有界不確定結(jié)構(gòu)基于最小二乘支持向量機(jī)回歸的動(dòng)力特性分析方法

莫延彧, 郭書(shū)祥, 唐 承

(1. 空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院, 西安 710038; 2. 空軍工程大學(xué) 理學(xué)院, 西安 710051)

有界不確定結(jié)構(gòu)基于最小二乘支持向量機(jī)回歸的動(dòng)力特性分析方法

莫延彧1, 郭書(shū)祥2, 唐 承2

(1. 空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院, 西安 710038; 2. 空軍工程大學(xué) 理學(xué)院, 西安 710051)

針對(duì)不確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性分析問(wèn)題展開(kāi)研究，考慮僅已知結(jié)構(gòu)參數(shù)變量變化范圍的情況，建立不確定參數(shù)變量的區(qū)間模型。對(duì)不確定變量在其取值范圍內(nèi)進(jìn)行改進(jìn)的均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣，并基于確定結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析的有限元法和模態(tài)疊加理論，提出改進(jìn)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣模擬方法；考慮到該算法計(jì)算效率較低，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)并提出基于最小二乘支持向量機(jī)回歸的模擬方法，算法在不改變樣本點(diǎn)數(shù)量的前提下，引入了支持向量機(jī)回歸代理模型，用訓(xùn)練后的代理模型對(duì)不確定結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性進(jìn)行了模擬分析。算法通過(guò)兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了其有效性。

均勻設(shè)計(jì); 區(qū)間模型; 頻率分析; 頻響分析; 支持向量機(jī)回歸

考慮到工程實(shí)際中制造工藝水平，材料特性多樣性以及模型簡(jiǎn)化等因素，不確定性是普遍存在的，具體到結(jié)構(gòu)中，主要體現(xiàn)在材料參數(shù)、幾何參數(shù)和外載荷等參數(shù)變量的不確定性。因此，在解決結(jié)構(gòu)的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，特別是當(dāng)對(duì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和模型細(xì)節(jié)的數(shù)學(xué)描述不夠明確時(shí)，將其視作不確定結(jié)構(gòu)更符合工程實(shí)際。傳統(tǒng)的處理不確定問(wèn)題的方法主要是對(duì)不確定參數(shù)進(jìn)行隨機(jī)化或模糊化，為使隨機(jī)分布或隸屬函數(shù)較為準(zhǔn)確可靠，這兩種方法需要較多的數(shù)據(jù)支持[1]。因此對(duì)于僅已知參數(shù)取值范圍的有界不確定變量，隨機(jī)化和模糊化并不適用，而基于區(qū)間模型的非隨機(jī)方法則可以較好的解決有界不確定問(wèn)題。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析問(wèn)題在工程實(shí)際中具有很廣泛的應(yīng)用，它是結(jié)構(gòu)分析設(shè)計(jì)的重要部分。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析主要針對(duì)確定性結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)變量都是確定的，這種分析問(wèn)題可以用有限元方法較好的解決。而當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)的有界不確定性時(shí)，其中部分參數(shù)是有界不確定變量，此時(shí)，用傳統(tǒng)的有限元方法解決結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析問(wèn)題會(huì)變得非常困難。近期，有學(xué)者對(duì)此問(wèn)題展開(kāi)研究，王登剛[2]把具有有界不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)的固有頻率所在區(qū)間范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全局優(yōu)化問(wèn)題，并用實(shí)數(shù)編碼遺傳算法求解；張建國(guó)等[3]提出了一種求解有界不確定結(jié)構(gòu)固有頻率的區(qū)間逐步離散的方法；馬梁等[4]利用Epsilon算法求有界不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)有大變化時(shí)的固有頻率,得到頻率的上﹑下界； MANSON[5]用復(fù)雜仿射分析方法計(jì)算有界不確定結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，解決了普通區(qū)間運(yùn)算擴(kuò)張的問(wèn)題； GERSEM等[6]用區(qū)間和模糊有限元方法求解有界不確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和頻響函數(shù)； MUNCK等[7]針對(duì)求解有界不確定結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的區(qū)間和模糊有限元方法存在的不嚴(yán)密性，提出一種基于響應(yīng)面的優(yōu)化技術(shù)；YANG 等[8]提出一種求解有界不確定結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的Laplace變換方法；MA 等[9]結(jié)合區(qū)間數(shù)學(xué)與模態(tài)綜合法，求解了有界不確定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)變化范圍；SOFI等[10]針對(duì)線性無(wú)阻尼有界不確定結(jié)構(gòu)，提出一種解決振動(dòng)分析中廣義區(qū)間特征值問(wèn)題的有效方法。本文針對(duì)有界不確定結(jié)構(gòu)頻率和頻響范圍的分析計(jì)算展開(kāi)研究，首先給出了一種基于改進(jìn)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)的模擬方法，后對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)，給出了基于最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machine, LS-SVM)回歸的模擬算法，并對(duì)算法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 確定結(jié)構(gòu)基于有限元的動(dòng)力特性分析

