2016年廣東高考文科數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題教育價值分析與思考

作者簡介：龐進發(fā)，男，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，教育碩士，現(xiàn)任廣東省東莞市東莞中學(xué)數(shù)學(xué)教師、數(shù)學(xué)科教研組長，兼任東莞市中學(xué)數(shù)學(xué)教研會副秘書長、華南師范大學(xué)校外兼職碩士專業(yè)學(xué)位導(dǎo)師. 2009年被評為東莞市優(yōu)秀教師，2015年被評為廣東省南粵優(yōu)秀教師，2013年被評為東莞市第三批學(xué)科帶頭人，2016年被評為東莞市高中名師工作室支持人. 2004年參加廣東省高中青年數(shù)學(xué)教師現(xiàn)場優(yōu)質(zhì)課評比獲省一等獎. 2016年主持課題《高中數(shù)學(xué)問題教育價值研究與實踐》獲市教育科研立項課題，還參與多項市級課題研究并獲獎，有多篇論文在省級以上發(fā)表以及獲市一、二等獎.

[摘 要] 數(shù)學(xué)問題解決的研究很多，而思考其教育價值的不多. 本文通過分析2016年廣東高考文科數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，探討其中蘊含的教育價值：綜合體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、關(guān)注分析與解決問題的能力、體現(xiàn)多種數(shù)學(xué)思想方法，并提出函數(shù)與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)備考的啟示.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)問題；教育價值

期盼了一年，也研究了一年的廣東高考數(shù)學(xué)全國卷終于見面了，特別是2016年是新課改以來廣東省首次使用全國卷，高考試題自然成為教師們探討的熱點. 全國高考數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，以主干知識為主線，突出對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查，常規(guī)中顯新意，給中學(xué)的教學(xué)以及高三的備考指明了方向. 而教師們對高考試題的研究，更多的是停留在試題的特點、規(guī)律以及數(shù)學(xué)問題的解決上，思考其教育價值的不多. 本文筆者試探討2016年廣東高考文科數(shù)學(xué)試題（全國新課標（Ⅰ）卷或（乙）卷）（下面簡稱“試題”）中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的教育價值.

[?] “試題”再現(xiàn)

9. 函數(shù)y=2x2-e在[-2，2]的圖像大致為

[x][O][y][1][-2][2][x][O][y][1][-2][2][A. B.]

[x][O][y][1][-2][2][x][O][y][1][-2][2][C. D.]

12. 若函數(shù)f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

21. 已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識之一，也是每年高考重點考查的內(nèi)容之一. 第9題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)（偶函數(shù)、單調(diào)性）、函數(shù)的圖像（對稱性），考查了對函數(shù)的解析式、函數(shù)圖像的分析能力；第12題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、由函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的取值，考查了求導(dǎo)運算能力、換元法、數(shù)形結(jié)合法、逆向思維等；第21題主要考查了帶參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的判斷、函數(shù)的零點、參數(shù)取值的確定，考查了分類討論、數(shù)學(xué)結(jié)合的思想方法. 這三道試題都有一定的綜合性，是中高難度的問題，蘊含了豐富的教育價值.

[?] 綜合體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展的人的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)課程目標的集中體現(xiàn)，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析. 這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成了一個有機整體. “試題”中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，關(guān)注了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).

例如，第9題函數(shù)y=2x2-e的自變量x的結(jié)構(gòu)特征是x2和x，當自變量x取相反數(shù)-x時，函數(shù)值y相等，符合偶函數(shù)的定義，因此直觀可以判斷該函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱. 而四個選項的圖像都是關(guān)于y軸對稱，僅憑此不能做出選擇. 再從給出的數(shù)據(jù)進行分析：當x=2時，y=8-e2，通過估算可知y∈（0，1），這樣由圖像的直觀，可排除A和B選項. C和D選項的圖像的區(qū)別是函數(shù)y=2x2-e在區(qū)間[0，2]的變化趨勢，即單調(diào)性. 首先由函數(shù)y=2x2-ex直觀分析2x2在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，而-ex在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，沒辦法直觀判斷；接著可以嘗試對函數(shù)進行求導(dǎo)運算，通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，即y′=4x-ex，當0

0，

上是減函數(shù)，這樣就排除了C選項，最后剩下D選項為正確答案. 顯然，這道試題蘊含了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).

