例談“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”*

□ 郜舒竹 常 鑫

例談“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”*

□ 郜舒竹 常 鑫

關(guān)于“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”可以理解為：人能夠成功實(shí)施與數(shù)學(xué)相關(guān)的行動(dòng)所具備的條件。在一節(jié)主題為“密碼中的規(guī)律”的展示課中，學(xué)生針對(duì)蘭福德問(wèn)題的探索過(guò)程中，經(jīng)歷了在觀察過(guò)程中感受規(guī)律并描述規(guī)律的活動(dòng)，面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題經(jīng)歷特殊化的思考活動(dòng)，解決問(wèn)題之后運(yùn)用從特殊到一般的思維方式經(jīng)歷問(wèn)題生問(wèn)題的活動(dòng)，遇到問(wèn)題難以解決的困難時(shí)，經(jīng)歷運(yùn)用直覺(jué)的思維方式進(jìn)行猜想的活動(dòng)，以及對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題追求其完美解決的活動(dòng)。凡此對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成會(huì)有所裨益。

素養(yǎng) 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 學(xué)習(xí)活動(dòng)

如果把素養(yǎng)理解為“人之本身”的修養(yǎng)，那么“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”就可以理解為數(shù)學(xué)專業(yè)工作者或數(shù)學(xué)家所擁有的專業(yè)修養(yǎng)。依據(jù)這樣的理解很難演繹出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”作為一個(gè)概念所包含的內(nèi)容（外延），當(dāng)然也就無(wú)法將數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的活動(dòng)建立聯(lián)系，因此作為數(shù)學(xué)教師也就無(wú)法將其落實(shí)到日常的數(shù)學(xué)教學(xué)及其評(píng)價(jià)之中。究竟應(yīng)當(dāng)如何理解數(shù)學(xué)素養(yǎng)？如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中真正實(shí)現(xiàn)“素養(yǎng)導(dǎo)向”？這些就成為了亟待回答的問(wèn)題。

一、如何理解“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”

如果把對(duì)素養(yǎng)的理解指向“人之行動(dòng)”，把“人的素養(yǎng)”與“人的行動(dòng)”聯(lián)系在一起，也就是把素養(yǎng)看作是人能夠成功行動(dòng)的先決條件，那么素養(yǎng)這一具有抽象性的概念就具體化并且行為化了。據(jù)此，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就可以演繹為是人能夠成功實(shí)施與數(shù)學(xué)相關(guān)的行動(dòng)所具備的條件。其中的行動(dòng)可能是對(duì)事物的觀察，對(duì)概念的理解，可能是數(shù)學(xué)中的計(jì)算，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的使用，也可能是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，等等。這樣的素養(yǎng)不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，同時(shí)也包括諸如情感、態(tài)度以及經(jīng)驗(yàn)、方法等。

在“經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織①英譯：Organization for Economic Co-operation and Development（以下簡(jiǎn)稱OECD）所開(kāi)展的“國(guó)際學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目②英譯：The Programme for International StudentAssessment（以下簡(jiǎn)稱PISA）”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試中，明確指出：“所測(cè)試的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是針對(duì)15歲學(xué)生在義務(wù)教育結(jié)束時(shí)，對(duì)于日常生活活動(dòng)中使用數(shù)學(xué)的能力?！币虼?，PISA所說(shuō)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)實(shí)質(zhì)上是與“用數(shù)學(xué)”的行動(dòng)聯(lián)系在一起的，其測(cè)試內(nèi)容并不是與數(shù)學(xué)相關(guān)的全部行動(dòng)及其素養(yǎng)。

綜上，如果把數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)定位于素養(yǎng)導(dǎo)向，那么就應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)素養(yǎng)理解為學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，經(jīng)歷各種與數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中所能夠習(xí)得的素養(yǎng)。鑒于數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的這種關(guān)系，那么素養(yǎng)導(dǎo)向數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原理就應(yīng)當(dāng)是創(chuàng)造機(jī)會(huì)和環(huán)境，讓學(xué)生“親身經(jīng)歷”與數(shù)學(xué)相關(guān)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。接下來(lái)的問(wèn)題是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中可能經(jīng)歷什么樣的活動(dòng)。這樣的問(wèn)題，很難作出全面、準(zhǔn)確的回答，因此需要通過(guò)具體案例進(jìn)行歸納并且積累。