有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)是一種解決結(jié)構(gòu)靜態(tài)和動(dòng)力特性分析問(wèn)題的有效手段。通過(guò)FEM，復(fù)雜結(jié)構(gòu)可以被劃分成有限個(gè)較為簡(jiǎn)單的單元，從而可以通過(guò)對(duì)有限單元的整合去研究一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。

考察自由度為n的無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)平衡方程可表示為

(1)

式中：K(∈Rn×n)為整體剛度矩陣；M(∈Rn×n)為整體質(zhì)量矩陣；u(ts)為n維位移向量；F(ts)為n維力向量。K和M由FEM整合計(jì)算得到。

1.1 頻率分析

考慮上述無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的情況，由于式(1)中整體剛度和質(zhì)量矩陣K和M已經(jīng)通過(guò)FEM計(jì)算得到，因此第t階自然頻率ωt和與之相對(duì)應(yīng)的第t階標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)模態(tài)Ut可以通過(guò)解決如下的特征值問(wèn)題得到

(K-ω2M)u(ts)=0

(2)

式中：ω為頻率；u(ts)為位移向量。

式(2)中的代數(shù)特征值問(wèn)題可以用現(xiàn)有的商業(yè)軟件(比如Matlab)計(jì)算解決，對(duì)其詳細(xì)計(jì)算過(guò)程這里不做過(guò)多的介紹。

1.2 頻響函數(shù)計(jì)算

通過(guò)求解式(2)中的代數(shù)特征值問(wèn)題可得到t階標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)模態(tài)Ut，對(duì)其進(jìn)行歸一化得到歸一化標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)模態(tài)Ut norm，滿足如下條件

(3)

和

(4)

對(duì)確定結(jié)構(gòu)，K和M是確定的，因此歸一化標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)模態(tài)Ut norm是唯一的。根據(jù)模態(tài)疊加理論，考慮前m個(gè)模態(tài)疊加，則自由度j和k間頻率響應(yīng)函數(shù)(Frequency Response Function，F(xiàn)RF)可表示為

(5)

式中：FRFtjk為第t階模態(tài)對(duì)自由度j和k間頻率響應(yīng)函數(shù)FRFjk的貢獻(xiàn)；Ut norm,j和Ut norm,k分別為第t階歸一化標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)模態(tài)Ut的第j和k分量。 式(5)中FRFjk可以進(jìn)一步表示為

(6)

其中，Pt為Ut norm,j和Ut norm,k的乘積

Pt=Ut norm,j·Ut norm,k

(7)

考慮到確定性結(jié)構(gòu)歸一化標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)模態(tài)Ut norm的唯一性，Pt為確定值。

2 基于均勻設(shè)計(jì)抽樣的模擬方法

圖1 二維有界不確定結(jié)構(gòu)的參數(shù)變化區(qū)域及其區(qū)間模型Fig.1 The variables domain and interval model of a two dimensional uncertain structure

區(qū)間模型中，作為區(qū)間變量XI的函數(shù)，整體剛度和質(zhì)量矩陣也都是區(qū)間矩陣，分別表示為KI和MI。則根據(jù)式(2)和式(5)，各階自然頻率以及各自由度之間的頻率響應(yīng)也都在特定的區(qū)間范圍內(nèi)變化。接下來(lái)的部分主要介紹一種計(jì)算有界不確定結(jié)構(gòu)各階自然頻率以及各自由度之間頻率響應(yīng)的模擬方法。