[?] 關(guān)注分析與解決問題的能力

課程標準指出，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，這些能力的獲得是其自主學(xué)習(xí)、實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵，評價對此應(yīng)有正確導(dǎo)向[1]. 能力是通過知識的掌握和運用水平體現(xiàn)出來的，從而高考試題更多注重考查學(xué)生運用知識和方法的能力，分析和解決問題的能力. “試題”中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，涉及對函數(shù)相關(guān)的概念本質(zhì)的理解、分析函數(shù)的基本方法以及解決函數(shù)問題的策略方法等.

例如，第12題已知函數(shù)f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，確定a的取值范圍. 首先題目的條件涉及函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)理解，即函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增就是自變量x增加時對應(yīng)的因變量f（x）也在增加，從函數(shù)圖像上呈現(xiàn)出從左到右上升的趨勢，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的符號為非負數(shù). 有了這些知識的理解，接著對函數(shù)f（x）的模型進行分析，即函數(shù)f（x）由兩類基本函數(shù)（一次函數(shù)與三角函數(shù)）組合而成，解決的思路就可以有兩個方向：①分別從一次函數(shù)和三角函數(shù)進行研究；②直接求導(dǎo)運算，運用導(dǎo)函數(shù)進行研究. 基于對函數(shù)f（x）的結(jié)構(gòu)的直觀分析，聯(lián)想到函數(shù)x，x-sinx和x+sinx在（-∞，+∞）上都是單調(diào)遞增的，又由函數(shù)結(jié)構(gòu)的對稱性可知函數(shù)x+asinx在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增可猜測a∈[-1，1]. 現(xiàn)在f（x）多了一項，可猜想a的取值范圍是[-1，1]的真子集并且是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，這樣就可以判斷C為正確選項. 通過直觀分析猜想到答案后，還需要嚴謹?shù)耐评? 首先對函數(shù)進行求導(dǎo)，再由函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增可得導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0恒成立，從而求出a的取值范圍. 解答如下：

由函數(shù)f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，可得

f′（x）=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+≥0在（-∞，+∞）上恒成立.

令cosx=t∈[-1，1]，則

g（t）=-t2+at+≥0在[-1，1]上恒成立.

結(jié)合二次函數(shù)圖像（如圖1）可得

g（-1）≥0，

g（1）≥0.

[t][O][y][1]

所以

-

-a+≥0，

-

+a+≥0，解得-≤a≤.

故a的取值范圍是

-，

.

[?] 體現(xiàn)多種數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，引領(lǐng)數(shù)學(xué)問題的分析與解決，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的，同時也是高考考查的重點之一. “試題”中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，體現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

1. 分類討論的數(shù)學(xué)思想方法

所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答. 分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想[2]，這種思想對于簡化研究對象、發(fā)展學(xué)生的思維有著重要的作用. 同時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用也體現(xiàn)了學(xué)生邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題在高考試題中占有重要地位. 而為什么要分類？分類討論的標準是什么？這是在分析問題中學(xué)生首先需要思考的問題.

“試題”第21題是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，函數(shù)f（x）含有參數(shù)a，由于a的不同取值會影響函數(shù)f（x）的變化性態(tài)，因此要對a的取值進行分類討論. 通過對函數(shù)進行求導(dǎo)運算，發(fā)現(xiàn)a的取值影響了導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點個數(shù)以及零點的大小，即影響了函數(shù)f（x）的單調(diào)性，因此第（1）問討論f（x）的單調(diào)性，就是要對a進行分類討論. 由a的取值對函數(shù)f（x）的影響自然得到第一級的分類標準就是導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的零點個數(shù)：有且只有一個零點時a≥0，有兩個零點時a<0；第二級的分類標準是在有兩個零點，即在a<0的情況下比較兩個零點x=1和x=ln（-2a）的大小，由此分為a<-，a=-， -

第21題詳細解答如下：

（1）函數(shù)f（x）的定義域為R.

f′（x）=（x-1）（ex+2a），令f ′（x）=0，則x=1或ex=-2a.

若a≥0，則ex+2a>0.

當x<1時， f ′（x）<0，則f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)；

當x>1時， f ′（x）>0，則f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù).

若a<0，則由ex=-2a，可得x=ln（-2a）.

當ln（-2a）=1，即a=-時，則f′（x）=（x-1）（ex-e）≥0恒成立.

所以， f（x）在R上是增函數(shù).

當ln（-2a）<1，即-

當x>1時， f ′（x）>0，則f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù).

