基于二階矢量位的線圈橫向移動三維渦流理論建模

姜盈盈,姚麗芳,朱學(xué)平,陳 宇,朱毅晨,呂春峰

(1.上海市計量測試技術(shù)研究院,上海 201203;2.上海海洋大學(xué)工程學(xué)院,上海 201306)

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基于二階矢量位的線圈橫向移動三維渦流理論建模

姜盈盈1*,姚麗芳1,朱學(xué)平1,陳 宇1,朱毅晨1,呂春峰2

(1.上海市計量測試技術(shù)研究院,上海 201203;2.上海海洋大學(xué)工程學(xué)院,上海 201306)

針對電渦流傳感器探頭線圈相對導(dǎo)體橫向移動時阻抗變化的渦流問題,以二階矢量位電磁理論為基礎(chǔ),在直角坐標系下,推導(dǎo)出線圈相對導(dǎo)體橫向移動時的阻抗及阻抗變化量公式,建立其電磁場三維渦流理論模型,且通過試驗驗證了模型的正確性。使用Mathematice軟件建立模型計算分析線圈幾何尺寸(內(nèi)徑、厚度、線寬、線間距)對傳感器靈敏度的影響,為合理選擇線圈參數(shù)和優(yōu)化傳感器性能提供參考。

電渦流傳感器;線圈渦流分析;二階矢量位;幾何參數(shù)

電渦流傳感器是20世紀70年代興起的一種以電渦流效應(yīng)為原理的無損、非接觸位移、振動檢測裝置,具有靈敏度高、抗干擾能力強、不受介質(zhì)影響、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點,是大型旋轉(zhuǎn)機械故障診斷與狀態(tài)檢測的標準配置傳感器。它由探頭(傳感頭)、變換器(前置器)和連接電纜組成。在交變電流激勵下,利用探頭線圈和被測體間的磁場能量耦合實現(xiàn)對被測量的檢測。對于以位移為檢測量的傳感器,希望有較大的線性范圍和較高的靈敏度。電渦流傳感器的靈敏度和線性范圍主要受線圈磁場分布影響[1],而線圈磁場分布又受其形狀和幾何參數(shù)直接影響[1-3],因此研究線圈形狀及其幾何參數(shù)對傳感器性能的影響具有現(xiàn)實意義。國內(nèi)外學(xué)者在這方面也做了大量研究:文獻[4]考察了圓形線圈、矩形線圈以及三角形線圈的厚度、外徑對線圈磁場分布的影響;文獻[5]針對含鐵氧體磁芯的電渦流傳感器考察了鐵氧體直徑、磁導(dǎo)率、線圈內(nèi)外徑比、線圈匝數(shù)、提離高度、線徑及磁芯高出線圈的高度對傳感器靈敏度的影響;文獻[6]考察了渦流滲透深度與被測體電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率、檢測頻率、線圈形狀及激勵磁場間的關(guān)系。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上,針對線圈對導(dǎo)體橫向移動的電磁渦流問題進行研究,借助于二階矢量位電磁場理論建立線圈相對導(dǎo)體橫向移動的電磁渦流理論模型,并推導(dǎo)出線圈阻抗求解公式,繼而線圈幾何尺寸對傳感器靈敏度的影響。

1 二階矢量位電磁場理論

B=×A

(1)

由比奧-沙伐(Biot-Savart)定律可知,磁場中任意一點的磁感應(yīng)強度為:

(2)

式中:Idl為電流回路C的線電流元,R為該線電流元至場點的距離。

根據(jù)亥姆霍茲(Helmholtz)定理[7-8]可知,要唯一地確定一個矢量場函數(shù),不僅要確定其旋度,而且還需要給定其散度。本論文中,選定·A=0,稱之為庫侖規(guī)范(Coulomb’sgauge),并結(jié)合式(1)和式(2),于是可以得到矢量磁位A的表達式為:

(3)

××A=μJ

(4)

2A=-μJ

(5)

在自由電流密度J=0區(qū)域,方程(5)變成:

2A=0

(6)

即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在忽略位移電流的條件下,關(guān)于矢量磁位的泊松方程(5)可以寫成:

2A=jωμσA

(7)

式中:ω=2πf為角頻率,f為線圈激勵頻率。令k2=-jωμσ為電磁場中介質(zhì)的傳播常數(shù),則方程可以用亥姆霍茲方程的形式寫出:

2A+k2A=0

(8)