2.1 改進(jìn)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣

均勻設(shè)計(jì)(Uniform Design, UD)由FANG等[11-12]提出。它是一種試圖讓設(shè)計(jì)點(diǎn)均勻分散在試驗(yàn)區(qū)域中的空間填充設(shè)計(jì)方法[13]。UD特別適用于那些模型未知的情況，它既能用在工程試驗(yàn)中，也可以用在數(shù)值模擬試驗(yàn)中。UD的試驗(yàn)次數(shù)等于其水平數(shù)，因此較為省時(shí)省力，特別是當(dāng)不確定變量數(shù)較多且變量相關(guān)的情況下尤為突出。

UD主要被用來(lái)模擬區(qū)間模型的輸入?yún)?shù)變量。文中使用的均勻設(shè)計(jì)表由好格子點(diǎn)法生成，通過(guò)計(jì)算均勻設(shè)計(jì)表中各組試驗(yàn)點(diǎn)的中心化L2偏差，選取偏差最小的一組試驗(yàn)點(diǎn)模擬不確定參數(shù)變量，最小的中心化L2偏差表明該組試驗(yàn)點(diǎn)具有最佳的均勻性。圖2(a)和圖2(b)分別為2因素、100水平的拉丁超立方抽樣點(diǎn)和均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣點(diǎn)分布示意圖，從圖2可知，試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣點(diǎn)的分布明顯比拉丁超立方抽樣點(diǎn)更加均勻。

圖2 2因素、100水平數(shù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)樣本示意圖Fig.2 Sampling illustrations for experimental designs with 2 factors and 100 levels

UD使樣本點(diǎn)更加均勻的填充變量空間，因而可以極大的增加抽樣效率。但文中針對(duì)有界不確定結(jié)構(gòu)，其變量取值邊界處的信息往往會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果產(chǎn)生很大的影響，為此，文章在UD的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，在不增加計(jì)算成本的情況下使原本均勻分布的樣本點(diǎn)向邊界移動(dòng)，使得更多的樣本點(diǎn)分布到變量的取值邊界處。改進(jìn)的原理為

(8)

式中：x為對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)的某個(gè)變量原始值；ximp為該變量的改進(jìn)值；xu為該變量取值區(qū)間的均值；xr為該變量取值區(qū)間的離差。圖2(b)中2因素、100水平的UD經(jīng)改進(jìn)后樣本點(diǎn)分布如圖3所示。從圖3可知，靠近邊界的樣本點(diǎn)尤其是靠近邊界交角處的樣本點(diǎn)明顯增多。

圖3 2因素、100水平數(shù)改進(jìn)UD樣本示意圖Fig.3 Sampling illustrations for improved UD with 2 factors and 100 levels

2.2 頻率區(qū)間的計(jì)算與FRF包絡(luò)線模擬

頻率分析的目的就是確定各階自然頻率的變化區(qū)間，而頻響分析的目的是確定頻率響應(yīng)曲線變化區(qū)域，也即確定FRF包絡(luò)線。到目前為止，有很多確定頻率區(qū)間以及FRF包絡(luò)線的方法被學(xué)者提出，其中主要有頂點(diǎn)算法，全局優(yōu)化算法以及一些基于區(qū)間運(yùn)算的轉(zhuǎn)換算法，等等。上述方法或多或少具有一定的局限性：頂點(diǎn)算法要求自然頻率的變化對(duì)輸入?yún)?shù)變量具有單調(diào)性，這樣才能保證頻率的極值在變量取值區(qū)域的某個(gè)頂點(diǎn)處取得，在單調(diào)性未知的情況下，該算法需要進(jìn)行2p次的有限元分析，P代表不確定參數(shù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)不確定參數(shù)較多時(shí)，該方法的計(jì)算量會(huì)變得很大；全局優(yōu)化算法的效率取決于初始點(diǎn)的選取和優(yōu)化程序的選擇，該算法容易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象而無(wú)法得到較為精確的結(jié)果，特別是當(dāng)模型非線性程度較高時(shí)，且優(yōu)化算法收斂迭代的次數(shù)直接決定了需要進(jìn)行有限元分析的次數(shù)；由于轉(zhuǎn)化算法以區(qū)間運(yùn)算作為運(yùn)算基礎(chǔ)，考慮到區(qū)間運(yùn)算在變量相關(guān)時(shí)易出現(xiàn)區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象，其結(jié)果往往偏保守。

