手腦并用“話”路徑

周豪敏

[摘 要] 探索動點路徑的形狀和計算路徑的長是學生解決的難點，要求學生具有較高的空間想象能力和分析問題的能力. 本文旨在通過學生自主的“手腦”活動，初步探究解決動點路徑問題的基本方法.

[關鍵詞] 動點；路徑；解析法；數(shù)學活動經(jīng)驗

本題的難點為確定動點的路徑及計算長度，要求學生具有較高的空間想象能力和分析問題的能力. 教師單純地講授與學生模仿很難讓學生形成真正有效的基本活動經(jīng)驗，對學生上述兩種能力很難起到鍛煉作用，他們面對同類問題也就不會有好的解決方案. 基于以上考慮，筆者以動點路徑為專題，通過學生的自主活動，從中獲得相應的數(shù)學經(jīng)驗，以提高學生的動手能力和思維能力.

引入情景

試題引入 如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，動點E沿線段AB由點A運動至點B，動點F沿線段BC由點B運動至點C. 已知點P為線段EF的中點，點E，F(xiàn)在運動的過程中始終保持EF=4，則點P運動的路徑長=______.

小結(jié) （1）本題從學生熟悉的圖形切入，經(jīng)歷學生動手作圖、大膽猜想、嚴謹求證的過程，讓學生體驗尋找動點路徑的過程及思考如何證明.

（2）由于學生普遍存在缺乏對特殊位置的關注，往往只選取一個或幾個一般位置，使得作圖繁雜不易于觀察、猜想，所以筆者在問題中適當放入提醒與引導. 學生則在同一個圖形中畫出了多個不同位置的圖形.

（3）通過畫圖與觀察得到的結(jié)論是基于猜想的，這種猜想只有通過演繹推理才能讓人信服.

變式1 如圖3，已知正方形ABCD的邊長為4，動點E沿線段AB由點A運動至點B，動點F沿線段BC由點B運動至點C，它們同時運動，且運動的速度相同，點P為線段EF的中點，求點P運動的路徑的長.

小結(jié) （1）在試題引入的經(jīng)驗基礎上，筆者趁熱打鐵，通過改變條件，讓學生自主探索，經(jīng)歷一次路徑形狀和計算的過程. 一方面鞏固探究的方法，另一方面也給學生呈現(xiàn)一種不同的路徑形狀，激發(fā)學生的學習熱情.

（2）通過建立合適的平面直角坐標系，借助一次函數(shù)知識，利用解析法巧妙地證明三點共線問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，開闊了學生的視野.

（3）適時總結(jié)有助于學生鞏固已有的活動經(jīng)驗.

變式2 在變式1的條件下，如圖4，連接AF，ED交于點Q，求點E，F(xiàn)在運動過程中點Q運動的路徑長.

生：運動過程中始終有∠AQD=90°，所以我認為點Q的運動路徑為圓弧，圓心為AD的中點，半徑為2，路徑長為π.

變式3 如圖5，等邊三角形ABC的邊長為4，在AB，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，連接AF，CE交于點P，若AE=BF，當點E從點A運動到點B時，點P經(jīng)過的路徑是什么形狀？

生：同變式2，有△ABF≌△CAE. 在運動的過程中始終有∠APC=120°，所以我認為此時AC不是直徑而是一條弦，圓心在三角形外面，點P經(jīng)過的路徑是一條弧線，是以AC為弦，∠APC=120°的圓中的弧AC.

師：若AE=CF，當點E從點A運動到點B時，點P經(jīng)過的路徑是什么形狀？

生：因為AE=CF，所以易得△AEC≌△CFA，所以點P始終在AC邊的高上.

小結(jié) （1）經(jīng)歷試題引入及變式1，學生已有部分經(jīng)驗和積累，能對條件進行分析，從而給出相應的猜想和證明. 在變式2的探究過程中，有一部分學生通過分析獲得結(jié)論，說明空間想象能力和分析問題的能力有一定的提升.

（2）變式2、變式3中條件的改變獲得不同的路徑形狀，能讓學生體驗到數(shù)學的變化和魅力.

解決問題，鞏固升華

下面我們解決開篇所提的問題（圖1）.

師：課后小作業(yè)為思考本題是否可用解析法證明三點共線.

課后思考及延伸

思路 運用解析法：點在直線上，則點的坐標滿足所在直線的函數(shù)解析式.

常規(guī)想法 求出直線B0Bn的函數(shù)解析式，繼而求得交點坐標B，將點B的坐標代入直線B0Bn的函數(shù)解析式的兩邊，驗證相等.

困惑 運算量大.

調(diào)整后的想法一 如圖7，利用△ADP∽△BEA，可獲得點B的坐標，觀察橫坐標和縱坐標之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)點B的縱坐標減去橫坐標為一定值，即yB-xB為定值，繼而可獲得點B在直線上運動的結(jié)論.

回顧和總結(jié)

教師需要認識到學生在掌握“雙基”的同時，還要增強數(shù)學基本活動經(jīng)驗. 比如動手作圖、大膽猜想、嚴謹求證. 教師在平時的數(shù)學教學過程中，要有意識地通過一類數(shù)學問題及其變式，加強學生的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，提高其分析問題和解決問題的能力.

必要的反思有助于增強學生的數(shù)學活動經(jīng)驗. 作為教師，應在實際教學過程中讓學生多經(jīng)歷相應的反思活動. 例如對活動過程的反思；對某一解法的總結(jié)和比較；課后的思考和延伸.

教師要善于利用基本圖形，能進行適當變式. 學生面對教師的一講到底，被動地接受，做大量的類似題，效率往往大打折扣. 如能經(jīng)常進行變式和拓展，就能調(diào)動學生學習的積極性、探索的自主性，從而提高上課效率. 正是老教師所說：做題不在于多，而在于精！