使用矢量磁位時,必須保證選取的坐標系得到3個形式相同的分量,即其只能在直角坐標系中使用,不能用于柱坐標系或者球坐標系中。為了解決這個問題,對矢量磁位A進一步分解,引入二階矢量位[9],矢量磁位的零散度表達式:

A=×W

(9)

式中:W為二階矢量位,可以由兩個標勢函數(shù)求導(dǎo)得到。

在電磁場研究中,為了滿足邊界條件,簡單的方法是把W分解為兩個相互垂直的分量,每個分量由一個標勢函數(shù)導(dǎo)出,即:

W=uWa+u×Wb

(10)

式中:u為坐標系中的任意坐標軸方向單位矢量,Wa與Wb是矢量W的兩個標勢函數(shù)。通過式(10)分解后Wa與Wb滿足拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程:

2Wa,b+k2Wa,b=0

(11)

二階矢量位可運用于三維電磁場的渦流分析[10-11]中,用該方法可以推導(dǎo)出線圈阻抗以及被測導(dǎo)體表面渦流分布的解析表達式。

2 基于二階矢量位的三維渦流問題理論建模

2.1 直角坐標系下二階矢量位及其場量表達式

渦流柵位移傳感器單線圈通用模型可用圖1來表示,在直角坐標系下對傳感器進行理論建模。在圖中檢測線圈位于各項同性的銅質(zhì)無限大導(dǎo)體正上方,坐標軸z與線圈軸線重合。線圈通入正弦交流電流激勵,其表示形式Iejωt(ω=2πf,f為電流激勵頻率)。無限大導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為μr,電導(dǎo)率為σ。

圖1 渦流柵位移傳感器單線圈通用模型

以z=0平面為分界面,將整個空間區(qū)域分成兩個區(qū)域:①區(qū)域1:線圈與空氣組成的無限大空間;②區(qū)域2:無限大導(dǎo)體空間。

在直角坐標系中,選取z坐標軸方向的單位矢量ez來對二階矢量位函數(shù)進行分解,其表達式為

W=ezWa+ezWb

(12)

式中:Wa與Wb分別為橫電(TE)標勢函數(shù)與橫磁(TM)標勢函數(shù)。可以利用表達式(12)中兩個標勢函數(shù)Wa與Wb通過關(guān)系式A=×W與B=××W將矢量磁位A與磁感應(yīng)強度B在直角坐標系下的各個分量表示出來:

(13)

(14)

式中:k2=jωμ0μrσ為介質(zhì)傳播常數(shù)。由表達式(14)可以看出,在非導(dǎo)體區(qū)域中磁感應(yīng)強度B僅與一個標勢函數(shù)Wa有關(guān),因此可用該函數(shù)的梯度將其表示出來:

B=

(15)

2.2 電磁場方程建立及其通解

橫電和橫磁兩個標勢函數(shù)Wa與Wb在空氣區(qū)域或?qū)w區(qū)域滿足拉普拉斯方程或者亥姆霍茲方程:

(16)

根據(jù)分離變量法可知拉普拉斯方程通解為:

X(x,y)=[A1sin(kxx)+

A2cos(kxx)][B1sin(kyy)+B2cos(kyy)]

(17)

和

Z(z)=C1ekzz+C2e-kzz

(18)

由圖1可知,自然邊界條件為:

(19)

式中:x=hx為x軸正方向邊界,y=hy為y軸正方向邊界,hx和hy取線圈外半徑的20倍以上。

[C(s)(umn,vmn)eγmnz+D(ec)(umn,vmn)e-γmnz]

(20)

(21)

(22)

由于區(qū)域2中z軸負半軸趨于負無窮大,所以表達式和可以改寫為:

(23)

(24)

式(20)、式(23)和式(24)是標勢函數(shù)在不同區(qū)域的通解表達式。

2.3 邊界條件下的通解未知系數(shù)求解

(25)

(26)

(27)

將式(20)、式(23)和式(24)代入至上述3個等式中可以得到如下方程組:

(28)

由上節(jié)的分析可知,只要確定了激勵源系數(shù)C(s)(umn,vmn),通過求解該方程組就可以通過該激勵源系數(shù)將其余3個未知系數(shù)線性地表示出來:

(29)

(30)

(31)

將上述系數(shù)表達式代入式(20)、式(23)和式(24)中,并對其就級數(shù)即可得到各個區(qū)域內(nèi)兩個標勢函數(shù)的解析表達式:

(32)

(33)

(34)