考慮到上述方法種種局限性，嘗試采用改進(jìn)的均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣模擬算法(Improved Uniform Design Sampling Simulation Algorithm，UDS)計(jì)算自然頻率的變化區(qū)間并模擬FRF包絡(luò)線。圖4以流程圖形式展示了頻率區(qū)間和FRF包絡(luò)線的UDS算法，算法主要分為以下四步：

步驟2 生成區(qū)間模型的樣本點(diǎn)。用n因素、q水平的改進(jìn)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣，生成樣本點(diǎn)，最后選擇均勻性最好的一組樣本點(diǎn)模擬不確定參數(shù)。UD的因素?cái)?shù)等于不確定參數(shù)的個(gè)數(shù)，水平數(shù)則根據(jù)精確度和計(jì)算量的折中進(jìn)行選取。

步驟3 進(jìn)行確定性的頻率和FRF計(jì)算。由上一步，生成的q個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)q組確定的參數(shù)變量。在這一步當(dāng)中，依次將q組確定的參數(shù)變量帶入結(jié)構(gòu)中，計(jì)算每組參數(shù)對(duì)應(yīng)的各階自然頻率，并計(jì)算每組參數(shù)對(duì)應(yīng)的FRF值，總共得到q組各階自然頻率和FRF曲線。

步驟4 計(jì)算各階自然頻率變化的上下界，并模擬FRF包絡(luò)線。分別計(jì)算q組各階自然頻率中的最大值和最小值，從而得到各階自然頻率變化的上下邊界；得到的各FRF曲線共同組成區(qū)域的邊界線即為不確定結(jié)構(gòu)FRF包絡(luò)線。

圖4 區(qū)間模型動(dòng)力特性分析的UDS方法Fig.4 The flowchart of UDS method for interval dynamic analysis

UDS方法在計(jì)算頻率區(qū)間以及FRF變化區(qū)域時(shí)有一些優(yōu)點(diǎn)。該方法由于沒(méi)有進(jìn)行區(qū)間運(yùn)算，從而避免了區(qū)間擴(kuò)張的產(chǎn)生；方法可以用在變量較多的模型當(dāng)中；且既能適用在參數(shù)變量變化范圍較小的結(jié)構(gòu)中，也能適用在參數(shù)變量變化范圍較大的結(jié)構(gòu)中。UDS方法由于需要的抽樣點(diǎn)數(shù)較少，相比較蒙特卡洛模擬方法有較高的計(jì)算速率，但較高的計(jì)算精度仍然需要生成較多樣本點(diǎn)，從而使計(jì)算量較大，因此方法還需要在計(jì)算精度和計(jì)算速率之間作出折中。接下來(lái)的內(nèi)容將著眼于進(jìn)一步提高UDS方法的計(jì)算效率上。

3 基于LS-SVM回歸代理模型的模擬方法

前文中提出的UDS方法，其計(jì)算量主要集中在對(duì)結(jié)構(gòu)的有限元分析上。因而有兩種辦法可以提高計(jì)算效率：①減少計(jì)算時(shí)間，前文中使用均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣選取樣本點(diǎn)的方法已大大減少了樣本點(diǎn)的數(shù)量，從而減少了有界不確定結(jié)構(gòu)有限元分析的次數(shù)，使計(jì)算時(shí)間得到了有效的控制；②提高計(jì)算精度，UDS算法的精度和計(jì)算時(shí)間成正比，因此其計(jì)算效率不高，文章在接下來(lái)的部分試圖用少量樣本訓(xùn)練得到LS-SVM回歸代理模型，進(jìn)而對(duì)代理模型進(jìn)行隨機(jī)抽樣，從而對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬的方法提高計(jì)算效率。

3.1 LS-SVM回歸代理模型

(9)

滿足約束條件

yi=ωT·φ(xi)+b+ei,i=1,2,…,N

(10)

式中：ωT·φ(xi)+b為支持向量機(jī)模型表達(dá)式；ω為權(quán)重向量；φ(x)為映射函數(shù)；b為偏置量；ei為誤差。式(9)中的γ為正規(guī)化參數(shù)，它代表訓(xùn)練誤差最小化和回歸估計(jì)函數(shù)光滑度之間的權(quán)衡。則上述回歸優(yōu)化對(duì)偶問(wèn)題的拉格朗日多項(xiàng)式可表示為

(11)

式中，α為拉格朗日乘子，式(11)的最優(yōu)化條件滿足

(12)