2016年11月在杭州舉辦的“第一屆西湖之秋全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研討峰會(huì)”上，有一節(jié)由北京市朝陽(yáng)區(qū)南磨房中心小學(xué)常鑫老師執(zhí)教的主題為“密碼中的規(guī)律”的展示課。本節(jié)課的核心內(nèi)容選用的是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)著名的排列問(wèn)題：將六個(gè)數(shù)字：1，1，2，2，3，3排成一排，使得兩個(gè)1之間有一個(gè)數(shù)字，兩個(gè)2之間有兩個(gè)數(shù)字，兩個(gè)3之間有三個(gè)數(shù)字。雖然這是專業(yè)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其實(shí)是源于年幼兒童玩積木的游戲。

這一問(wèn)題最早于1958年10月刊登于英國(guó)一個(gè)名為《Mathematical Gazette》的期刊上。提出問(wèn)題的作者是蘇格蘭的一位名叫杜德利·蘭福德（Dudley Langford）的數(shù)學(xué)家，因此這個(gè)問(wèn)題被后人稱為“蘭福德問(wèn)題（Langford Problem）”。蘭福德發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題的靈感來(lái)源于對(duì)年幼兒子玩弄彩色積木的觀察。（見(jiàn)圖1）

圖1 兒童搭積木示意圖

一共6個(gè)木塊，其中紅色、黃色和藍(lán)色各有2個(gè)，自下而上擺成一列后發(fā)現(xiàn)，2個(gè)紅色木塊之間有1個(gè)木塊，2個(gè)黃色木塊之間有2個(gè)木塊，2個(gè)藍(lán)色木塊之間有3個(gè)木塊。蘭福德改用數(shù)字1、2、3分別代表紅、黃、藍(lán)三種顏色的木塊，就得到了一個(gè)有規(guī)律排列的六位數(shù)：312132。

無(wú)論是6個(gè)木塊還是6個(gè)數(shù)字，排成一排可以有許多各式各樣的排法。能夠注意到其中的“312132”，實(shí)際上就是感知到了其中的某種規(guī)律，這一規(guī)律可以表述為：兩個(gè)幾之間就有幾個(gè)數(shù)。也就是1和1之間、2和2之間以及3和3之間數(shù)字個(gè)數(shù)的一種共性，正是這樣的共性溝通了不同對(duì)象之間的聯(lián)系，使得不同對(duì)象共同構(gòu)成有機(jī)的整體。這種不同對(duì)象之間的聯(lián)系就是通常所說(shuō)的規(guī)律，因此可以說(shuō)，“312132”是一個(gè)按照一定規(guī)律排列的六位數(shù)。

這樣“異中求同”的想法可以應(yīng)用于對(duì)許多事物的認(rèn)識(shí)，比如幾何中對(duì)圓形的認(rèn)識(shí)，如果在圓周上隨便選取兩個(gè)不同位置的點(diǎn)，其共同的屬性是，到圓心的距離都一樣。正是這樣的“異中之同”溝通了圓周上不同位置點(diǎn)之間的聯(lián)系，進(jìn)而決定了圓形的形狀，使得圓形成為了一個(gè)有規(guī)律的圖形。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，經(jīng)常經(jīng)歷這樣“異中求同”以及“動(dòng)中求靜”的觀察與思考，對(duì)于逐步養(yǎng)成與“觀察”以及“理解”行動(dòng)相關(guān)的素養(yǎng)，無(wú)疑會(huì)有所裨益。

二、從特殊到一般

在發(fā)現(xiàn)了有規(guī)律排列的六位數(shù)“312132”后，接下來(lái)要思考的問(wèn)題是，符合規(guī)律的排列方法是不是唯一的？如果不是唯一的，如何找到所有符合這樣規(guī)律的答案？回答這樣的問(wèn)題具有一定的復(fù)雜性，數(shù)學(xué)家通常的思路是采用“特殊化（Specialization）”的方法，也就是選擇一個(gè)相對(duì)容易的地方入手，這種相對(duì)容易的地方往往處于“極端情況”。

上面問(wèn)題中兩個(gè)“1”之間只能擺放一個(gè)數(shù)字，因此就是一個(gè)相對(duì)容易的極端情況。這個(gè)數(shù)字只有2和3兩種可能性，可以逐一進(jìn)行試驗(yàn)。如果兩個(gè)1之間是2，就可以排出三個(gè)數(shù)字：121，這時(shí)左右兩邊只能是兩個(gè)3，即排出了五個(gè)數(shù)字：31213，還剩下一個(gè)2，放在左右兩邊都可以滿足要求：231213、312132，因此就得到了本題的兩個(gè)答案。另外一種可能性是兩個(gè)1之間是3，排出三個(gè)數(shù)字為：131，這時(shí)在右邊只能排2，即1312，這樣另一個(gè)2就無(wú)處可放了，說(shuō)明兩個(gè)1之間不能是3。所以本題的答案只能是：231213和312132。

