受擾線性不確定系統(tǒng)魯棒H∞混合鎮(zhèn)定

莊梁， 林燦煌， 孫洪飛

(廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院， 福建 廈門 361005)

受擾線性不確定系統(tǒng)魯棒H∞混合鎮(zhèn)定

莊梁， 林燦煌， 孫洪飛

(廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院， 福建 廈門 361005)

針對受外界擾動和參數(shù)不確定性影響的線性系統(tǒng)，同時(shí)考慮其暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，提出基于混合穩(wěn)定的魯棒H∞控制概念和控制方法.給出閉環(huán)系統(tǒng)混合穩(wěn)定且抑制外部擾動對被控輸出影響的充分條件，并將這些條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式約束.所設(shè)計(jì)的是一個(gè)關(guān)于時(shí)間連續(xù)的H∞混合鎮(zhèn)定控制器，簡化了設(shè)計(jì)過程，避免控制器切換導(dǎo)致的抖振.仿真結(jié)果表明：在外界擾動和參數(shù)不確定影響的情況下，該控制方法達(dá)到預(yù)期的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的要求，且有效抑制了干擾對系統(tǒng)狀態(tài)的影響. 關(guān)鍵詞：H∞混合鎮(zhèn)定控制器； 魯棒H∞控制； 線性不確定性系統(tǒng)； 外界擾動； 閉環(huán)系統(tǒng)

在實(shí)際應(yīng)用中，除了研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能[1]外，更加注重的是控制系統(tǒng)能否滿足相應(yīng)的暫態(tài)性能指標(biāo)要求[2].為了研究系統(tǒng)的暫態(tài)性能，Dorato首先提出了“短時(shí)間穩(wěn)定性”的概念，即后來所謂的有限時(shí)間穩(wěn)定(finite-time stable，F(xiàn)TS)，并得到學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注和研究.有限時(shí)間穩(wěn)定要求在給定時(shí)間區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)的狀態(tài)始終不超過給定界限[3-4].有限時(shí)間穩(wěn)定和李亞普若夫漸近穩(wěn)定(Lyapunov asymptotic stability，LAS)是兩個(gè)互相獨(dú)立的概念[5].對于控制過程比較短暫的系統(tǒng),如機(jī)器人操控系統(tǒng)、導(dǎo)彈系統(tǒng)等，除了研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能外，更加注重的是控制系統(tǒng)能否滿足相應(yīng)的暫態(tài)性能指標(biāo)要求.林燦煌等[6]研究了輸入受限不確定線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，并首次提出了混合穩(wěn)定的概念，給出混合穩(wěn)定的穩(wěn)定性條件.目前，控制系統(tǒng)擾動抑制采用的控制策略主要有內(nèi)模原理[7]、滑?？刂芠8-10]、自適應(yīng)干擾抑制[11]和H∞控制理論[12-13].申鐵龍[12]在控制器設(shè)計(jì)過程中不僅能實(shí)現(xiàn)對干擾的抑制，且考慮了系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型在一定范圍內(nèi)存在的不確定性影響.Sun等[13]通過H∞控制和非線性干擾觀測器解決了系統(tǒng)含有周期擾動時(shí)的控制問題.本文針對受外界擾動和參數(shù)不確定性影響的線性系統(tǒng)，同時(shí)考慮系統(tǒng)控制過程中的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，提出一種基于混合穩(wěn)定的魯棒H∞控制概念和控制方法.

1 問題描述

考慮如下受擾線性不確定系統(tǒng)

(1)

式(1)中:x∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；z∈Rp為系統(tǒng)的被調(diào)輸出；u∈Rm為系統(tǒng)的控制向量；w∈Rq為能量有限的外部干擾信號；A∈Rn×n，B∈Rn×m，G∈Rn×q，C∈Rp×n，D∈Rp×m為描述標(biāo)稱系統(tǒng)的矩陣.ΔA，ΔB是系統(tǒng)的不確定參數(shù)矩陣并假設(shè)它們是范數(shù)有界的，則有形式[14]為

(2)

外部擾動條件應(yīng)滿足

(3)

定義1[3]考慮如下線性系統(tǒng)，有

(4)

則稱該系統(tǒng)關(guān)于(c1，c2，T，R)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，其中,x0=x(0)是系統(tǒng)的初始狀態(tài).

定義2[6]如果系統(tǒng)(4)關(guān)于(c1，c2，T，R)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，且在無窮時(shí)間區(qū)間上是李雅普諾夫漸近穩(wěn)定(LAS)的，則稱系統(tǒng)是混合穩(wěn)定的.

問題1 (H∞混合鎮(zhèn)定)對系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，即

(5)

使得系統(tǒng)(1)連同控制器(5)形成的閉環(huán)系統(tǒng).a) 當(dāng)w=0時(shí)，混合穩(wěn)定；b) 當(dāng)x(0)=0時(shí)，從外部擾動w到被控輸出中z的L2增益小于給定正數(shù)γ.K為需要設(shè)計(jì)的控制器增益矩陣，稱具有性質(zhì)a)和b)的控制器u為H∞混合鎮(zhèn)定控制器.