消去式(12)中的ω和ei，最終式(12)轉(zhuǎn)換為

(13)

式中：y={y1,y2,…,yN}T; 1N={1,1,…,1}T;α={α1,α2,…,αN}T;Φ=[Φij]為核矩陣，Φij滿足如下表達(dá)式

Φij=φ(xi)Tφ(xj)=K(xi,xj),

i,j=1,2,…,N

(14)

式中，K:Rdx×Rdx→R為滿足Mercer條件[14]的核函數(shù)。文中使用徑向基核函數(shù)K(xi,xj)=exp(-‖xi-xj‖2/σ2)。最終，LS-SVM回歸代理模型可表達(dá)為如下形式

(15)

3.2 LS-SVM回歸的參數(shù)選取

選用徑向基函數(shù)(Radial Basis Function, RBF)作為L(zhǎng)S-SVM回歸的核函數(shù)，其重要參數(shù)主要是正規(guī)化參數(shù)γ和RBF核函數(shù)參數(shù)σ2，這兩個(gè)參數(shù)的選取會(huì)直接影響到LS-SVM回歸代理模型的精度。文中參數(shù)的選取是通過(guò)耦合模擬退火(Coupled Simulated Annealing, CSA)[15]優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)的，算法優(yōu)化的目標(biāo)是使LS-SVM回歸樣本訓(xùn)練的10層交叉驗(yàn)證[16]得到的均方誤差(Mean Square Error, MSE)取得最小值。CSA優(yōu)化算法對(duì)初始參數(shù)的靈敏度較低，因此具有較好的優(yōu)化效率，因而能提高總體模擬算法的效率。

3.3 基于LS-SVM回歸的模擬方法

考慮變量取值邊界對(duì)分析結(jié)果的影響，使用“2.1”中的改進(jìn)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣方法為L(zhǎng)S-SVM回歸模型選取訓(xùn)練樣本點(diǎn)。得到的樣本點(diǎn)分散在整個(gè)變量取值區(qū)域，并且在區(qū)域邊界處樣本點(diǎn)較多。

通過(guò)樣本點(diǎn)訓(xùn)練得到LS-SVM回歸代理模型之后，就可以用代理模型代替原結(jié)構(gòu)模型對(duì)有界不確定結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析，從而提出基于LS-SVM回歸的模擬方法(Least Squares Support Vector Machine Regression Based Simulation Algorithm，LSSVRS)。圖5以流程形式展示了LSSVRS方法，主要由以下六個(gè)步驟組成：

步驟2 生成訓(xùn)練樣本點(diǎn)。用改進(jìn)的均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)生成樣本點(diǎn)，最后選擇均勻性最好的一組樣本點(diǎn)作為L(zhǎng)S-SVM回歸的訓(xùn)練樣本。

步驟3 計(jì)算樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率和振動(dòng)模態(tài)。對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行確定性的有限元分析，計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)各階自然頻率，并計(jì)算各階頻率對(duì)應(yīng)的歸一化標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)模態(tài)。

步驟4 訓(xùn)練樣本點(diǎn)，得到LS-SVM回歸代理模型。別選定各階自然頻率和歸一化標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)模態(tài)為目標(biāo)函數(shù)，將樣本點(diǎn)進(jìn)行LS-SVM回歸訓(xùn)練，通過(guò)優(yōu)化得到正規(guī)化參數(shù)γ和RBF核函數(shù)參數(shù)σ2之后，最終得到回歸代理模型。

步驟5 開(kāi)展確定性的頻率計(jì)算。首先按照蒙特卡洛模擬法需要的樣本數(shù)量進(jìn)行隨機(jī)抽樣；然后依次將每個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)變量帶入結(jié)構(gòu)中，計(jì)算樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的各階自然頻率以及FRF曲線。

步驟6 計(jì)算各階自然頻率變化的上下界并模擬FRF包絡(luò)線。分別計(jì)算各階自然頻率中的最大值和最小值，從而得到各階自然頻率變化的上下邊界，并通過(guò)模擬FRF曲線，得到不確定結(jié)構(gòu)某兩自由度之間FRF變化的范圍，即得到FRF包絡(luò)線。

圖5 區(qū)間模型動(dòng)力特性分析的LSSVRS方法Fig.5 The flowchart of LSSVRS method for interval dynamic analysis

