中考中的等腰三角形問題

余旭紅

中考中的等腰三角形問題

余旭紅

近年來，有關(guān)等腰三角形的試題經(jīng)常出現(xiàn)在中考中，并且形式多樣，內(nèi)容新穎.其重要考點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)與判定，下面就重要考點(diǎn)舉幾個例子加以說明，與同學(xué)們交流分享.

一、畫圖探究等腰三角形的個數(shù)

例1（2016·武漢）平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2）、B（4，0）.若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）.

A.5B.6 C.7D.8

【解析】①分別以A，B為圓心，以AB的長為半徑作圓；

圖1

如圖1，一共有5個C點(diǎn)，注意，與B重合及與AB共線的點(diǎn)要排除.故選A.

【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的判定和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，是中考一類比較常見的題型.本題通過畫等腰三角形引領(lǐng)同學(xué)們動手，動腦，滲透分類討論思想，能夠培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散性思維能力.

二、裁剪思考等腰三角形的個數(shù)

例2（2015·通遼）如圖2，在一張長為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點(diǎn)與矩形的一個頂點(diǎn)重合，其余的兩個頂點(diǎn)在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為.

圖2

【解析】分三種情況計算：

（1）當(dāng)AE=AF=4時，如圖3：

圖3

（2）當(dāng)AE=EF=4時，如圖4：

圖4

則BE=5-4=1，

（3）當(dāng)AE=EF=4時，如圖5：

由圖1可知，酶解pH在4.0～5.5時，隨著提取液pH的升高，龍牙楤木皂苷得率不斷提高，在酶解pH 5.5時達(dá)到最大值，為3.89%。當(dāng)酶解pH超過5.5，皂苷提取得率急劇下降，在酶解pH 6.5時皂苷得率下降22.37%，這可能是因?yàn)槊附鈖H不適宜既破壞酶的構(gòu)想，也影響底物、輔酶及酶活性部位相關(guān)基因的解離程度，從而影響酶分子對底物分子的結(jié)合和催化，因此只有特定的pH值條件下，解離狀態(tài)最適宜酶、底物和輔酶的相互結(jié)合，從而使酶反應(yīng)速度達(dá)到最大值[17]。

圖5

則DE=7-4=3，

故答案為：8cm2或215cm2或27cm2.

【點(diǎn)評】本題主要通過裁剪讓同學(xué)們體會等腰三角形的腰長的不確定性，同學(xué)們要進(jìn)行分類討論.本題還考查了矩形的角是直角的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，有一定的難度.

三、推理計算等腰三角形的個數(shù)

例3（2015·河北）如圖6，∠BOC=9°，點(diǎn)A在OB上，且OA=1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第3條線段A2A3；…這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=.

圖6

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)依次可得∠A1AB的度數(shù)，∠A2A1C的度數(shù)，∠A3A2B的度數(shù)，∠A4A3C的度數(shù)，……，依此得到規(guī)律，再根據(jù)三角形外角小于90°即可求解.

由題意可知：AO=A1A，

解得n＜10.故答案為：9.

【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等；三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.考查方式靈活，需要同學(xué)們有一定的分析能力和解題遷移能力，這是近幾年中考的方向.

四、分類討論等腰三角形的周長

例4（2016·荊門）已知3是關(guān)于x的方程x2-（m+1）x+2m=0的一個實(shí)數(shù)根，并且這個方程的兩個實(shí)數(shù)根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為（）.

A.7B.10C.11D.10或11

【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m= 0，解得m=6，則原方程為x2-7x+12=0，解得x1= 3，x2=4.

因?yàn)檫@個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長：

①當(dāng)△ABC的腰為4，底邊為3時，則△ABC的周長為4+4+3=11；

②當(dāng)△ABC的腰為3，底邊為4時，則△ABC的周長為3+3+4=10.

綜上所述，該△ABC的周長為10或11.故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系通過分類討論先判斷出三角形的兩條腰的長度，再根據(jù)三角形的周長的計算方法，列式解答即可.

五、推理證明等腰三角形的存在

例5（2015·宜昌）如圖7，一塊板料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)G，H；再分別以點(diǎn)G，H為圓心，大于GH的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點(diǎn)O，畫射線BO，交AD于點(diǎn)E.

（1）求證：AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度數(shù).

圖7

【解析】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC.由BE是∠ABC的角平分線，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，即AB=AE.

（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠ABE=∠AEB=40°.由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定，利用了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，是比較常見的幾何問題.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)錢清鎮(zhèn)中學(xué)）