改變條件，互換結論，拓展應用

胡素芬

[摘 要] 變式教學能夠多角度、多方位地發(fā)展學生的數學思維，對于某些知識點衍生的填空題或選擇題的講評過程，不能唯分數論、唯答案正確論，而應該追本溯源，條理清晰地進行基于四種基本策略的題組型變式.

[關鍵詞] 條件變式；結論變式；鎖鏈變式；轉化

筆者所在學校建校時間不長，但是歷年中考的數學成績不弱. 究其原因，是數學復習課認真?zhèn)湔n，每次周測卷堅持自編試卷. 為了不讓學生在“題?！敝衅幢M全力卻毫無方向，數學教師堅持自己縱身跳進“題海”，奮力選擇有價值的數學問題，或將其連題成組，或將其匯總成卷，讓學生接觸到的題目至少經過兩遍以上的篩選.

最近一個階段是在各種函數的梳理和復習的基礎上復習相似三角形，于是在上周的周測卷中，筆者將2015年濱州中考的第12題放在了選擇題第3題. 閱卷過程中筆者發(fā)現，年級213人參加考試，選對此題者共189人，有24人出錯. 看上去這個問題初三年級學生基本過關，可是在隨后的問卷調查中發(fā)現，其中156人是猜對的，另外33人中也基本上是通過畫圖猜測或代入點的具體坐標猜測的，能夠通過嚴格推理證明得到正確答案的學生簡直鳳毛麟角. 于是產生了這次試卷講評的第一份教案：分析解題的各種方法，并輔以幾道類似的習題加以鞏固.

教案一

在準備這道題目的試卷講評課過程中，筆者發(fā)現類似的習題較多，所以這一串題目由于題量大、題數多，顯得雜亂無章，甚至給人一種顛三倒四、略顯混亂的感覺，很容易讓學生在聯系的過程中迷失研究方向，從而忽視最核心、最本質的數學事實. 怎么辦呢？

冷靜思考，常見的變式訓練有四種基本策略，即條件變式（強化或弱化條件，改變條件）；結論變式（目標變式，將結論進行變化）；對稱變式（條件和結論進行互換）；鎖鏈變式（利用前面一問的條件進行后面疑問的推導和應用）. 而第一稿的教案中一組變式有那么多題目，究竟應該如何安排才能使這節(jié)習題講評課的結構更加有條理，更加有效地促進學生數學思維的提高和發(fā)展呢？

再次仔細審查一遍原題的兩類比較典型的多種解法發(fā)現：在添加雙高構造一直線上三個等角之后大致分為兩大類：一是用假設點的坐標進行代數計算（求這個角的正切值），二是利用相似三角形面積比的性質和反比例函數系數的幾何意義來計算. 所以這節(jié)講評課的第一個關鍵點是讓學生一題多解，激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，再根據從具體數值到用字母表示，體會從特殊到一般的過程，自主探索得到結論；第二個關鍵點是正向和逆向使用這個公式，即進行對稱式變式；第三個關鍵點是利用這個公式或者推導公式的過程去解決其他問題，也就是鎖鏈變式. 根據這三個關鍵點，分別設置不同的題組，在每組變式題組的設置過程中都進行變式訓練.

經過再三思考和反復琢磨，第二稿教案產生.

教案二

第一組變式的目的是從不同數字到字母，引導學生在解題過程中逐漸感悟出結論，并且充分體會從特殊到一般的規(guī)律，能夠用字母表示數，引導學生在動點變化的題目中尋找不變的元素.

探究條件變化后結論是否成立，是基于對問題核心的探索. 在證明或計算過程中，把握問題的本質很重要. 縱觀各地各類型的考試卷，發(fā)現命題者經常通過更改題目的載體，強化或者弱化題目的條件等手段，改變題目的呈現形式，迷惑學生，其目的在于檢查學生是否真的了解知識的實質，是否真的掌握這一類問題的解題策略和通法通則，考查了學生的思維能力、分析問題和解決問題的能力. 因此，教師在日常教學中應通過分析問題，引導學生理解題目，把握基礎圖形、核心問題和本質內容，逐漸學會用數學思想分析客觀世界，用數學方法解決各種問題.

2. 第二組變式

第二組變式屬于對稱性變式，是在相同背景下，從正、反兩個不同的角度思考可以由條件得到的結論，也可以由原結論得到原條件. 其目的在于訓練學生的雙向思維，引導學生逐步體會根據第一組變式得出的結論不僅可以已知兩個反比例函數系數求出兩個銳角的三角函數，還可以逆向使用公式，即已知一個反比例函數系數和一個銳角的三角函數求解另一個反比例函數系數. 堅持對于定理和公式進行逆向使用的訓練，有利于培養(yǎng)學生數學思維的完備性.