使用代理模型大大減少了耗時(shí)的有限元分析過(guò)程的次數(shù)，并且在模擬FRF包絡(luò)線時(shí)，代理模型以振動(dòng)模態(tài)為目標(biāo)函數(shù)，因而避開(kāi)了耗時(shí)的頻率響應(yīng)分析過(guò)程，從而大大縮短了LSSVRS算法的計(jì)算時(shí)間。考慮到用代理模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的耗時(shí)非常短，因此可以用LSSVRS方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力特性分析，且其效率和精度都高于UDS算法。

4 算 例

4.1 平面桁架結(jié)構(gòu)

圖6所示為9根桿的平面桁架結(jié)構(gòu)。已知各桿的橫截面積均為2.5×10-3m2，而各桿的彈性模量和密度為有界不確定變量，其中①、③、④、⑥、⑦、⑧號(hào)桿的參數(shù)取值范圍分別為E1=E3=E4=E6=E7=E8∈[180，220]GPa，ρ1=ρ3=ρ4=ρ6=ρ7=ρ8∈[7 760，7 960]kg/m3；②、⑤、⑨號(hào)桿的參數(shù)取值范圍分別為E2=E5=E9∈[190，210]GPa，ρ2=ρ5=ρ9∈[7 810，7 910]kg/m3。

圖6 9桿平面桁架結(jié)構(gòu)Fig.6 9 bar plane truss structure

則平面桁架結(jié)構(gòu)前五階自然頻率區(qū)間如表1所示。其中由靈敏度單調(diào)性判別方法[17]得到的結(jié)果是自然頻率區(qū)間的精確解。分別用UDS算法和LSSVRS算法對(duì)不確定變量取10個(gè)樣本點(diǎn)、40個(gè)樣本點(diǎn)、100個(gè)樣本點(diǎn)的平面桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，得到自然頻率區(qū)間，并和精確解進(jìn)行比較，得到分別對(duì)應(yīng)上下邊界的相對(duì)誤差，其中LSSVRS算法對(duì)LSSVM回歸模型進(jìn)行了200 000次隨機(jī)抽樣。

表1 不確定平面桁架結(jié)構(gòu)的自然頻率區(qū)間

考慮無(wú)阻尼的情況，考查輸入在節(jié)點(diǎn)2的y方向自由度時(shí)節(jié)點(diǎn)5的y方向自由度的位移FRF包絡(luò)線。分別用UDS算法和LSSVRS算法對(duì)不確定變量取10個(gè)樣本點(diǎn)、40個(gè)樣本點(diǎn)、100個(gè)樣本點(diǎn)的9根桿的平面桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行FRF分析計(jì)算，得到FRF包絡(luò)線的局部區(qū)域如圖7所示，其中LSSVRS算法同樣對(duì)回歸模型進(jìn)行了200 000次抽樣。圖7中點(diǎn)劃線為由UDS得到的FRF包絡(luò)線，虛線為由LSSVRS算法得到的包絡(luò)線，實(shí)線對(duì)應(yīng)于由靈敏度單調(diào)性判別方法求得的最大最小頻率，由式(6)可知這兩條FRF曲線為所能得到的所有FRF曲線的外邊界，因此可視為有界不確定結(jié)構(gòu)FRF包絡(luò)線的準(zhǔn)確值。

(a)10個(gè)樣本點(diǎn)

(b)40個(gè)樣本點(diǎn)

(c)100個(gè)樣本點(diǎn)圖7 9桿平面桁架結(jié)構(gòu)Fig.7 9 bar plane truss structure

4.2 空間剛架結(jié)構(gòu)

圖8所示為由12個(gè)空間梁構(gòu)成的空間剛架結(jié)構(gòu)。已知各個(gè)梁的橫截面積為0.01 m×0.01 m，而各個(gè)梁的彈性模量、泊松比和密度為有界不確定變量，其中①、②、③、④號(hào)梁的參數(shù)取值范圍分別為E1=E2=E3=E4∈[200，220]GPa，μ1=μ2=μ3=μ4∈[0.29，0.31]，ρ1=ρ2=ρ3=ρ4∈[7 760，7 960]kg/m3；⑤、⑥、⑦、⑧號(hào)梁的參數(shù)取值范圍分別為E5=E6=E7=E8∈[190，230]Gpa，μ5=μ6=μ7=μ8∈[0.285，0.315]，ρ5=ρ6=ρ7=ρ8∈[7 810，7 910]kg/m3； ⑨、、、號(hào)梁的參數(shù)取值范圍分別為E9=E10=E11=E12∈[195，225]GPa，μ9=μ10=μ11=μ12∈ [0.295， 0.305]，ρ9=ρ10=ρ11=ρ12∈[7 790，7 930]kg/m3。