由式(34)可知,橫磁標勢函數(shù)Wb在整個求解區(qū)域內(nèi)都為0,因此,整個問題可以僅用一個橫電標勢函數(shù)Wa來描述。橫磁標勢函數(shù)Wb在整個求解區(qū)域內(nèi)都為0,表示了在半無限大導(dǎo)體區(qū)域內(nèi)其感應(yīng)電渦流密度的z方向分量為零。

式(32)和式(33)表明,在確定激勵源系數(shù)C(s)下,即可獲得橫電標勢函數(shù)Wa,也即可以得到磁感應(yīng)強度。

圖2 單匝矩形線圈

2.4 矩形線圈激勵源系數(shù)的確定

線圈激勵源系數(shù)C(s)與線圈屬性以及其在坐標系中的方位有關(guān),從原理上說線圈激勵源系數(shù)適用于任意形狀、任意角度放置的激勵線圈。

首先從單匝矩形線圈結(jié)構(gòu)開始分析,如圖2所示為單匝矩形線圈水平放置于直角坐標系中,線圈中心坐標為(0,0,z1),線圈的長度和寬度分別為2x1和2y1,線圈激勵電流為I。

磁場中除線圈外任意一點的磁感應(yīng)強度B可通過畢奧-沙伐定律來表示:

(35)

(36)

B(s)=

(37)

將磁感應(yīng)強度的表達式B=(?Wa/?z)與表示式(37)相比較,即可列寫出關(guān)于激勵源標勢函數(shù)的表達式:

(38)

式(38)對于圖2中水平放置的單匝矩形線圈有ds=ezdx1dy1,而關(guān)于1/R表示式在直角坐標系中可以寫成如下形式:

(39)

將式(39)代入至式(38)中得到:

ej(ux+vy)dudvz

(40)

式(40)即為單匝矩形線圈的激勵源標勢函數(shù)表達式。如果線圈的中心移動到(x′,y′,z1),則將因子e-j(αx′+βy′)添加到式(40)即可。

圖3 多匝平面螺旋線圈簡化模型

在實際運用中的電渦流傳感器線圈通常為多匝平面螺線型線圈,其中每匝線圈都是有一定寬度和厚度的,所以可以將其簡化為多個矩形截面的矩形線圈組合,其結(jié)構(gòu)形狀如圖3所示。

現(xiàn)在先計算具有矩形截面的矩形線圈的激勵源標勢函數(shù)Wa,該線圈的結(jié)構(gòu)形狀和參數(shù)如圖4所示。

圖4 具有矩形截面的矩形環(huán)

圖4中線圈軸線與z軸重合;xi、yi分別對應(yīng)在長、寬方向上線圈內(nèi)邊緣至z軸的距離;w為線圈寬度;z1、z2則分別為線圈底面和頂面至z=0平面的距離。對于該種類型的線圈的激勵源標勢函數(shù)和系數(shù)

表達式的求解則可在單匝線圈的基礎(chǔ)之上運用疊加的方法求解得到。

假設(shè)流過線圈每處的電流密度的幅值和相位均保持不變,忽略線圈繞組中的趨膚效應(yīng)和層間耦合效應(yīng),含矩形截面的矩形柱線圈的激勵源標勢函數(shù)可通過單匝矩形線圈的激勵源標勢函數(shù)用積分表達式表示出來:

(41)

結(jié)合圖4中標注的線圈尺寸參數(shù),上式可進一步寫成:

(42)

將表達式(40)代入式(42)中得到:

(43)

式中:

表達式(43)是單匝矩形線圈的激勵源標勢函數(shù),對其進行疊加即可以得到多匝線圈的激勵源標勢函數(shù):

(44)

式中:N為線圈的匝數(shù)。

激勵源標勢函數(shù)在z=0平面上求解時,是在x=hx,y=hy的區(qū)域內(nèi)求解的,其中hx和hy的取值范圍為大于20倍的線圈外徑。所以可以將用級數(shù)形式求解激勵源標勢函數(shù),即將式(44)轉(zhuǎn)換為級數(shù)形式,如下式:

(45)

此時,我們得到了級數(shù)形式的激勵源標勢函數(shù)。將式(45)與邊界條件下的通解表達式(32)作對比,就可以得到線圈的激勵源系數(shù)的解析表達式:

C(s)(umn,vmn)=

(46)

在得到激勵源系數(shù)表達式后,即可根據(jù)式(29)～式(31)將其余的未知系數(shù)表示出來,并將其代入相應(yīng)的標勢函數(shù)中就可推導(dǎo)出電磁場中的各種場量的解析表達式。

