利用問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的有效思維

朱斌

摘 要] 問題與思維是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩個(gè)基本要素，也是關(guān)系十分密切的兩個(gè)要素. 習(xí)慣了應(yīng)試的數(shù)學(xué)教師，需要結(jié)合新的教學(xué)背景思考問題與思維培養(yǎng)之間的關(guān)系，尤其是要在實(shí)際教學(xué)中基于對(duì)問題的分析，以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的思考去設(shè)計(jì)問題. 事實(shí)證明，基于學(xué)生的思維興奮點(diǎn)以及數(shù)學(xué)知識(shí)自身的邏輯，可以設(shè)計(jì)出好的問題以驅(qū)動(dòng)學(xué)生的有效思維.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；問題；問題驅(qū)動(dòng)；有效思維

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有“一明一暗”兩個(gè)教學(xué)主題：明的主題是伴隨著知識(shí)發(fā)生的各種問題；暗的主題是利用知識(shí)和問題去培養(yǎng)的學(xué)生的思維. 通常情況下，由于應(yīng)試壓力的存在，對(duì)于知識(shí)的教學(xué)以及解題能力的提升而言，容易成為教師教學(xué)的重心. 而問題在課堂上往往處于或有或無的狀態(tài)，最受詬病的灌輸式教學(xué)就是忽視問題價(jià)值的典型. 進(jìn)入課程改革以來，盡管在新的理念作用下課堂有了明顯的改變，教師對(duì)教學(xué)中問題的重視尤其是對(duì)學(xué)生自主提出問題的重視，使得數(shù)學(xué)課堂變得更有活力，但是對(duì)于問題背后的思維能力培養(yǎng)往往又難以給予應(yīng)有的地位. 而且由于思維往往是依賴于知識(shí)的發(fā)生而存在的，不專門進(jìn)行思維的訓(xùn)練，學(xué)生的解題水平與應(yīng)試能力也足以讓教師獲得好評(píng)，因而思維培養(yǎng)在理論上的重要性與實(shí)際中的邊緣化，就形成了一對(duì)讓人感覺到尷尬的關(guān)系.

筆者以為，高中數(shù)學(xué)教學(xué)如果著眼于學(xué)生的發(fā)展，尤其是著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，就必須高度重視數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng). 考慮到數(shù)學(xué)問題對(duì)于思維的激活作用，筆者對(duì)兩者之間的關(guān)系作了梳理. 現(xiàn)以蘇教版高中數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)為例，闡述筆者的相關(guān)觀點(diǎn).

[?] 高中數(shù)學(xué)中問題與思維的關(guān)系梳理

問題與思維的關(guān)系，已經(jīng)被太多的人研究過，今天重新來看待兩者之間的關(guān)系，是不是顯得多余？筆者以為這要看從什么角度來看待這個(gè)問題：如果從純粹的高中數(shù)學(xué)教學(xué)理論的發(fā)展角度來看待，關(guān)于問題與思維的討論確實(shí)已經(jīng)比較充分，在具體的教學(xué)理論與教育心理理論沒有取得重大突破之前，目前已有的討論結(jié)果其實(shí)已經(jīng)能夠描述兩者之間的基本關(guān)系；但從教師發(fā)展的角度來看待，應(yīng)當(dāng)看到當(dāng)前的教學(xué)研究常常一味求新，對(duì)于傳統(tǒng)的重新回味顯得尤為不足，而問題與思維之間的這種最基本的關(guān)系，恰恰是當(dāng)下許多高中數(shù)學(xué)教師所忽視的. 因此，筆者以為有重新梳理的必要. 另外，當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的背景畢竟與傳統(tǒng)不同，學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與習(xí)慣也與傳統(tǒng)文獻(xiàn)研究中所引用的材料不同，因此在當(dāng)前背景下梳理問題與思維的關(guān)系，仍然有著強(qiáng)大的生命力.