通過(guò)計(jì)算得到的空間剛架結(jié)構(gòu)前五階自然頻率區(qū)間如表2所示。其中自然頻率區(qū)間的精確解仍然由靈敏度單調(diào)性判別方法得到。依然用兩種算法分別對(duì)不確定變量取10個(gè)樣本點(diǎn)、40個(gè)樣本點(diǎn)、100個(gè)樣本點(diǎn)的空間剛架結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，從而得到自然頻率區(qū)間及其對(duì)應(yīng)上下邊界的相對(duì)誤差，其中LSSVRS算法仍然對(duì)回歸模型進(jìn)行了200 000次隨機(jī)抽樣。

圖8 12梁空間剛架結(jié)構(gòu)Fig.8 12 beams space frame structure

仍考慮無(wú)阻尼的情況，考查輸入在節(jié)點(diǎn)5的z方向自由度時(shí)節(jié)點(diǎn)7的z方向自由度上的位移FRF包絡(luò)線。對(duì)不確定變量分別取10個(gè)樣本點(diǎn)、40個(gè)樣本點(diǎn)、100個(gè)樣本點(diǎn)的空間剛架結(jié)構(gòu)進(jìn)行FRF分析計(jì)算，得到FRF包絡(luò)線的局部區(qū)域如圖9所示，其中LSSVRS算法同樣對(duì)回歸模型進(jìn)行了200 000次抽樣。圖9中點(diǎn)劃線包絡(luò)線由UDS算法得到，虛線包絡(luò)線由LSSVRS算法得到，實(shí)線包絡(luò)線對(duì)應(yīng)于由靈敏度單調(diào)性判別方法求得的最大最小頻率。

用UDS和LSSVRS兩種算法計(jì)算頻率區(qū)間，從表1數(shù)據(jù)可看出，隨著樣本點(diǎn)的增加，兩種算法結(jié)果的誤差都明顯減小，精度顯著增加；而表2中數(shù)據(jù)則顯示隨著樣本點(diǎn)的增加，兩種算法精度總體有所增加，但變化并不非常明顯，原因在于在樣本點(diǎn)較少時(shí)，算法精度已經(jīng)較高。從表1和表2都可以發(fā)現(xiàn)，在樣本點(diǎn)相同的前提下，LSSVRS算法的誤差明顯小于UDS算法，因此在計(jì)算量基本相同時(shí)，LSSVRS算法在計(jì)算頻率區(qū)間時(shí)具有更高的計(jì)算精度，因此效率更高。

表2 不確定空間剛架結(jié)構(gòu)的自然頻率區(qū)間

圖7和圖9分別展示了用兩種模擬方法繪制的FRF包絡(luò)線。其中的實(shí)線對(duì)應(yīng)于各自頻率區(qū)間取到最大最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的FRF曲線。考慮結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼的情況，根據(jù)式(6)，F(xiàn)RF曲線上靠近某階自然頻率的位置，其幅值趨于無(wú)窮或0。則自然頻率區(qū)間的上邊界對(duì)應(yīng)所有FRF曲線最右側(cè)的實(shí)線，而下邊界對(duì)應(yīng)其左側(cè)的實(shí)線，則實(shí)線所構(gòu)成的包絡(luò)線可視為無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)的FRF包絡(luò)線的準(zhǔn)確值。從圖7和圖9可以看出，UDS和LSSVRS兩種算法得到的不確定結(jié)構(gòu)FRF包絡(luò)線都包含在FRF包絡(luò)線精確范圍以內(nèi)，且隨著樣本點(diǎn)數(shù)量的增加，兩種方法的結(jié)果都向FRF包絡(luò)線準(zhǔn)確值靠近；同時(shí)在計(jì)算FRF包絡(luò)線時(shí)，在樣本點(diǎn)相同的前提下，LSSVRS算法的精度明顯較高，且以用100個(gè)樣本對(duì)9根桿的桁架進(jìn)行FRF計(jì)算為例，UDS算法用時(shí)14 min 32 s，而同一臺(tái)計(jì)算機(jī)，同樣的運(yùn)算參數(shù)設(shè)置下，200 000次模擬的LSSVRS算法用時(shí)1 min 56 s，且LSSVRS算法結(jié)果精度得到了較大提升。這是因?yàn)長(zhǎng)SSVRS算法避開(kāi)了耗時(shí)的頻率響應(yīng)分析過(guò)程，且用代理模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的耗時(shí)非常短的緣故。