2.5 線圈阻抗求解

當線圈下方無導(dǎo)體存在時,線圈交流阻抗的計算通過線圈上的電壓和電流的關(guān)系來確定,即Z0=V/I。此時線圈上的電壓計算表達式為:

V=jω∫SB·ds

(47)

對于圖4中的矩形柱線圈來說,我們?nèi)钥捎茂B加的方法,通過計算垂直穿過線圈的磁感應(yīng)強度Bz來計算該線圈中的電壓。此時式(47)可改寫為:

(48)

(49)

式中:X0=ωL0為線圈初始交流感抗,L0為線圈初始電感。而對于線圈電阻的計算方法,通常在激勵頻率小于10MHz時可根據(jù)線圈尺寸以及電導(dǎo)率等參數(shù)按照直流電阻計算公式得到:

(50)

式中:NLc為N匝矩形柱線圈導(dǎo)體總長度,σc為線圈制作材料的電導(dǎo)率。因此在實際的線圈制作過程中,為了提高線圈品質(zhì)因數(shù),需將線圈材質(zhì)、繞制方法等問題考慮進去,從而達到減小線圈電阻提高品質(zhì)因數(shù)的目的。

圖5 線圈阻抗變化值求解區(qū)域分析

當傳感器檢測線圈位于導(dǎo)體上方時,由于導(dǎo)體內(nèi)渦流效應(yīng)的作用,將會對線圈阻抗產(chǎn)生影響。設(shè)Z0為檢測線圈下方無導(dǎo)體時的阻抗值,稱之為自由空間阻抗;而當線圈下方有導(dǎo)體存在時,線圈阻抗值變?yōu)閆;二者的差值ΔZ=Z-Z0即為受導(dǎo)體感應(yīng)電渦流引起的線圈阻抗變化值ΔZ。對于圖5線圈位于無限大導(dǎo)體正上方時的情形,線圈阻抗變化值的求解表達式為:

(51)

式中:SC表明頂面為平面導(dǎo)體表面z=0,且包含半無限大導(dǎo)體區(qū)域Sinf的一個無限大閉合曲面,在頂面z=0處,其單位法向矢量en與z軸方向一致;E′與B′分別表示導(dǎo)體存在時的電場強度矢量和磁感應(yīng)強度矢量;E(s)與B(s)則表示沒有導(dǎo)體存在時的電場強度矢量和磁感應(yīng)強度矢量。

E(S)×B′=-××E(S)

(53)

同理對于式(52)積分式中的第2項經(jīng)化簡得到:

(54)

將式(53)、式(54)代入至式(51)得到:

(55)

式中:有關(guān)磁感應(yīng)強度矢量B(s)、B′也可通過標勢函數(shù)表示出來:

(56)

ΔZ=

(57)

(58)

至此,經(jīng)過嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo),我們得到了關(guān)于傳感器三維渦流場中待求物理量如感應(yīng)電渦流密度、磁感應(yīng)強度、線圈阻抗變化值等的閉合解析表示式,其計算結(jié)果可通過相關(guān)的工具軟件如MATLAB、Mathematica等求解得到。

3 實驗驗證及線圈參數(shù)優(yōu)化

3.1 理論模型實驗驗證

為了計算出上述阻抗求解表達式,采用Mathematice軟件對線圈初始阻抗表達式(49)和線圈阻抗變化表達式(58)。線圈尺寸如表1所示。

表1 線圈以及導(dǎo)體相關(guān)參數(shù)

根據(jù)上述參數(shù)計算線圈在導(dǎo)體正上方橫向移動時的電感變化量,如圖6所示,由圖可知理論模型計算的電感變化值與實驗數(shù)據(jù)基本一致,由此可知理論模型是正確的。理論模型給出了線圈幾何參數(shù)(內(nèi)徑、線寬、線間距、線圈厚度、外徑、匝數(shù))與線圈阻抗變化量之間的關(guān)系公式,所以根據(jù)計算這些公式可以仿真出線圈幾何參數(shù)對阻抗變化量的影響,有利于傳感器設(shè)計初期對線圈尺寸的設(shè)計。

圖6 歸一化線圈電感變化曲線

3.2 線圈參數(shù)優(yōu)化

影響渦流柵位移傳感器[12]線圈電感線圈幾何參數(shù)[13]有:內(nèi)徑、線寬、線間距、線圈厚度、外徑、匝數(shù)等,這些參數(shù)同樣對傳感器信號質(zhì)量也是至關(guān)重要的。根據(jù)上述理論模型,本文將討論怎樣的線圈幾何參數(shù)最有利于傳感器的信號質(zhì)量。

