解決“圖形折疊問題”的策略研究

陳志華+余莉

[摘 要] 圖形折疊問題的實質(zhì)就是軸對稱變換，其注重使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等過程，倡導(dǎo)自主探索、合作交流與實踐創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式，以真正實現(xiàn)“空間與圖形”的教育價值. 本文根據(jù)新課標(biāo)、新變化與中考命題趨勢的關(guān)聯(lián)性的要求，以“圖形的折疊問題”一堂專題復(fù)習(xí)課為載體，引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷參與、反思、內(nèi)化等數(shù)學(xué)活動的全過程中清晰地建構(gòu)出這類問題的解決策略，從而達(dá)到積累必要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的目的.

[關(guān)鍵詞] 折疊問題；作圖操作；計算體驗；活動經(jīng)驗

新課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“空間與圖形”部分的主要內(nèi)容涉及現(xiàn)實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，它是人們更好地認(rèn)識和描述生活空間并進(jìn)行交流的重要工具. 圖形的折疊問題的實質(zhì)就是軸對稱變換，其注重使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等過程，倡導(dǎo)自主探索、合作交流與實踐創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式，以真正實現(xiàn)“空間與圖形”的教育價值. 由此，在近年全國各地的中考試題中，圖形折疊問題漸漸成為考查的熱點問題. 其題型多樣、變化靈活，從考查學(xué)生的空間想象能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運用折疊相關(guān)性質(zhì)的說理計算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至壓軸題，考查的著眼點日趨靈活，能力立意的意圖日趨明顯.

為解決此類問題，教學(xué)中要讓學(xué)生達(dá)成以下幾點目標(biāo)：第一，能對圖形折疊有準(zhǔn)確定位，抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，從點、線、面三個方面入手，發(fā)現(xiàn)其中變化的量和不變的量，發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系；第二，能把握折疊的變化規(guī)律，充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，將其中的基本的數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達(dá)出來；第三，能運用方程模型、分類討論等基本數(shù)學(xué)思想解決問題，感悟數(shù)學(xué)方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 下面，筆者以中考專題復(fù)習(xí)課“圖形的折疊問題”為例，談?wù)劷鉀Q圖形折疊問題的幾點策略.

加強作圖操作，引導(dǎo)學(xué)生探究圖形折疊的本質(zhì)規(guī)律

作圖是根據(jù)幾何或自然語言想象并畫出圖形，通過視覺或操作圖形構(gòu)成的要素（線與角），感知圖形的結(jié)構(gòu)、位置和數(shù)量關(guān)系、幾何特征，形成印象，進(jìn)行分類，這樣可以使頭腦內(nèi)的形象與外在可感覺到的物體建立有利的聯(lián)系. 教學(xué)中要讓學(xué)生感受、探究圖形折疊中的軸對稱變換，教師就理應(yīng)為學(xué)生提供動手操作的平臺——作圖操作. 正如我國古代數(shù)學(xué)家趙爽采用構(gòu)造弦圖的方法“看出”勾股定理一樣，作圖操作是學(xué)生探究圖形折疊的本質(zhì)規(guī)律的一個有效策略.

環(huán)節(jié)一：“作圖探究折疊中的規(guī)律”教學(xué)片段

師：幾何圖形中的折疊問題是我市中考的“?？汀?，其中蘊藏著怎樣的規(guī)律和方法呢？今天我們就一起來探討這一主題，首先請大家完成下列題組：

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，請畫出折痕CD，將△ACD沿CD折疊，使點A落在BC邊的點E處，并連接DE.

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠A=90°，請畫出折痕MN，其中MN∥BC，將△ABC沿直線MN折疊后，點A恰好落在BC邊上的點P處，折痕分別交AB，AC于點M和點N，并連接MP，NP.

（3）如圖3，在矩形ABCD中，請畫出折痕EF，使點A與點C重合，折痕分別交AD，BC于點E和點F.

（學(xué)生獨立思考完成，教師巡視學(xué)生作圖）

師：好，請三位同學(xué)到黑板上板演.

（三位學(xué)生上臺各完成一題）

師：請這三位同學(xué)分別說明各自作圖的步驟.

生1：圖1中要把點A翻折到BC上，只需要畫∠C的角平分線即可.

生2：圖2中，我是先畫了BC邊上的高，再作這條高的中垂線就可以畫出折痕MN.

生3：圖3這題還是比較簡單的，對角線AC的中垂線就是所求的折痕.