當ln（-2a）

當x0，則f（x）在（-∞，ln（-2a））上是增函數(shù).

當ln（-2a）>1，即a<-時，則

當x>ln（-2a）時， f ′（x）>0，則f（x）在（ln（-2a），+∞）上是增函數(shù)；

當1

當x<1時， f ′（x）>0，則f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù).

綜上所述，當a≥0時， f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；

當-

當a=-時， f（x）在R上是增函數(shù)；

當a<-時， f（x）在（ln（-2a）+∞）和（-∞，1），上是增函數(shù)，在（1，ln（-2a））上是減函數(shù).

（2）由（1）可知：

當a=0時， f（x）在x=1處取得的最小值f（1）=-e<0，

而當x<1時， f（x）=（x-2）ex<0恒成立，此時f（x）沒有兩個零點，不滿足題意.

當a>0時， f（x）在x=1處取得的最小值f（1）=-e<0，

又f（2）=a>0，所以f（x）在（1，+∞）上有一個零點.

又由x→-∞時，（x-2）ex→0，a（x-1）2→ +∞， f（x）→+∞，

所以f（x）在（-∞，1）上有一個零點.

所以f（x）在R上有兩個零點（如圖2）.

當a=-時， f（x）在R上是增函數(shù)，不符合題意.

當a<-時， f（x）在（ln（-2a），+∞）和（-∞，1）上是增函數(shù)，在（1，ln（-2a））上是減函數(shù)，

所以當x=1時， f（x）取得極大值f（1）= -e<0，

所以f（x）沒有兩個零點，不符合題意（如圖3）.

[x][O][y][1][a]

當-

f（ln（-2a））=[ln（-2a）-2]（-2a）+a[ln（-2a）-1]2=a[ln（-2a）-2]2+a<0，

所以f（x）沒有兩個零點，不符合題意（如圖4）.

[x][O][y][1][a]

綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）.

2. 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)形結(jié)合即數(shù)形滲透，兩者相互推進，層層深入，這樣就能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題直觀化，是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的解題思想和方法，經(jīng)常應(yīng)用在研究函數(shù)、解析幾何等問題中. 在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法時往往體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型建構(gòu)、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

“試題”第21題第（2）問由函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點等價于方程（x-2）ex+a（x-1）2=0有兩個不同的實數(shù)根，然后變形可得a=-，再建構(gòu)兩個函數(shù)y=a與g（x）=-，這樣函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點就等價于函數(shù)y=a與g（x）=-的圖像有兩個公共點，然后畫出函數(shù)g（x）的圖像，結(jié)合圖像從而得出實數(shù)a的取值范圍. 這樣通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像公共點的問題，避免了對實數(shù)a進行復(fù)雜的分類討論，同時圖像直觀，非常容易得出答案. 從高考答卷反饋的情況分析，大部分考生選擇了這種方法.

第21題第（2）問另解：

由（x-2）ex+a（x-1）2=0，可得x≠1，

所以a=-.

令g（x）=-，

則函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點等價于函數(shù)y=a與g（x）的圖像有兩個公共點.

g′（x）=-=-，

所以，當x>1時，g ′（x）<0，g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；

當x<1時，g ′（x）>0，g（x）在（-∞，1）上是增函數(shù).

又因為，當x→1時，g（x）→+∞；

當x<1時，g（x）>0，當x→-∞時，g（x）→0；

當10；

當x=2時，g（x）=0；

當x>2時，g（x）<0，當x→+∞時，g（x）→ -∞；

所以，函數(shù)g（x）的圖像如圖5所示，

[x][O][y][1][y=a]

圖5

當a>0時，函數(shù)y=a與g（x）圖像有兩個公共點，即函數(shù)f（x）有兩個零點.

故實數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）.

[?] 對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)備考的啟示

2016年“試題”以“兩小一大”的題型對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)進行了比較全面的考查，關(guān)注導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，側(cè)重考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的性態(tài)，重視對函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題的考查，這也給2017年高考文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考給出了啟示.