解決這一問(wèn)題還有一個(gè)思路，是從最大的極端情況入手，即從兩個(gè)3之間進(jìn)行思考。（見(jiàn)圖2）

圖2 六位數(shù)排列第一步示意圖

雖然兩個(gè)3之間需要擺放三個(gè)數(shù)字，較為復(fù)雜，但兩個(gè)3所處的位置的可能性較少，只有圖2中（a）和（b）兩種可能，因此也相對(duì)容易入手。如果兩個(gè)3按圖2（a）方式擺放，那么左數(shù)第二個(gè)位置不能是2（否則另一個(gè)2與右數(shù)第二個(gè)位置的3重疊），因此只能放1。因此得到如圖3的排列。

圖3 六位數(shù)排列第二步示意圖

剩下兩個(gè)空位恰好放置兩個(gè)2，因此得到答案為：312132。對(duì)于圖2（b）的情況也可以用完全相同的方法得到答案為：231213。

312132和231213這兩個(gè)答案從形式上看是不一樣的，但在數(shù)學(xué)家眼里兩者沒(méi)有區(qū)別，因?yàn)闊o(wú)論哪一個(gè)，如果從右向左看與另外一個(gè)答案就完全相同，因此兩者僅是觀看順序的不同，而沒(méi)有本質(zhì)的差別。所以問(wèn)題的答案可以認(rèn)為是唯一的。

像上面這樣面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題所采用的“特殊化”的方法，實(shí)際上就是辯證唯物主義方法論中“化繁為簡(jiǎn)、化難為易”的具體體現(xiàn)。自然應(yīng)當(dāng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)習(xí)得的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

至此，對(duì)于有規(guī)律地排列六位數(shù)的蘭福德問(wèn)題可以說(shuō)已經(jīng)得到解決。但對(duì)于問(wèn)題的思考并沒(méi)有停止，自然而然地應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步去想有沒(méi)有類似的問(wèn)題，或者具有更廣泛意義的問(wèn)題。這種思維方式通常叫作“一般化（Generalization）”，一個(gè)相對(duì)具體的問(wèn)題解決后，總要設(shè)法將其推廣到更大的范圍，使其具有更廣泛的意義。

如果把本題的六個(gè)數(shù)改為八個(gè)數(shù)：1，1，2，2，3，3，4，4，將這八個(gè)數(shù)排一排，使得兩個(gè)幾之間就有幾個(gè)數(shù)。用前面的方法不難得到答案為：23421314和41312432。如果不考慮觀看順序的差別，那么這兩個(gè)答案同樣也可以看作是一樣的，也就是對(duì)于有規(guī)律地排列八位數(shù)的蘭福德問(wèn)題，答案也是唯一的。

從舊的問(wèn)題去發(fā)現(xiàn)并提出新的問(wèn)題，如此反復(fù)進(jìn)而形成“問(wèn)題鏈”，應(yīng)當(dāng)說(shuō)是數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中常見(jiàn)的現(xiàn)象。當(dāng)然也應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷的重要活動(dòng)。進(jìn)而逐步形成“問(wèn)題生問(wèn)題”的意識(shí)，應(yīng)當(dāng)說(shuō)也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)方面。

三、直覺(jué)的力量

在前面問(wèn)題解決的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步需要思考的問(wèn)題是：如果最大數(shù)改為兩個(gè)5的十個(gè)數(shù)字：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，怎樣排出滿足要求的十位數(shù)？這樣的敘述，是延續(xù)了前面的思維方式，是在排法“存在”的前提下提出來(lái)的。但是經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，怎么也排不出來(lái)。面對(duì)這種“排不出來(lái)”的困境，應(yīng)當(dāng)想到會(huì)有兩種可能性。

●第一是排法存在，還沒(méi)找到；

●第二是排法根本不存在。

究竟哪一種可能性比較大，目前并沒(méi)有足夠的理由作出準(zhǔn)確的判斷，如果相信“排法存在”，下一步的工作將是繼續(xù)努力尋找；如果相信“排法不存在”，那么下一步努力的方向就不再是尋找排法，而是設(shè)法說(shuō)明“不存在”的理由，也就是證明不存在。

人在遇到困難或者身處困境的時(shí)候，既不應(yīng)當(dāng)氣餒而退縮，也不應(yīng)當(dāng)盲目而蠻干。智慧的表現(xiàn)應(yīng)當(dāng)是能夠全面地列舉有可能擺脫困境的各種可能性，并對(duì)各種可能性的大小作出判斷。像這樣對(duì)可能性的思考，以及在沒(méi)有足夠證據(jù)的情況下所作出判斷的思維過(guò)程，就是數(shù)學(xué)家經(jīng)常使用的“直覺(jué)（Intuition）”思維，由此獲得的判斷叫作“猜想（Con?jecture）”。