師：剛才三位同學(xué)都把他們各自的想法解釋了一遍，講解得非常好. 那么，其他同學(xué)三道題目都能獨立完成的請舉手.

（教師觀察同學(xué)們的舉手情況，大部分同學(xué)都能獨立完成）

師：請問圖形中的折疊關(guān)鍵要抓住哪條重要的線段？

生齊：折痕這條線段.

師：很好，其實折痕就是我們熟悉的角平分線或中垂線，那么，圖形折疊前后有什么規(guī)律？

生4：折疊前后的圖形應(yīng)該是全等圖形.

師：概括得不錯，其實它們也是軸對稱圖形.

（之后教師引導(dǎo)學(xué)生題后反思，總結(jié)圖形折疊問題中的規(guī)律，形成下面的知識框架圖式，并板書在黑板上）

掌握畫幾何圖形是正確認(rèn)識圖形變換本質(zhì)、順利進(jìn)行推理的前提. 教學(xué)中，應(yīng)首先使學(xué)生能夠根據(jù)要求畫出準(zhǔn)確的圖形，然后找出圖形變換前后之間的聯(lián)系，并進(jìn)一步用幾何語言說出幾何圖形的各種不同的特性，分析圖形中的動態(tài)因素，在此基礎(chǔ)上，由這些特性與因素做出推斷，得出結(jié)論，從而進(jìn)行合情推理和演繹推理. 上述教學(xué)片段中的三道關(guān)于折疊的作圖題就是以題組形式出現(xiàn)，低起點、易操作，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)以鞏固基礎(chǔ)，是“動手操作的活動過程”；題后反思、概括歸納圖形折疊問題中的規(guī)律，形成認(rèn)知框架，是“對知識的主動建構(gòu)過程”. 因為概括才能使學(xué)生對解決原題所必需的知識運用由粗淺理解轉(zhuǎn)為深化理解，進(jìn)而為遷移做準(zhǔn)備，才能真正體現(xiàn)“以小見大”的功效.

重視計算體驗，引導(dǎo)學(xué)生提煉圖形折疊的思想方法

波利亞說過，學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)、理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系. 圖形折疊問題的一個重要目標(biāo)是讓學(xué)生能運用方程模型、分類討論等基本數(shù)學(xué)思想解決問題，感悟數(shù)學(xué)方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 而這一目標(biāo)的達(dá)成，需要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的挖掘、提煉、引申、加工改造，以克服消極的定式思維為方向，從中培養(yǎng)學(xué)生思考問題的靈活性、開拓性、多向性和創(chuàng)造性，從而收到以少勝多、事半功倍之效.

環(huán)節(jié)二：“計算、體驗折疊中的方法”教學(xué)片段

師：剛才同學(xué)們通過作圖環(huán)節(jié)已探究到圖形折疊中的規(guī)律，下面請完成如下題目：如圖4，在矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=4，現(xiàn)將該紙片折疊，使點A與點C重合，折痕分別交AD，BC于點E和點F，則EF=______.

生5：根據(jù)矩形的性質(zhì)可以計算出

師：很好，利用相似三角形來解決. 同學(xué)們還有其他方法嗎？（板書：相似三角形法）

生6：可以利用勾股定理. 連接CE，因為圖形的折疊是軸對稱變換，所以設(shè)AE=CE=x，則ED=4-x. 于是得（4-x）2+22=x2，從而求出x，再求EF.

師：利用勾股定理構(gòu)建方程模型也是重要的解題思路. 當(dāng)然，這需要通過軸對稱（折疊）變換，把條件聚集到同一個直角三角形（△CDE）中. （板書：設(shè)元構(gòu)建方程模型）

師：還有其他方法嗎？

師：很好，三角函數(shù)法十分巧妙. 還有其他不同的方法嗎？（板書：三角函數(shù)法）

生9：可以建立直角坐標(biāo)系，利用兩點之間的距離公式解決.

師：剛才同學(xué)們用了5種不同的方法解決了這道折疊問題，其中利用相似三角形、勾股定理是解決折疊問題的兩種常用方法，同學(xué)們必須掌握. 請問圖4中隱藏著一個關(guān)于相似三角形的什么基本圖形？

生齊：斜截型相似圖形.

師：這個基本圖形十分重要，大家要善于發(fā)現(xiàn)它. 下面請同學(xué)們看第二題：

生10：連接AP，根據(jù)圖形的折疊可知AP⊥BC，再利用相似三角形的知識可以解決.