于是，筆者在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的具體背景下，對(duì)兩者的關(guān)系進(jìn)行了梳理，并形成了如下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

第一，什么樣的問題是有價(jià)值的？這個(gè)問題本身有沒有價(jià)值呢？從我們自身的數(shù)學(xué)課堂來反思，就可以尋找到答案. 其實(shí)每一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師都可以反思一下，看自己的日常課堂上一般一節(jié)課可以提出多少問題（前提是自己必須是一個(gè)有問題意識(shí)的教師），這些問題當(dāng)中又有多少是有價(jià)值的. 筆者反思的結(jié)果表明，課堂上至少有三分之一的問題往往是隨口提出的，對(duì)學(xué)生的思維培養(yǎng)作用是有限的. 其實(shí)問題的價(jià)值最主要的體現(xiàn)，就是對(duì)思維的促進(jìn)作用，如“對(duì)數(shù)函數(shù)”（蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1）中，教材在給出了細(xì)胞分裂的例子并給出了細(xì)胞分裂后的個(gè)數(shù)與分裂次數(shù)的關(guān)系之后，給出了這樣的一個(gè)問題：“知道了細(xì)胞的個(gè)數(shù)，如何確定分裂次數(shù)x？”這個(gè)問題看似普通，但其實(shí)很有針對(duì)性，其對(duì)打開學(xué)生尋找指數(shù)關(guān)系的思維而言，有著開門見山的作用. 筆者在很多公開課上看上課者試圖改變這一情境與問題，但最終都發(fā)現(xiàn)效果不如教材.

第二，如何從問題中發(fā)掘思維培養(yǎng)的價(jià)值？其實(shí)從另一個(gè)角度來看，課堂上的那么多問題中，有些其實(shí)就是好問題，只不過因?yàn)闆]有及時(shí)對(duì)這些問題做出有效的判斷，因而就失去了一個(gè)利用這些問題的機(jī)會(huì)而已. 比如上面說的有不少人試圖換個(gè)例子，重新提出問題，以體現(xiàn)課堂上的新意（在公開課上好理解，但在日常課堂上，對(duì)于教材提供的例子，一定要多加珍惜，多挖掘其中的價(jià)值）. 對(duì)于教材中的這個(gè)問題，其對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有什么作用？一個(gè)需要認(rèn)識(shí)到的作用就是：該問題所用的材料是學(xué)生比較熟悉的，該材料中給出的指數(shù)關(guān)系是清晰的，該問題在促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展時(shí)是直接指向指數(shù)函數(shù)的. 而這三點(diǎn)恰恰是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的最重要的三個(gè)基礎(chǔ)，你說這個(gè)材料以及問題有沒有價(jià)值呢？

第三，如何基于問題去有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力？這是本文需要闡述的重點(diǎn). 眾所周知，問題的最大作用，就是打破學(xué)生的認(rèn)知平衡，讓學(xué)生產(chǎn)生解決問題的欲望，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，去與問題進(jìn)行相互作用，以構(gòu)建新的解決數(shù)學(xué)問題的模型，最終實(shí)現(xiàn)問題的解決. 因此，好的問題一出現(xiàn)，思維參與與思維能力的培養(yǎng)幾乎就是必然的過程，從這個(gè)角度來講，利用問題培養(yǎng)學(xué)生的思維能力類似于一個(gè)自然成長的過程. 其中，只需要關(guān)注學(xué)生思維的效率即可.

[?] 精心設(shè)計(jì)問題促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展

由上面的分析可以看出，學(xué)生的思維發(fā)展與問題的設(shè)計(jì)與提出，實(shí)際上是一個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ)與上層建筑的關(guān)系，有了好的問題往往就會(huì)有好的思維過程. 當(dāng)然，兩者之間也是一個(gè)如文章開頭所說的顯性與隱性的關(guān)系，好的教學(xué)要讓顯性的問題充分發(fā)揮隱性的思維發(fā)展的作用. 筆者曾經(jīng)看到這樣的一個(gè)例子：有一位教師在曲線與方程的教學(xué)中，在橢圓知識(shí)學(xué)完之后，專門開辟出一段時(shí)間跟學(xué)生討論了這樣一個(gè)問題：如果將橢圓定義中的可變條件進(jìn)行改變，那可以得到哪些曲線呢？