3. 第三組變式

第三組變式屬于鎖鏈式變式，經歷了“條件變化”“互換結論”的探究后，學生對于題目最內在、最本質的內容有了深刻的認識和理解，不會再被題目的形式所干擾. 新課標實施以來，常見考題立足于對學生應用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，從具體情境中抽象出數學模型，也是對數學題賦予了應用價值. 但是，數學應用除了容易想到生活、生產實際中的應用，更為隱性、有層次感的應用是數學在數學領域內的應用，即把探究出來的結論應用于其他的數學情境之中，以各種數學背景加以體現，培養(yǎng)學生靈活運用定理和公式的能力. 在前兩組變式的基礎上，第三組變式題組進行了拓展應用，目的在于利用已經得到的結論或者探索結論類似的方法進一步研究和解決點的坐標或者線段長度之間的數量關系等問題，將這道簡單的選擇題作進一步拓展和延伸.

4. 第四組變式

第四組變式屬于加強版的鎖鏈式變式，除了強調唯一的公共點這一特殊要求，初步滲透分類討論思想外，還與第三組變式一起再次欣賞對于原題的看似復雜的代數解法，并且在代數計算的過程中進一步體會通法通則和數學的理性精神.

第二次上課后筆者再次反思，看似完整的課堂總覺得少了些什么. 合上筆記本繼續(xù)思考，從解題層面來看，似乎已基本完成教學任務，但是還有沒有改進的空間呢？冥思苦想之后發(fā)現，從圖形運動的角度在第二組變式中應該利用幾何畫板制作一個動點軌跡的小課件，即，在已知一個反比例函數和一個銳角三角函數不變的情況下，探索另一個象限中符合條件的點的軌跡，經過代數計算后再進行圖形驗證. 這樣應該能夠更好地體現數形結合思想，對于這類題目的解答和思考也應該會更加完整、有效. 另外，還有一種變式的類型沒有考慮：是否能夠將結論發(fā)散出去，進行進一步挖掘呢？這些都有待進一步研究和打磨.

回顧“出卷—閱卷—備課—修正—上課—反思”的整個流程不難發(fā)現，在這節(jié)試卷講評課中，變式的要領是“改變條件，拓展結論和綜合運用”. 讓思維變得深刻，變式教學是有效的教學方法之一. 而本課的第二次設計將變式題目進行分組，突出了“改變條件，互換結論和拓展運用”是非常有效的變式手段. 通過“改變條件”，可以使學生切實感受到在題目的主干部分出示條件，哪一些條件對結論會造成直接影響，造成了什么影響，怎樣造成影響；通過“互換結論”，充分挖掘這類題目的價值，以對學生周密、完備的數學思維起到鍛煉作用；而“拓展應用”則體現了這類題目在數學方面的應用價值.

變式的核心就是模型思想. 將所學的內容整理、歸納出類型和方法，并把類型和方法作為整體積累，經過加工提煉，得出有長久保存價值或典型的結構與重要類型——數學模型，將其有意識地記憶下來，逐漸形成模型解題策略，增強模型解題意識. 從思維角度看，利用數學模型解題體現了定式思維的正遷移積極作用，是將“未知題目”轉化成“已知類型”，將“陌生圖形”轉化為“基礎圖形”，將“非常規(guī)條件”轉化為“標準題型”的劃歸過程. 通過模型思想的學習，可以達到“知一題，會一類、懂一片”的學習目的，不僅深刻理解了這一類問題所需的知識，在變式聯系的過程中，還不斷地主動思考、分析、歸類，從而真正起到增效減負的作用，將“苦做”變成“樂學”，讓學生在課堂內外不斷享受數學思維帶來的喜悅和樂趣.

教書之道在度，學習之道在悟. 想讓學生更好地領悟真實的數學，就不能夠簡簡單單地忽略數學概念，分散數學知識，割離數學題目. 教書之道如何把握這個“度”呢？筆者認為無非是重視備課這一教學環(huán)節(jié). 不僅概念課要注重精心設計，習題課、復習課和講評課都要反復思量并認真準備，備好課之后不僅需要再三思量，更加需要不斷磨課. 在進行備課、反復磨課的過程中，不斷斟酌和思考怎樣設計才能更加有利于發(fā)展學生的數學思維，怎樣做才能起到事半功倍的教學效果，怎樣研究才能讓我們的數學課堂充滿活力. 根據常見的變式的四個原則，對于典型題目不斷地改變條件，互換結論，拓展應用，并不斷地鉆研和探究. 只有教師“度”得巧妙，學生才能“悟”得透徹；只有教師“度”得合理，學生才能“悟”得順利；只有教師“度”得靈活，學生才能“悟”得長久！