激發(fā)學(xué)生的興趣和成就動(dòng)機(jī).

有趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、生動(dòng)的數(shù)學(xué)探究、精彩的數(shù)學(xué)歷史等都可以很大程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門枯燥呆板的學(xué)科，而是一門不斷發(fā)展、可以不斷探究的生動(dòng)有趣的學(xué)科.在拓展性課程的學(xué)習(xí)中，評(píng)價(jià)可以多元化，同時(shí)，實(shí)驗(yàn)、探究、閱讀等過程中每個(gè)人都有收獲，這使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，從而由于這種成就動(dòng)機(jī)而更加熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

（二）促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和理解.

新課程強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性.由于課程內(nèi)容、時(shí)間的限制，基礎(chǔ)性課程無法給學(xué)生提供調(diào)查、探究、實(shí)驗(yàn)等較大型數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的平臺(tái)，比如，調(diào)查“初中生最喜愛的電視節(jié)目”，七巧板、魔法、折紙等實(shí)驗(yàn)，拓展性課程可以打破這種局限，提供這一平臺(tái)，讓學(xué)生參與問題的發(fā)現(xiàn)、探究、解決、反思、歸納等過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解.

（三）幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀.

數(shù)學(xué)并不是單純的知識(shí)和習(xí)題，并不是坐在教室里耳朵聽、動(dòng)腦思考、動(dòng)筆做的課程，數(shù)學(xué)還有對(duì)問題的探究，還有調(diào)查和數(shù)據(jù)整理，還有生活的運(yùn)用，還有美圖的構(gòu)建，還有游戲，還有理財(cái)?shù)?學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不是學(xué)會(huì)做題和考試，還需要走出課堂深入生活.數(shù)學(xué)定理、公式并不是寫在書本上然后去記憶、背誦，還需要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和思維方式去探究、發(fā)現(xiàn)，還需要學(xué)會(huì)提出問題、分析問題、解決問題等.拓展性課程的設(shè)置可以通過這些方式幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀.

（四）發(fā)展理性精神和創(chuàng)造性思維.

在數(shù)學(xué)閱讀中，學(xué)生可以知道當(dāng)“萬物皆數(shù)”成為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條時(shí)，希伯索斯卻提出了無理數(shù)的存在，成為“叛逆者”而被葬身大海，由此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；芝諾悖論和理發(fā)師悖論分別產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史上的第二次、第三次數(shù)學(xué)危機(jī).數(shù)學(xué)史的拓展性課程中可以介紹數(shù)學(xué)史上三次危機(jī)的產(chǎn)生與解決，介紹悖論，介紹未被證明的定理等，這些對(duì)基礎(chǔ)性課程的補(bǔ)充讓學(xué)生用發(fā)展的眼光看數(shù)學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生鍥而不舍地追求真理并不斷創(chuàng)新.

1.浙江省教育廳.浙江省教育廳關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見［Z］.浙教基〔2015〕36號(hào).

2.王冰.教材分析——從宏觀到微觀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（5）.

3.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.李紅婷.課改新視域：數(shù)學(xué)史走進(jìn)新課程［J］.課程·教材·教法，2005（9）.