師：很好，現(xiàn)在我們來比較一下這兩道題，你能從方法上加以反思、總結(jié)嗎？

生11：這兩題都涉及圖形的折疊，所用的方法有相似三角形法、勾股定理等，其中這兩幅圖中都可以挖掘出基本圖形.

師：大家要經(jīng)常比較、概括同類型或相似題目，從而發(fā)現(xiàn)其中的異同點，這樣就可以達(dá)到以一敵十的效果.

數(shù)學(xué)知識的教學(xué)從來都不是數(shù)學(xué)教學(xué)的唯一，而數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)卻是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心價值. 我們的教學(xué)不能停留在知識的傳授層面，應(yīng)重視發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 學(xué)生在上述教學(xué)片段中，感悟數(shù)學(xué)解題策略，提煉基本數(shù)學(xué)方法，從而達(dá)到增長智慧的目的. 在“作圖探究折疊中的規(guī)律”環(huán)節(jié)的鋪墊下，學(xué)生提煉出的相似三角形法、設(shè)元構(gòu)建方程法、三角函數(shù)法、等積法、解析法等五種方法，是解決此類問題的腳手架. 同時，在較復(fù)雜的問題中，有針對性地將其中某一個三角形、角或線段“拿”出來，單獨畫圖進(jìn)行分析，更有助于發(fā)現(xiàn)問題. 這種把復(fù)雜圖形分解到基本圖形的方法也為學(xué)生認(rèn)識圖形、把握問題本質(zhì)創(chuàng)造了思維的載體.

加強綜合運用，積累解決圖形

折疊問題的活動經(jīng)驗

圖形折疊問題的綜合題的特點是集知識點于一體，且經(jīng)常與動點問題相聯(lián)系，所以，題型新穎且富于變化，學(xué)生往往感到難度大，不易下手. 然而，這種題型既能考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，又能較好地考查學(xué)生的觀察、分析、概括能力，因此，教學(xué)中既要重視基礎(chǔ)知識，又要強化數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，讓學(xué)生在綜合運用過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

環(huán)節(jié)三：“中考呈現(xiàn)折疊的題型”教學(xué)片段

師：通過剛才兩個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，下面我們一起嘗試解決關(guān)于圖形折疊的中考題：

師：大家對“動點P在線段BD上從點B向點D運動”有什么想法？

生12：是不是要分類討論？

師：如果要分類討論，那么點P運動到何處是分界點呢？也就是點P在某處的前后時，菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的圖形會有所區(qū)別？

生13：點P在BO上和在OD上時所形成的圖形是不同的，所以點O是點P的分界點.

師：題目的構(gòu)圖也十分復(fù)雜，怎么把復(fù)雜圖形簡單化呢？

生14：可以分解圖形到一個基本圖形中去解決，比如分解到Rt△AOB中.

師：好，下面我們把這兩種情況分解到如下兩幅圖形中去（圖7和圖8）.

師：如圖7，如何計算△BPF的面積呢？

本題考查了以菱形為背景的軸對稱（折疊問題）的相關(guān)知識，考查了菱形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，還考查了分類討論思想. 日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏認(rèn)為把復(fù)雜問題簡單化是數(shù)學(xué)最基本的精神，所以，其中利用折疊（軸對稱）把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單基本圖形是解決問題的關(guān)鍵. 同時，作圖題中對折痕的意義的理解、計算題中關(guān)于折痕問題所涉及的多種方法的展示、中考題解決中的綜合運用都為學(xué)生提供了一系列有層次、數(shù)學(xué)情境本質(zhì)相同或相似、多樣化活動的“情境串”，讓學(xué)生在原有的直接經(jīng)驗基礎(chǔ)上，在經(jīng)歷“作圖操作、計算體驗、綜合運用”的數(shù)學(xué)活動中及時概括、抽象和運用，從而積累了必要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

筆者認(rèn)為，中考的一個重要作用是指引教師的教學(xué)方向，促進(jìn)教師對新課改理念的領(lǐng)悟，提高教師的教學(xué)水平，同時引導(dǎo)和改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式. 通過分析圖形折疊問題，我們發(fā)現(xiàn)，它很好地承載了對學(xué)生綜合能力的考查. 所以，在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷參與、反思、內(nèi)化等數(shù)學(xué)活動中，增進(jìn)學(xué)生對所學(xué)知識的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，感知研究與解決數(shù)學(xué)問題的方式、方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的功能，培養(yǎng)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的能力，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).