淺談一般數(shù)列的求和問題

李政廷

G634.6

數(shù)學(xué)是高中階段的主要學(xué)科，對我們高中生的高考有直接的影響，而數(shù)列問題又是數(shù)學(xué)課程的重要組成部分。因此，在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要課題，也是我們學(xué)生學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，我們須對數(shù)列求和問題要有足夠的重視。而如何借助有效的方法解答求和問題，切實提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)效果，使學(xué)生掌握好這一重要知識，也是每位數(shù)學(xué)老師努力鉆研的目標(biāo)。在本文中我對數(shù)列求和問題的方法進行了歸納，希望可以為當(dāng)前的高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供有益的借鑒。

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。學(xué)生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實際問題。從歷年高考的情況我們可以發(fā)現(xiàn)，高考數(shù)列綜合試題往往呈現(xiàn)以下特點：以知識和方法立意考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，以求數(shù)列的通項公式和前n項和公式為主線，考查數(shù)列中的重要方法。 數(shù)列求和問題的解決，既可以采用基本的公式法，也可以采用技巧性更強的其他方法，如裂項相消法、分組相加法、倒數(shù)相加法等，要根據(jù)具體問題具體分析和應(yīng)用不同解題方法。下面我們來了解一下數(shù)列求和的基本知識和方法。

一、牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

數(shù)列求和問題是高中數(shù)學(xué)重要的組成部分，要掌握好這部分知識，應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生牢固掌握最基本的數(shù)列知識。如數(shù)列的定義、性質(zhì)和基本公式等。我們要牢記掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念。等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列叫作等差數(shù)列；等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列叫作等比數(shù)列。

二、利用數(shù)列基本公式進行求和

在牢固掌握數(shù)列知識的基礎(chǔ)上，遇到數(shù)列求和問題時，可首先分析是否可以套用公式進行解答，是數(shù)列求和問題中較為容易的一類。在利用數(shù)列基本公式進行數(shù)列求和時，要注意公式的準(zhǔn)確性，如果公式不正確，答案自然也南轅北轍。因此，學(xué)生一定要認真記憶公式。 利用公式法求和是數(shù)列求和問題中較為簡單的一種，一般來說，這類題型可以直接套用公式，或只需要簡單的分類合并，再套用公式進行解答。在教學(xué)過程中，老師們應(yīng)該要求學(xué)生牢固掌握這類解題方法，在考試中，這類問題是很容易得分的題型。

三、采用錯位相減法求和

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。如An=BnCn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列；分別列出Sn，再把所有式子同時乘以等比數(shù)列的公比，即kSn；然后錯一位，兩式相減即可。當(dāng)有待定系數(shù)時，要進行分類討論。乘以公比，錯位相減，數(shù)準(zhǔn)項數(shù)，計算細心，確保結(jié)論正確。錯位相減法求和是數(shù)列求和的重要方法，是高考的?？贾攸c。

需要注意的是，錯位相減法比公式法的難度有較大提高，是學(xué)生得分較低的一類題型，在解題過程中，要注意對問題分析并尋找規(guī)律，避免漏項或書寫錯誤，從而得到問題的正確答案。老師們在講解這個方法時，也可以結(jié)合學(xué)生常犯的錯誤，并按照一定的流程進行講解，讓更多的學(xué)生掌握這種求和方法。

四、借助裂項相消法求和

利用解析式變形，將一個數(shù)列分成若干個可以直接求和的數(shù)列，進行拆項重組，或?qū)⑼椃至殉蓭醉椀牟?，通過相加過程中的相互抵消，最后剩下有限項的和。在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)教育學(xué)生掌握“裂項相消求和法”的幾個特征：（1）通項的分母是因式相乘的形式；（2）每項裂成兩個式子的差；（3）相鄰兩項裂開后，前一項的后式與后一項的前式互為相反數(shù)；（4）裂項的關(guān)鍵是緊抓相鄰兩項的相同項。裂項相消法求和是一種非常常見的題型，也是高考中的熱點考題。相對于其他題型來說，這種題目的難度大，有一定的思維能力，對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有很大幫助。

運用此種方法時，需要同學(xué)們注意的是：在解答此類問題時，應(yīng)當(dāng)多寫一些項，然后進行觀察，才可能看出抵消的規(guī)律，從而使用該方法解決求和問題。

五、借助倒序相加法求和

在數(shù)列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，那么可考慮選用倒序相加法。利用倒序相加法解決數(shù)列求和問題，大都是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列以及函數(shù)的重要性質(zhì)，從而順利地解答問題。在使用倒序相加法時要注意不斷變形。

綜上所述，作為高中數(shù)學(xué)重點內(nèi)容的數(shù)列求和問題，其解答方法有很多種，如公式法、錯位相減法、裂項相消法以及倒序相加法。此外，還可以利用其他求和法，如歸納猜想法、奇偶法等。以上幾種方法雖然各有其特點，有時有些數(shù)列求和問題甚至可能用到幾種求和方法，但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進行消項處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規(guī)律靈活運用，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。

六、結(jié)束語

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考和數(shù)學(xué)競賽中都占有十分重要的地位。數(shù)列求和問題是數(shù)列的基本內(nèi)容之一，也是近年來高考命題的熱點和重點。數(shù)列求和問題題型多變，思維要求高，是數(shù)列的一個難點。在面對較為復(fù)雜的數(shù)列求和問題時，我們應(yīng)當(dāng)認真分析，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等比、等差數(shù)列，然后根據(jù)題型采取不同的解答方法。這些方法體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的運用，能夠有效促進高中生門數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和能力的提升。同時，解題過程中，我們還應(yīng)當(dāng)掌握每個方法的本質(zhì)，而不能生搬硬套，否則問題答案南轅北轍。要想達到良好的學(xué)習(xí)效果，同時也需要老師們與我們互相配合，才能不斷提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率和學(xué)習(xí)質(zhì)量。