巧用反例妙處多
——淺析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的運用

巧用反例妙處多
——淺析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的運用

■姚 軍

為了提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，培養(yǎng)初中學(xué)生的抽象邏輯思維，教師可充分利用反例教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從反例求解，幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解。

初中數(shù)學(xué)反例邏輯思維

數(shù)學(xué)問題中的反例，通常指一些雖然符合原命題條件，但不符合原命題結(jié)論的命題。反例與證明推動了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，反例具有的簡潔直觀、說服力強等特點，決定了其在數(shù)學(xué)教學(xué)中無法替代的作用。在數(shù)學(xué)課堂上，恰當(dāng)運用反例，可引導(dǎo)學(xué)生從反面來思考問題，由此幫助學(xué)生提升邏輯思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、用反例深化知識理解

在初中數(shù)學(xué)課堂上，經(jīng)常會產(chǎn)生一些較為抽象的理論知識，在講解知識的過程中，假如只從正面來論述，初中生經(jīng)常會覺得無法理解，或者出現(xiàn)模糊不清等現(xiàn)象，此時配合一些反例，就可達到良好的效果。在日常學(xué)習(xí)中，概念與公式屬于理論知識的基礎(chǔ)，學(xué)生很容易混淆。針對此種情況，教師就需要對一些容易混淆的概念，構(gòu)建反例，從反面消除學(xué)生的模糊認識，由此幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。但引入反例時，教師需要考慮到學(xué)生的年齡特點與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，同時注意反例的合理性。

案例1在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“無理數(shù)與有理數(shù)”的概念時，教師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生展開討論：“兩個無理數(shù)的和（差）必然是無理數(shù)么？”有些學(xué)生回答是，有些學(xué)生回答不是。此時教師可引導(dǎo)學(xué)生思考并舉出反例來說明，最終總結(jié)出一個反例：互為相反數(shù)的兩個無理數(shù)的和（差）為有理數(shù)。在這個問題的基礎(chǔ)上，教師可繼續(xù)提問：“兩個有理數(shù)的和（差）是否一定是有理數(shù)？兩個無理數(shù)的積是不是一定是無理數(shù)？”通過對這些問題進行深入探究，可以幫助學(xué)生正確理解無理數(shù)以及有理數(shù)的概念，同時還可幫助學(xué)生理清無理數(shù)與有理數(shù)間的關(guān)系。

案例2在學(xué)習(xí)“三角形全等判定方法”時，有很多學(xué)生對條件中的夾角理解不透徹，如果將夾角改為一邊的對角，兩個三角形是不是全等？為了幫助學(xué)生深入思考，教師可構(gòu)造如下反例：

在△ABC中，點D是BC上的一點，已知AD= AC，在△ABD與△ABC中，AB=AB，AD=AC，∠ABD=∠ABC，滿足兩個三角形的兩邊與一邊的對角相等，但這兩個三角形并不是全等。通過這一反例，學(xué)生就可深入體會夾角的必要性，避免產(chǎn)生慣性錯誤。

二、用反例培養(yǎng)邏輯思維

在初中數(shù)學(xué)課堂上，假如教師能夠恰當(dāng)運用反例，就能順利突出教學(xué)重點，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。對于反例教學(xué)，關(guān)鍵要重視引入反例的合理性，初中生并未形成完整的知識結(jié)構(gòu)，思維還有一定的局限性，因此，想要引入反例，就必須要考慮到反例的可行性。此外，在教學(xué)過程中，反例的構(gòu)建也非常關(guān)鍵，這需要將整個思維過程展示出來。反例與推理過程的結(jié)合，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與縝密思維。構(gòu)建反例的方法非常多，比如想象、推理等。

案例3在講解判斷題“對于自然數(shù)，n2-3n+7都是質(zhì)數(shù)”時，教師在課堂上可引導(dǎo)學(xué)生舉出反例，學(xué)生最容易聯(lián)想到的就是代入特殊的數(shù)值來演算，如從0開始代入演算，當(dāng)學(xué)生演算到6時，就會發(fā)現(xiàn)n2-3n+7不是質(zhì)數(shù)。在此基礎(chǔ)上，教師可再次提出命題：“對于自然數(shù)，n2-n+11都為質(zhì)數(shù)?！币龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，但一般還未驗證到10，就會有學(xué)生認為結(jié)論正確，此時就會出現(xiàn)思維漏洞，不難發(fā)現(xiàn)，n=11時，這個命題不成立，n2-n+11不是質(zhì)數(shù)。

在課堂上，引入反例，能夠使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身的錯誤，及時改正，同時還可補充數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生學(xué)會從不同的角度去思考問題。對于教師來說，則可通過反例總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，及時調(diào)整教學(xué)策略，由此提高教學(xué)效果。

三、構(gòu)建反例，揭露錯誤

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)造反例在辨析錯解方面具有直觀、說服力強等特點，因此在列舉反例、揭露錯誤時就能夠使學(xué)生產(chǎn)生深刻的印象。

案例4例如在講解“求關(guān)于x的方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的兩個實根的平方和的最大值”時，假設(shè)原方程有兩實根x1，x2，由韋達定理可得：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+ 5）=-（k+5）2+19，當(dāng)k=-5時，兩根平方和有最大值為19。乍一看，運算好像沒有錯誤，而且韋達定律運用得很正確。但實際上，這并沒有考慮到韋達定律運用的重要前提是方程有實數(shù)根。此時，教師就可引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例：當(dāng)k=-5時，△=-11＜0，原方程無根。

通過反例，證明原解法是不正確的，造成失誤的關(guān)鍵原因是忽略了兩根必須是實根的條件。正確的解法是，解得時，原方程存在實根。由x12+x22=-（k+5）2+19，可知當(dāng)k≤-4時，兩實根平方和有最大值18。通過這一反例，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了解題錯誤之處，也加深了對韋達定理的認識。

四、用反例培養(yǎng)逆向思維

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，假如學(xué)生總是采用固定的思維模式來思考問題，就會限制學(xué)生的思維，影響解題效率。當(dāng)學(xué)生遇到一些較為復(fù)雜的問題時，從正面角度思考問題，較難解決，但假如運用逆向思維的形式就能夠迎刃而解，最便捷的方法就是構(gòu)造反例。

案例5在數(shù)學(xué)課堂中，命題判斷證明是較為常見的一類題目，也是學(xué)生很容易出錯的題目。有時候?qū)W生會按照常規(guī)的思維邏輯來推理，解題的過程會更加復(fù)雜，很容易影響學(xué)生的判斷能力。例如“如果2x+y=0，則x=y=0”，從常規(guī)的思維邏輯入手，判斷這一命題為假命題，過程如下：當(dāng)x=-1，y=2，滿足2x+y=2×（-1）+2=0，但x≠0，y≠0，因此這一命題是假命題。在教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過列舉反例來推翻這一命題，此時僅需找到x≠0或y≠0的情況，且滿足2x+ y=0的條件，如此便可證明命題是假命題。這一題目假如按照常規(guī)的邏輯思維來判斷，很難找到突破點，且證明的過程也非常復(fù)雜。但借助反例來判斷，從逆向思維角度來分析，就能夠輕松得出證明結(jié)果，如此便可提高解題效率。

綜上所述，在數(shù)學(xué)課堂上引入反例，可加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念以及基礎(chǔ)知識的理解，發(fā)現(xiàn)并糾正學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯誤，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性，引導(dǎo)學(xué)生從反面去思考問題，逐步完善知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)效果。

（作者為江蘇省高郵市甘垛鎮(zhèn)澄陽初級中學(xué)教師）