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    運(yùn)用整體思想解題培養(yǎng)創(chuàng)新能力

    2017-04-12 14:03:59江西省景德鎮(zhèn)市第十九中學(xué)333000
    數(shù)理化解題研究 2017年5期
    關(guān)鍵詞:景德鎮(zhèn)市代數(shù)式式子

    江西省景德鎮(zhèn)市第十九中學(xué)(333000) 韓 國(guó) ●

    運(yùn)用整體思想解題培養(yǎng)創(chuàng)新能力

    江西省景德鎮(zhèn)市第十九中學(xué)(333000) 韓 國(guó) ●

    本文舉例論述了如何采用“整體思想”來(lái)解題,以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

    整體思想;解題;創(chuàng)新能力

    “整體思想”是一種重要的數(shù)學(xué)解題思想方法.“整體思想”就是在解題過(guò)程中不執(zhí)著于局部的處理,不拘泥于常規(guī)的方法,而根據(jù)數(shù)學(xué)題目自身的特殊性,從整體的角度出發(fā)進(jìn)行處理,即把題目中的某一部分看成一個(gè)整體,而不進(jìn)行單獨(dú)求解.在求條件代數(shù)式的值時(shí),一般從已知式中不能確定代數(shù)式中字母的值,或雖能確定,但計(jì)算繁雜,這時(shí)若采用整體思想代換求值,常能使問(wèn)題迅速獲解.這種從整體處理的思維方法,不僅解題方法別致新穎、思路清晰,而且能達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題目的.有利于開(kāi)闊學(xué)生的視野,提高能力、發(fā)展智力、增強(qiáng)素質(zhì).

    例1 ①已知x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+ x4+…+x1995=________;

    ②已知a2-a+1=0,求a3-2a+1的值.

    ③已知x2+x-1=0,求x3+2x2+1997的值.

    解 ①原式=(1+x+x2+x3)+x4(1+x+x2+x3)+ x8(1+x+x2+x3)+…+x1992(1+x+x3+x3)=(1+x+x2+x3)(1+x4+x8+x12+…+x1992).

    ∵1+x+x2+x3=0,∴原式=0.

    ②原式=a3-a2-a+a2-a-1+2=a(a2-a-1)+ (a2-a-1)+2.

    ∵a2-a-1=0,

    ∴原式=a×0+0+2=2.

    ③由x2+x-1=0,得x2+x=1.

    原式=x3+x2+x2+x-x+1997=x(x2+x-1)+(x2+x)+1997=x×0+1+1997=1998.

    說(shuō)明 如果從已知式中得出字母的值,再直接代入計(jì)算過(guò)程相當(dāng)繁瑣.將已知的代數(shù)式的值,整體代入待求的代數(shù)式中求值,可以大大減少運(yùn)算量,化繁為易.

    ②當(dāng)x2-4x+1=0時(shí),求的值.

    解 ①解法1:將已知式變形得x2=3x-1,x2+1= 3x.原式=

    ②解法2:

    說(shuō)明 若已知條件式是二次三項(xiàng)式,可以根據(jù)待求式的特征,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?,然后利用整體代入以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的.

    例3 已知-2x+y=5,求20x2-20xy+5y2-6x+3y +1870的值.

    分析 用整體思維處理問(wèn)題,就是從大處著眼,不局限于細(xì)微枝節(jié),有時(shí)可把已知條件或解題中所得的中間結(jié)果作為一個(gè)整體,代入所求的式子中,使問(wèn)題能快捷解決.

    將2x-y視為一個(gè)整體,直接代入原式方便而快速求解.

    解 由-2x+y=5,得2x-y=-5,

    原式=5(2x-y)2-3(2x-y)+1870

    =5×(-5)2-3×(-5)+1870

    =2010.

    例4 當(dāng)x=-3時(shí),代數(shù)式ax5+bx3+cx-8=6,求當(dāng)x=3時(shí),ax5+bx3+cx-8的值.

    分析 因無(wú)法分別求出a、b、c的值,可把a(bǔ)x5+bx3+ cx看作一個(gè)“整體”,先求其值.

    解 當(dāng)x=-3時(shí),由已知可得35a+33b+3c=-14.故當(dāng)x=3時(shí),ax5+bx3+cx-8=35a+33b+3c-8=-14-8= -22.

    分析 把5x-4看成一個(gè)整數(shù),即可消去x.

    解 把②代入①,得4y=3+3y,即y=3.

    把y=3代入②得5x-4=6,即x=2.

    代換思想是解題中常用的策略,對(duì)于一般的代換思想同學(xué)們并不陌生,這里給出一個(gè)非常規(guī)的整體求解,整體代換的實(shí)例.

    例6 已知x+y+z=3,求證:(x-1)2+(y-1)2+ (z-1)2=2[(x-1)(1-y)+(y-1)(1-z)+(z-1)(1-x)].

    分析 本題若從常規(guī)方法考慮,無(wú)疑是很繁瑣的,通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn):求證的式子有點(diǎn)像(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

    再觀察條件x+y+z=3,可變?yōu)閤-1+y-1+z-1= 0于是可采用整體求解,整體代換的思想.

    證 ∵x+y+z=3,

    ∴(x-1)+(y-1)+(z-1)=0,

    ∴[(x-1)+(y-1)+(z-1)]2=0,

    ∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+2(x-1)(y-1)+ 2(x-1)(z-1)+2(y-1)(z-1)=0,

    ∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=2[(x-1)(1-y) +(y-1)(1-z)+(z-1)(1-x)].

    在解決一些數(shù)學(xué)題時(shí),有些問(wèn)題如果說(shuō)分開(kāi)來(lái)看,似乎很不好處理,找不到解決問(wèn)題的關(guān)鍵,但作為一個(gè)整體來(lái)處理,就變得容易一些.

    G632

    B

    1008-0333(2017)05-0006-01

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