為理解而教 為遷移而學
——“積、商的變化規(guī)律”教學案例引發(fā)的思考

□ 陳云英

為理解而教 為遷移而學
——“積、商的變化規(guī)律”教學案例引發(fā)的思考

□ 陳云英

以“積的變化規(guī)律”和“商的變化規(guī)律”兩個教學案例為例，來分析教學中學生出現(xiàn)的兩種現(xiàn)象：只會做不會說和只會說不會做。鑒于此，教師應該為學生對知識點的理解而教學，情境的設計、小組的討論、板書的設計等都應該為此服務；作為課堂主體的學生，應該在理解知識的基礎上學會知識的遷移，將知識點串點成線，系統(tǒng)地學習數(shù)學。

理解 遷移 數(shù)形結合

在教學中我們發(fā)現(xiàn)，很多學生學的是啞巴數(shù)學，他們不會用數(shù)學語言去描述一些變化規(guī)律，只知道“埋頭苦做”，知其然而不知其所以然，碰到稍微變式的題目就束手無策，無從分析；還有的學生恰好相反，他們上課發(fā)言積極，愛表現(xiàn)自己，到了獨立練習的時候卻往往頻頻出錯，不會分析和解答了，甚至有的方法還是他自己舉手發(fā)言過的。這一類學生往往是口頭表達能力好，在課堂上“照樣子說話”的能力很強，其實并沒有真正的學懂。這些學生過了一年或兩年再回憶起所學的知識點時，沒有一丁點印象。因此，教師在教學中應該為學生對知識點的理解而教學，而作為課堂主體的學生在理解知識的基礎上學會知識的遷移，將知識點串點成線，系統(tǒng)地學習數(shù)學。下面筆者就以“積的變化規(guī)律”和“商的變化規(guī)律”兩個教學案例為例，來談一點思考。

【案例回顧】

“積的變化規(guī)律”案例回顧：說得好，做得差

一個教齡3年的教師參加“一師一優(yōu)”課活動，拍攝一節(jié)數(shù)學課，內容是人教版四年級上冊第52頁的“積的變化規(guī)律”。教師出示教材的兩組乘法算式：（1）6×2=12，6×20=120，6×200=1200。（2）20× 4=80，10×4=40，5×4=20。讓學生通過觀察、比較、分析、說理、交流等一系列的活動，順利歸納總結出了積的變化規(guī)律，并還會用數(shù)學語言刻畫這個規(guī)律，在分小組驗證環(huán)節(jié)，學生聯(lián)系自己已有的數(shù)學學習經驗來舉例驗證，分享結果。課堂上學生表現(xiàn)活躍，參與積極，數(shù)學語言表述準確到位。但是筆者發(fā)現(xiàn)，學生到了實際應用環(huán)節(jié)卻開始頻頻出現(xiàn)問題。在練習“做一做”第1題時（見下圖），學生對于第一組和第二組計算正確率較高，第三組就出現(xiàn)有的學生雖然計算結果正確但是沒有按規(guī)律來計算結果，這或許是受數(shù)據(jù)關系的影響。

為了了解學生的學習情況，教師增加了第一個因數(shù)不變，第二個因數(shù)依次擴大到原數(shù)的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍的規(guī)律，并將算式順序打亂，這時學生的速度明顯慢了，錯誤率也大幅提高。

14×17=238 14×34= 14×102=

14×51= 14×85= 14×68=

又如“做一做”的第2題（如下圖），僅個別學生會用積的變化規(guī)律去解答題目。

“商的變化規(guī)律”案例回顧：說得差，做得好

這是一節(jié)校級的教研課，上課的是一位有8年教齡的教師，所帶的班級是從一年級帶上來的，學生基礎扎實，思維活躍。在課的一開始，教師先讓學生復習回顧積的變化規(guī)律，然后根據(jù)積的變化規(guī)律猜一猜商的變化規(guī)律。接著教師引導：誰說得對？誰說的不對呢？我們用兩組算式來驗證猜測。教師出示了例題的兩組算式（見下圖），先計算然后觀察找規(guī)律。一開始學生一片沉默，不太會用數(shù)學語言來描述，后來在教師的引導下逐漸會說，但是僅僅停留在舉例的兩道題之間的規(guī)律，如16÷ 8=2和160÷8=20，學生會說：除數(shù)不變，被除數(shù)乘10商也乘10。但是用完整數(shù)學語言來描述規(guī)律，許多學生則有一定的難度，特別是第二組的規(guī)律。

而第三組是商不變的規(guī)律（見下圖），學生通過觀察、交流、反饋比較輕松地得出了商不變的性質，相對于上面兩組變化規(guī)律，第三組學生的數(shù)學語言表達清楚準確。

接著是“做一做”的練習（見圖1），出乎我的意料，學生的練習準確率很高，原來“做一做”的題全都是應用商不變規(guī)律來寫商的，怪不得！課后有一個成績中等的學生對我說：“數(shù)學好復雜啊，商的三個變化規(guī)律都把我變暈了！”“那你學會了嗎？”“會了。”可是當教師讓她來描述學到的規(guī)律時，僅僅是商不變規(guī)律描述準確，其他都不完整。其中有一個學生還補充說：“其實你不用暈，其他的兩個規(guī)律是沒有用的，只要會用商不變的規(guī)律就可以了，我在做題的時候沒有用過其他的規(guī)律?！薄澳蔷毩暤?題（見圖2）根據(jù)規(guī)律寫商，第一組的最后一題和第三組的第2題你是怎么想的？”“直接算出來就很簡單??！”他答道。事實果真如此嗎？