如果猜想排法不存在。接下來(lái)就要去說(shuō)明“排法”不存在的道理?？梢圆捎谩疤罡瘛钡霓k法，將五個(gè)方格和五個(gè)圓圈相間地排一排。（見(jiàn)圖4）

圖4 十位數(shù)圖形排列示意圖

對(duì)兩個(gè)相同的偶數(shù)，比如“2，2”來(lái)說(shuō)，因?yàn)閮烧咧g間隔偶數(shù)個(gè)數(shù)字，因此無(wú)論怎樣排，必然是一個(gè)放在□中，另一個(gè)放在○中，一共有兩對(duì)偶數(shù)“2，2”和“4，4”，所以這四個(gè)數(shù)字就占據(jù)了兩個(gè)□和兩個(gè)○，還剩下三個(gè)□和三個(gè)○。

對(duì)于兩個(gè)相同奇數(shù)來(lái)說(shuō)，無(wú)論怎樣排，必然放在同樣的圖形內(nèi)，要么都是□，要么都是○。而現(xiàn)在還剩下三對(duì)奇數(shù)：“1，1”“3，3”“5，5”，如果兩個(gè)1占據(jù)兩個(gè)□，兩個(gè)3占據(jù)兩個(gè)○，剩下一個(gè)□和一個(gè)○，兩個(gè)5就無(wú)法放置在相同圖形內(nèi)了。

因此可以得出結(jié)論，對(duì)最大數(shù)為兩個(gè)5的十個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)，這樣的排法是不存在的。用同樣的方法也可以說(shuō)明對(duì)于最大數(shù)為兩個(gè)6的12位數(shù)，滿足要求的排法也是不存在的。證明了“不存在”，在數(shù)學(xué)研究中也被認(rèn)為是解決了問(wèn)題?，F(xiàn)在可以說(shuō)針對(duì)蘭福德問(wèn)題，已經(jīng)解決了最大數(shù)分別為3、4、5、6的情況。

排法有時(shí)存在，有時(shí)不存在，數(shù)學(xué)家通常就會(huì)敘述出涵蓋特殊情況的一般問(wèn)題。對(duì)于2n個(gè)數(shù)：

1，1，2，2，3，3，……，n，n

前面問(wèn)題的結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)n=3和n=4時(shí)，滿足要求的排法存在，而且在不考慮觀看順序的情況下，排法是唯一的。當(dāng)n=5和n=6時(shí)，滿足要求的排法不存在。進(jìn)一步需要研究的問(wèn)題是：當(dāng)n滿足什么條件時(shí)，這樣的排法存在？對(duì)于排法存在的情況，一共有多少種不同的排法？

用與前面類似的方法可以得到結(jié)論為：如果n是4的倍數(shù)或者是被4除余數(shù)為3的整數(shù)，那么排法存在。如果n是被4除余數(shù)為1或2的整數(shù)，那么排法不存在。

比如，如果n=5，被4除的余數(shù)為1，排法不存在。如果n=6，被4除的余數(shù)為2，排法也不存在。如果n=7，被4除的余數(shù)為3，排法存在，比如73161345726425就是其中的一種排法。同樣n=8是4的倍數(shù)，排法存在，一種排法為：627425864375 1318。

四、真實(shí)的問(wèn)題帶來(lái)真實(shí)的學(xué)習(xí)

蘭福德問(wèn)題自1958年出現(xiàn)后，吸引了許多人的關(guān)注。已故美國(guó)著名的數(shù)學(xué)游戲?qū)＜荫R丁·加德納（Martin Gardner，1914年10月21日—2010年5月 22日）分別在1967年11月、12月以及1968年3月的《科學(xué)美國(guó)人（Scientific American）》期刊上，三次討論過(guò)這個(gè)問(wèn)題。這一問(wèn)題目前已經(jīng)成為一些“組合數(shù)學(xué)”和“數(shù)論”教科書(shū)中的經(jīng)典例題。由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)1986年舉辦的“第一屆全國(guó)數(shù)學(xué)冬令營(yíng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽”中，也采用了這一問(wèn)題對(duì)于“n=1986”的情況作為試題之一。