這個(gè)問題在筆者看來極具創(chuàng)意，這個(gè)創(chuàng)意主要體現(xiàn)在其對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組上，因?yàn)樵诖酥埃瑢W(xué)生所學(xué)的各種曲線基本上都是分離的. 盡管從曲線定義的得出與性質(zhì)的研究角度來看，其遵循著相對(duì)一致的步驟，但畢竟這些曲線本身并沒有形成有效的聯(lián)系. 而這個(gè)問題的提出，立即在學(xué)生的思維中種下了一粒種子：難道在橢圓的定義基礎(chǔ)上進(jìn)行改變，還可以得到其他的曲線？這個(gè)問題對(duì)于學(xué)生來說自然是具有一種瞬間開拓思維的意思，于是學(xué)生自然地去就思考橢圓定義中的可變條件（開始了高效的思維）；而在分析這些可變條件的時(shí)候，學(xué)生又會(huì)思考怎樣去改變這些條件（思維開始走向深入）. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生會(huì)調(diào)動(dòng)原來所學(xué)的曲線的定義（包括曲線方程），去思考可變條件變化之后與這些曲線的定義存在著什么樣的聯(lián)系（發(fā)散性思維向內(nèi)斂性思維轉(zhuǎn)變）……這一個(gè)過程，是一個(gè)思維高度運(yùn)轉(zhuǎn)的過程. 在這個(gè)過程中，學(xué)生表面上看是在不斷地組織不同的知識(shí)，而實(shí)際上思維卻在發(fā)揮著核心的作用，這個(gè)作用既是線索性的，又是事例性的，因?yàn)榇?lián)了不同的曲線定義.

而在筆者的教學(xué)中也有類似的努力. 在教授對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的時(shí)候，筆者原先準(zhǔn)備給出相對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之后，利用表格處理軟件去得出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，但在課堂中遇到了學(xué)生提出的一個(gè)問題：這個(gè)圖像是電腦處理的，不是描點(diǎn)法得出的，這個(gè)圖像到底準(zhǔn)不準(zhǔn)??？按理說，對(duì)這個(gè)問題的回答可以一帶而過，不必細(xì)致討論，但筆者想，既然學(xué)生提出了這個(gè)問題，就說明學(xué)生在思考圖像的精確性，那就應(yīng)當(dāng)趁機(jī)向?qū)W生解釋表格處理軟件是如何生成圖像的. 這個(gè)過程本身并不復(fù)雜，而在解釋過程中筆者注意到幾乎所有的學(xué)生都在認(rèn)認(rèn)真真地聽著，效率奇高，這是以往在教授數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中所很少見的. 后來一想，這不正是學(xué)生自己提出的問題，激活了他們自身思維的結(jié)果嗎？

[?] 在關(guān)注學(xué)生思維的視角下設(shè)計(jì)問題

理解了問題對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)促進(jìn)作用，那在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中很顯然就需要去設(shè)計(jì)有效的問題了. 關(guān)于這一點(diǎn)，其實(shí)倒也沒有什么訣竅. 筆者的認(rèn)識(shí)就兩點(diǎn)：

一是對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建，重點(diǎn)思考學(xué)生會(huì)怎么想！形成這樣的意識(shí)，往往可以讓教師預(yù)設(shè)學(xué)生可能的思維過程，而不是只是所需要學(xué)習(xí)的知識(shí)，這對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的習(xí)慣來說，可能是一個(gè)改變. 但這樣的改變一定是積極的，因?yàn)橹赶蛩季S，可以視作是抓住了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)——數(shù)學(xué)本身就是培養(yǎng)學(xué)生思維的學(xué)科.

二是從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的邏輯，思考學(xué)生的思維興奮點(diǎn). 有效的思維培養(yǎng)一定是在學(xué)生思維被點(diǎn)燃的時(shí)候，這就意味著要抓住學(xué)生思維的興奮點(diǎn). 分析高中數(shù)學(xué)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)很多知識(shí)的形成邏輯中都是有興奮點(diǎn)的，如上面例子中打開學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的問題，又如橢圓例子中打開學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓與其他曲線關(guān)系的問題等，這些問題對(duì)學(xué)生思維的點(diǎn)燃幾乎就是一瞬間的事情. 所以，抓住這些興奮點(diǎn)實(shí)施教學(xué)，一定可以培養(yǎng)學(xué)生的思維.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中巧妙地設(shè)計(jì)問題，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維，從而讓數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)一步走向高效.