根據(jù)式(46)、式(58)可以得到電感相對變化量與線圈厚度z2-z1的關(guān)系,如圖7所示。由圖7可知,電感相對變化值隨著線圈厚度的增加近似線性減小,所以為了得到較大的電感相對變化值,可以選取厚度較小的線圈作為敏感元件。

圖7 電感相對變化量與線圈厚度的關(guān)系

同樣的道理可以繪制線間距和線寬對電感相對變化量的影響,如圖8所示為其三維圖,線間距越大電感相對變化量越大,線寬越大電感相對變化量越大,線間距對電感相對變化量的斜率比線寬小。線圈外徑可以由內(nèi)徑、線寬和線間距確定,根據(jù)傳感器設(shè)計要求,一般線圈外徑尺寸會被確定,如渦流柵位移傳感器的測量碼道線圈外徑為1.5 mm,所以在外徑尺寸一定的條件下,增大線寬較小線間距更有利于獲得較高的電感相對變化量。

圖8 線間距和線寬對電感相對變化量的影響

線圈內(nèi)徑對電感相對變化量影響也是相當重要的,如圖9所示為內(nèi)徑與電感相對變化量的關(guān)系,電感相對變化量隨著內(nèi)徑的增加而增加,所以在條件允許的情況下,可以考慮通過提高內(nèi)徑來提升傳感器的測量精度。

圖9 線圈內(nèi)徑對電感相對變化量的影響

根據(jù)上述分析,可以得到如表2所示的線圈參數(shù)對電感相對變化量的影響,從表中可知內(nèi)徑、線間距、線寬與電感相對變化量成正比,而厚度與其成反比,其中內(nèi)徑對電感相對變化量的影響最大,所以在實際設(shè)計線圈時,若在線圈外徑尺寸允許的條件下,可以優(yōu)先考慮提高線圈內(nèi)徑,同時增大線圈線寬;而若在線圈外徑尺寸一定的條件下,可以考慮提高線寬、減小厚度來提高傳感器的靈敏度。

表2 線圈參數(shù)對電感相對變化量的影響量

4 結(jié)論總結(jié)

本文介紹了電渦流相關(guān)電磁場基本理論,提出了一種基于二階矢量位的矩形線圈渦流柵傳感器的三維渦流理論模型,在此基礎(chǔ)上給出了相關(guān)電磁場方程的建立及求解方法,并給出了線圈阻抗求解公式。該模型可以分析矩形線圈幾何參數(shù)對線圈的阻抗特性及品質(zhì)因數(shù)的影響,同時還可以用于分析矩形線圈幾何參數(shù)對傳感器信號的影響。文章還利用該模型對傳感器信號進行分析,得出怎么樣的矩形線圈幾何參數(shù)更有利于提高傳感器的靈敏度,所以這個結(jié)論在設(shè)計傳感器線圈時,可以起到指導(dǎo)性的作用。

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姜盈盈(1988-),女,浙江紹興人,碩士,工程師,主要研究方向為長度、溫度傳感器等方面研究,jiangyingying@simt.com.cn;

呂春峰(1978-),男,山東萊陽人,主要從事現(xiàn)代傳感器與無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的研究,博士,上海海洋大學(xué)工程學(xué)院講師,cflv@shou.edu.cn。

Analytical Modelling for the Three-Dimensional Eddy Current About Lateral Movement of the Coil Based on Second Order Vector Potential

JIANGYingying1*,YAOLifang1,ZHUXueping1,CHENYu1,ZHUYichen1,LVChenfeng2

(1.Shanghai institute of measurement and testing technology,Shanghai 201203,Chnia;2.Shanghai ocean university of engineering science and technology,Shanghai 201306,China)

To study eddy current problem of impedance of eddy current sensor coil moving in transverse direction to conductor,this paper deduces the formula of the impedance and the impedance change in the Cartesian coordinate system when the relative position of coil and conductor is changed,based on second order vector potential. Three-dimensional eddy current model of ECS electromagnetic field are derived based on theabove work,and it is verified by experiments. Using Mathematice to build model,the effect of coil geometry(inside diameter,thickness,line width,line spacing)on the sensitivity and linear measurement range of ECS. Theconclusionsfrom the study provide are ference fordeter mining thecoil shapeparameters and optimizing the per for manceof ECS.

eddy current sensor,analysis of coil eddy current,second order vector potential,geometricparameter

2016-07-28 修改日期:2016-11-22

TP212.1

A

1004-1699(2017)03-0425-08

C:7230

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.03.016