圖1

圖2

【我的思考】

思考一：播好“種子”，給知識生長的力量

特級教師俞正強老師說：如果將某一知識系統(tǒng)作為一棵樹，這棵樹的生長過程表現(xiàn)為若干“課”，那么，一定有一些課需要“蒔也若子”，充分理透脈絡；一定有一些課可以“置也若棄”，讓學生充分自主?！吧P也若子”的課，通常處于起點或者節(jié)點，謂之“種子課”?！爸靡踩魲墶钡恼n通常處于點與點之間，謂之“生長課”。以此觀來，《積的變化規(guī)律》就是一節(jié)種子課，《商的變化規(guī)律》則既可以看作生長課也可以看作種子課。就學習方法來說，因為有了《積的變化規(guī)律》的基礎，可以看作是生長課；就知識點來說，它是學習小數(shù)除法和整數(shù)除法簡便方法的開始，所以看作是種子課。

“積的變化規(guī)律”既然作為一顆學習方法的“種子”，我們的教學就要更加關注學生對規(guī)律的方法的得出。在課的一開始教師出示問題一：積在什么情況下會變化？以2×3=6為例。學生思考觀察得出：當因數(shù)發(fā)生變化時，積就會發(fā)生變化。接著出示問題二：積的變化和因數(shù)的變化有怎樣的關系？讓學生先說一說打算怎么研究這個問題。學生紛紛提出可以舉例對比研究。這時候探討研究的方法很重要，讓學生自己去探討研究的策略，為以后的“生長”播下了種子。教師適當出示小組學習單：為了研究的方便，我們可以從一個因數(shù)不變、另一個因數(shù)變化開始研究。通過獨立研究—小組研究—全班交流，學生對于積的變化規(guī)律已經了如指掌了。在課的結尾可以適當提升學習的方法：如果我們有一天把積的變化規(guī)律忘記了怎么辦？說著擦掉板書。學生說可以看一看上面的例子就知道了。教師把例子也擦了：例子也沒有了怎么辦？學生恍然大悟：我們可以自己舉例研究。學生的回答再一次證明了學習方法的重要，課后教師讓學生回去用同樣的方法研究一下兩個因數(shù)的變化規(guī)律，第二天學生紛紛交上了滿意的答案。因為有了這一課的“種子”，學習“商的變化規(guī)律”時學生自己紛紛自主舉例研究，發(fā)現(xiàn)三個規(guī)律。所以在這兩個課時之間，學習方法是可以遷移的，當遷移成功的時候學生的學習能力就得到了提升。

思考二：數(shù)形結合，透過表象看本質

數(shù)形結合是非常重要的一種數(shù)學思想，華羅庚教授曾經說過：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合萬般好，隔離分家萬事非。在學生初步感悟積的變化規(guī)律后，運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算另外兩個長方形的面積（見下圖）。

將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應用于實際問題的解決，感受由數(shù)的變化引起面積的變化，借助形的支撐，將上圖變成下圖（見下圖），學生再一次感受到了積的變化規(guī)律。讓學生對比其中的兩個長方形，具體表述積的變化規(guī)律。接著請學生根據(jù)第1題的計算，自己創(chuàng)造一個蘊含著積的變化規(guī)律的圖形，請同桌計算并表述其中的規(guī)律。接著請學生解決“做一做”第2題長方形的面積時，大部分學生就選擇用560×（24÷8）這個方法來解答，請學生說想法的時候學生很自然地畫了示意圖來解釋。

又如在學生初步感知商的變化規(guī)律時，教師請學生填表計算，說一說發(fā)現(xiàn)了什么？

通過填表發(fā)現(xiàn)，單價是不變的。教師繼續(xù)追問：你能用今天學的知識來解釋一下嗎？學生繼而恍然大悟：被除數(shù)（總價）和除數(shù)（數(shù)量）同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），商（單價）不變。接著教師又出示一幅統(tǒng)計圖，并請學生在統(tǒng)計圖上找到相對應的點，觀察連成的線的特征，估一估三本的總價是多少？你能找出來嗎？12本的總價又會在哪？其實這就是六年級要學的正比例的圖形，學生已經有了一定的基礎了。

這樣由數(shù)解釋形，由形概括數(shù)，數(shù)形結合，掌握了概念的特征，深刻地理解了概念的本質特征，這就是直觀模型帶來的支撐作用。

思考三：重“理”輕“誦”，為遷移而學

在上面這兩個案例教學中，教師都非常重視學生對變化規(guī)律概念的背誦，但是如果不是建立在理解基礎上的背誦往往是無效的。在概念教學中，首先要通過一系列的學習情境讓學生理解概念，發(fā)現(xiàn)、概括、找到規(guī)律，然后用數(shù)學語言來描述它，最后會利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決實際問題。數(shù)學知識不是單獨孤立存在的，每一個知識點都有它的前連后延，例如，“商的變化規(guī)律”一課中有三個變化規(guī)律，但是第一個和第二個變化規(guī)律在習題的練習中很少出現(xiàn)，只有商不變性質應用得比較多，難道真如學生所說的是沒有用的嗎？不是的，這兩個變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)讓學生完整地感受到了商的變化規(guī)律的特征，初步感受到了被除數(shù)、除數(shù)、商三者之間變與不變的本質特征，為學生以后更全面地思考問題養(yǎng)成了良好的習慣。

教師為“理解”而教，情境的創(chuàng)設、學習方法的選擇等都要圍繞這一目標；學生為“遷移”而學，理清知識的前連后延，構建大數(shù)學網(wǎng)絡。在學生的腦中不斷植入思考的種子，我們希望聽到學生說：數(shù)學原來這么有趣！原來這么簡單！

[1]陳珠妺.讓學生自主地學習[J].課程教育研究，2015（，6）.

（浙江省天臺縣福溪街道中心小學 317200）