“4.1”的算例 有4個(gè)有界不確定變量，“4.2”的算例有9個(gè)有界不確定變量，說(shuō)明兩種算法不僅能夠用于變量數(shù)較少的不確定結(jié)構(gòu)，也能適用于變量數(shù)較多的不確定結(jié)構(gòu)。且兩個(gè)算例中，當(dāng)變量取10個(gè)樣本點(diǎn)時(shí)，LSSVRS算法結(jié)果的誤差就比較小，說(shuō)明LSSVRS算法在小樣本條件下也有較好的性能。

5 結(jié) 論

文章將有界不確定結(jié)構(gòu)中的參數(shù)變量簡(jiǎn)化為區(qū)間變量，對(duì)變量進(jìn)行區(qū)間范圍內(nèi)的改進(jìn)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣，然后在確定結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析的有限元法和模態(tài)疊加理論基礎(chǔ)上，提出了區(qū)間頻率分析和FRF包絡(luò)線模擬的UDS算法以及LSSVRS算法。通過(guò)兩個(gè)算例的驗(yàn)證計(jì)算發(fā)現(xiàn)：

(b)40個(gè)樣本點(diǎn)

(c)100個(gè)樣本點(diǎn)圖9 12梁空間剛架結(jié)構(gòu)Fig.9 12 beams space frame structure

(1)LSSVRS算法在對(duì)有界不確定結(jié)構(gòu)做區(qū)間頻率分析時(shí)，和UDS方法有相近的計(jì)算速率，這是因?yàn)樵跇颖军c(diǎn)相同的情況下兩種算法需要進(jìn)行的有限元分析次數(shù)是相等的，但LSSVRS算法計(jì)算的精度比UDS算法高；在做FRF包絡(luò)線計(jì)算時(shí)，LSSVRS算法的計(jì)算速率比UDS方法高很多，且精度也比UDS算法高。

(2)兩種算法都有較好的小樣本性能，但LSSVRS算法的計(jì)算效率、計(jì)算精度更高。

(3)兩種算法的結(jié)果都在區(qū)間頻率精確解以及FRF包絡(luò)線準(zhǔn)確值的內(nèi)部，也就是兩種算法的結(jié)果是從區(qū)間和包絡(luò)線準(zhǔn)確值的內(nèi)部向準(zhǔn)確值進(jìn)行逼近的，說(shuō)明算法不存在區(qū)間擴(kuò)張的問(wèn)題。

(4)兩種算法同時(shí)適用于變量較多和變量較少的有界不確定結(jié)構(gòu)。

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Dynamic characteristics analysis method for uncertain-but-bounded structures based on least squares SVM regression

MO Yanyu1, GUO Shuxiang2, TANG Cheng2

(1. Aeronautic and Astronautic Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an 710038, China;2. Science College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

Dynamic properties analysis for uncertain-but-bounded structures was studied. To reach this goal, uncertain-but-bounded parameters were taken as interval variables, but the distributions of the variables were unknown, and then an interval model was built for each uncertain variable. After an improved uniform design sampling for each interval variable, a dynamic analysis simulation method for uncertain structures was proposed based on the deterministic structure’s dynamic properties analysis with the finite element method and the modal superposition theory. Considering the poor efficiency of the proposed method, an improved method was presented. The improved method was based on the least squares support vector machine (SVM) regression in the premise of unchanged number of sampling points, a surrogate model of SVM regression was introduced. The dynamic characteristics of uncertain structures were simulated and analyzed with this surrogate model trained. Finally, two different numerical examples demonstrated the validity of the proposed approach.

uniform design; interval model; frequency analysis; frequency response analysis; support vector machine (SVM) regression

國(guó)家自然科學(xué)基金(51175510)

2016-04-21 修改稿收到日期： 2016-09-02

莫延彧 男，博士生，1984年生

郭書(shū)祥 男，博士生導(dǎo)師，1964年生

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.030