迄今為止，蘭福德問(wèn)題并沒(méi)有得以徹底解決，目前對(duì)于排法存在的情況，如何找到全部排法仍然是個(gè)難題。一些數(shù)學(xué)家為了追求完美的結(jié)論，仍然在探索著。比如對(duì)于n=7的情況，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有26種不同的排法。（見(jiàn)圖5）

圖5 n=7蘭福德問(wèn)題排法

蘭福德問(wèn)題是數(shù)學(xué)界真實(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題，將這種真實(shí)的問(wèn)題引入數(shù)學(xué)課程，自然會(huì)給學(xué)生帶來(lái)真實(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。選用蘭福德問(wèn)題作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主要基于三點(diǎn)理由。

第一是對(duì)國(guó)家課程中所規(guī)定的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充和完善。在國(guó)家課程“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中有“探索規(guī)律”的內(nèi)容，而教科書(shū)中所出現(xiàn)的相關(guān)內(nèi)容多為觀察方向單一或者循環(huán)排列的數(shù)列。而蘭福德問(wèn)題中的規(guī)律更傾向于“圖案（Pattern）”的特征，觀察的著眼點(diǎn)在于相同數(shù)字之間數(shù)字的個(gè)數(shù)與這兩個(gè)相同數(shù)字之間的相等關(guān)系，與諸如“112233”這種從左到右有規(guī)律的排列，或者“123123”這種從左至右同時(shí)具有循環(huán)規(guī)律的排列，都是不一樣的。因此讓學(xué)生經(jīng)歷這樣內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有益于拓展學(xué)生對(duì)于探索規(guī)律這一課程內(nèi)容的視野。

第二個(gè)理由是蘭福德問(wèn)題的思考與解決過(guò)程中，蘊(yùn)含著豐富并且真實(shí)的與數(shù)學(xué)研究相關(guān)的活動(dòng)。比如在觀察過(guò)程中感受規(guī)律并描述規(guī)律的活動(dòng)，面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題經(jīng)歷特殊化的思考活動(dòng)，解決問(wèn)題之后運(yùn)用從特殊到一般的思維方式經(jīng)歷問(wèn)題生問(wèn)題的活動(dòng)，遇到問(wèn)題難以解決的困難時(shí)，經(jīng)歷運(yùn)用直覺(jué)的思維方式進(jìn)行猜想的活動(dòng)，以及對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題追求其完美解決的活動(dòng)。學(xué)生經(jīng)歷如此豐富的活動(dòng)，自然有益于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成。

第三個(gè)理由是蘭福德問(wèn)題認(rèn)知起點(diǎn)較低，富于趣味性和操作性。馬丁·加德納曾經(jīng)在《科學(xué)美國(guó)人》期刊中提及，可以用撲克牌直觀操作探索蘭福德問(wèn)題。比如對(duì)于“312132”的排列，可以用撲克牌表示為圖6的形式（圖中“A”代表數(shù)字“1”）。

圖6 撲克牌排列示意圖

在實(shí)際教學(xué)中，為了讓學(xué)生感受到此類問(wèn)題的實(shí)際意義，還可以針對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中，人們?cè)谑褂弥T如支付寶、微信錢包、網(wǎng)上銀行等活動(dòng)中，需要編制既私密又易記的密碼的需求，讓學(xué)生感受到這一內(nèi)容的實(shí)際應(yīng)用，進(jìn)而產(chǎn)生探索的動(dòng)機(jī)。

整個(gè)問(wèn)題的探索過(guò)程可以分為問(wèn)題提出、問(wèn)題解決、問(wèn)題推廣以及總結(jié)反思幾個(gè)階段，教師可以針對(duì)學(xué)生的年齡特點(diǎn)進(jìn)行更有針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì)。

[1]郜舒竹.用歸納的方法理解“素養(yǎng)”[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2017，1/2.

[2]César Sáenz.The Role of Contextual，Conceptual and Procedural Knowledge in Activating Mathematical Competencies（PISA）[J]Educational Studies in Mathematics，Vol.71，No.2（Jun.，2009），pp.123～143.

[3]Langford，C.D.Problem[J].Mathematical Gazette，Vol.42，No.228（Oct.，1958），p.228.

[4]Gardner，M.Mathematical Magic Show：More Puzzles，Games，Diversions，Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American[M].New York：Vintage，pp.70 and 77～78，1978.

[5]P.R.Lloyd.Letter to editor[J].The Mathematical Gazette，Vol.55，No.391（Feb.，1971），p. 73.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048北京市朝陽(yáng)區(qū)南磨房中心小學(xué) 100124）

2016年北京市科技計(jì)劃面上項(xiàng)目“數(shù)學(xué)的教育形態(tài)研究”（KM201610028020）。