1. 理解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)概念的本質(zhì)

對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，全國卷往往以函數(shù)概念、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性、極值、最值、函數(shù)的零點等基本知識為載體，考查學(xué)生多種數(shù)學(xué)能力. 這啟發(fā)我們在進行復(fù)習(xí)時要注重研究課標與考綱，鉆研教材，深刻感受概念、方法的形成過程，深入挖掘函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)概念的本質(zhì)，打好解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的知識與方法基礎(chǔ)[3]. 如函數(shù)的概念形成過程在教材中是通過三個例子（分別是函數(shù)解析式、圖像、表格三種形式表示的函數(shù)模型），從不同的視角讓學(xué)生抽象概括它們的共同特征：兩個集合中元素的唯一對應(yīng)關(guān)系，即對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系“f”，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng). 這也是函數(shù)概念的本質(zhì)，是建構(gòu)函數(shù)模型的依據(jù)，不管是x與y，還是a與b，只要滿足這樣的唯一對應(yīng)，就可以把它們看成是一個函數(shù)模型，然后用函數(shù)的思想方法解決相應(yīng)的問題. 函數(shù)的概念本質(zhì)是自變量x與因變量f（x）唯一對應(yīng)關(guān)系，然而函數(shù)的奇偶性與周期性的本質(zhì)是自變量x與因變量f（x）的等量關(guān)系（如f（-x）=f（x），f（-x）= -f（x），f（x+T）=f（x）），函數(shù)的單調(diào)性的本質(zhì)是自變量x與因變量f（x）的不等關(guān)系（如x1

2. 以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的核心概念建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的概念比較多，而在高考復(fù)習(xí)中如何圍繞函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的核心概念把它們聯(lián)系起來，形成一個知識網(wǎng)絡(luò)，這對于學(xué)生理解相關(guān)概念，提高邏輯思維能力，從而提高復(fù)習(xí)的效率，都有重要的作用[4]. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的諸多概念主要是以函數(shù)的概念、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點為核心進行研究的，特別是函數(shù)的單調(diào)性最為核心. 研究函數(shù)問題，就是研究函數(shù)的變化規(guī)律，研究函數(shù)的單調(diào)性，其中函數(shù)的奇偶性、周期性都是起到簡化研究函數(shù)過程的作用. 函數(shù)的零點是建立函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與圖像的聯(lián)系的重要知識，在研究函數(shù)的極值點、方程的根、不等式的邊界以及函數(shù)圖像與x軸交點等問題時，通常都可以轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點的問題. 也就是說，在高三函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)中以建立函數(shù)模型，研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點為核心，可以很好地幫助學(xué)生建構(gòu)相關(guān)的知識方法網(wǎng)絡(luò).

3. 以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

全國高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題考查重在對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識理解的準確性、深刻性，重在與方程、不等式相關(guān)知識的聯(lián)系，要求考生具備較高的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 因此在高考復(fù)習(xí)中除了梳理知識概念、建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)外，還要分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的教育價值，選擇合適的問題，以問題為驅(qū)動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例如，2016年全國新課標（Ⅱ）文科數(shù)學(xué)第12題：已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2-x），若函數(shù)y=x2-2x-3與y=f（x）圖像的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則xi=（ ）

A. 0 B. m

C. 2m D. 4m

該題主要考查了函數(shù)圖像的對稱性、絕對值函數(shù)及其圖像、抽象函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等知識方法. 函數(shù)f（x）沒有具體的解析式，通過對f（x）=f（2-x）進行推理，得出函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于x=1對稱. 再由函數(shù)y=x2-2x-3可知，該函數(shù)圖像也關(guān)于x=1對稱并畫出其圖像，同時也嘗試畫出函數(shù)f（x）的圖像. 最后通過直觀分析、推理，利用中點坐標公式，得出xi=×2=m. 因此通過這個問題，可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4. 以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題提高學(xué)生分析、解決問題的能力

分析和解決問題的能力是衡量學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識與方法水平的標準之一[5]，也是高考重點考查的能力之一，對于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也非常重要. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)以問題為載體，教會學(xué)生分析問題、解決問題的基本思路. 一般地，首先對函數(shù)模型結(jié)構(gòu)進行分析，直觀分析其整體性質(zhì)（定義域、奇偶性、對稱性和周期性等）、局部性質(zhì)（單調(diào)性、特殊點和函數(shù)值符號等），然后根據(jù)解決問題的需要考慮是否需要建構(gòu)新的函數(shù)模型，接著利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的變化性態(tài)，畫出函數(shù)圖像，最后結(jié)合函數(shù)圖像以及推理解決相應(yīng)的問題.

參考文獻：

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[5] （美）G·波利亞著，涂泓，馮承天譯. 怎樣解題[M]. 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007，5.