2 H∞混合鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)

混合控制需要同時(shí)考慮系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能.文獻(xiàn)[6]給出的混合控制器本質(zhì)上包含兩部分，暫態(tài)過程控制器u1=K1x和穩(wěn)態(tài)過程控制器u2=K2x，其中,K1，K2為控制器增益矩陣.控制器u1的作用是使閉環(huán)系統(tǒng)滿足暫態(tài)過程性能要求，控制器u2的作用是使閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)態(tài)過程性能要求.一般的混合控制器的形式為

(6)

上述混合控制器是關(guān)于時(shí)間的切換控制器，在t=T時(shí)刻，由于控制輸入的不連續(xù)性會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)出現(xiàn)跳變甚至抖振.文獻(xiàn)[6]通過引入緩沖時(shí)間消除潛在抖振，得到控制器形式為

(7)

式(7)中:ts為切換緩沖時(shí)間；k=K1+(K2-K1)(t-T)/ts為過渡時(shí)間段控制器增益矩陣.

仿真結(jié)果表明:通過引入緩沖時(shí)間可以在一定程度上消除抖振，但無法在理論上保證閉環(huán)系統(tǒng)混合穩(wěn)定.以下給出控制器簡化的設(shè)計(jì)過程，所設(shè)計(jì)關(guān)于時(shí)間連續(xù)的H∞混合鎮(zhèn)定控制器使H∞混合鎮(zhèn)定問題1可解.

引理1[15]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣N，E和M，其中,N是對稱的，則

對所有滿足ΔT(t)Δ(t)≤I的矩陣Δ(t)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在數(shù)ε>0，使

下面定理通過給出一個(gè)關(guān)于時(shí)間連續(xù)的H∞混合鎮(zhèn)定控制器，使當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾和不確定影響時(shí)，滿足有限時(shí)間穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定.

定理1 如果存在標(biāo)量α≥0，γ>0，ε>0，矩陣L∈Rn×m和正定對稱矩陣Q∈Rn×m，使

(8)

(9)

(10)

式(10)中:A1=A+ΔA+(B+ΔB)K,且有

(11)

另一方面，由Schur補(bǔ)引理可知，式(8)等價(jià)于

(12)

(13)

再由引理1可知，式(13)等價(jià)于

(14)

式(14)中:C1=C+DK.

(15)

(16)

對式(16)從 0到t積分，?t∈[0，T]，可得

(17)

則有

(18)

又因xTR1/2Q-1R1/2x(t)≥λmin(Q-1)x(t)TRx(t)，則λmin(Q-1)x(t)TRx(t)≤xTR1/2Q-1R1/2x(t)≤exp(αT)[λmax(Q-1)x(0)TRx(0)]，由此可得

(19)

則有

再由式(9)可得x(t)TRx(t)

因此,當(dāng)外擾為零時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)在時(shí)間[0，T]上有限時(shí)間穩(wěn)定，在無窮時(shí)間內(nèi)漸近穩(wěn)定，即當(dāng)外擾為零時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)混合穩(wěn)定.

(20)

對比式(11)和式(20)可得

(21)

兩邊對式(21)積分，可得

(22)

(23)

即‖z‖<γ‖w‖.故x(0)=0時(shí)，從外部擾動w到被控輸出z的L2增益小于γ.

注1 文獻(xiàn)[6]中使用的是兩個(gè)不同的李雅普諾夫函數(shù),分別刻畫系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定性;而定理1中使用的是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù),同時(shí)刻畫系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定性，具有一定的保守性.定理1給出的H∞混合鎮(zhèn)定控制器是一個(gè)關(guān)于時(shí)間連續(xù)的控制器，簡化了設(shè)計(jì)過程，避免了控制器切換過程存在的潛在抖振.

由定理1可知，式(8)是一個(gè)線性矩陣不等式形式，而式(9)不是線性矩陣不等式形式.為了方便控制器求解，將定理1轉(zhuǎn)化為如下基于線性矩陣不等式(LMI)的可行解問題.

推論1 如果存在標(biāo)量α≥0，γ>0，ε>0，矩陣L∈Rm×n和正定對稱矩陣Q∈Rn×n，使式(8)和下列LMI成立，即

(24)

3 數(shù)值仿真

考慮外界干擾和不確定影響，設(shè)計(jì)H∞混合鎮(zhèn)定控制器，將得到的控制器在線性系統(tǒng)上進(jìn)行仿真.使過渡時(shí)間在10s內(nèi)，超調(diào)量不超過10%，系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)且對外界干擾有一定的抑制作用.

假設(shè)受控系統(tǒng)(1)參數(shù)為

ΔA，ΔB分別滿足‖ΔA‖≤0.1，‖ΔB‖≤0.1，將不確定性矩陣ΔA，ΔB寫成式(2)形式，其中

狀態(tài)變量的初值為

給定的外部擾動具有衰減特性，由如下線性系統(tǒng)描述

為了實(shí)現(xiàn)控制目的，取(c1，c2，T，R)=(1，4，10，I2×2)，給定α=0.2，γ=1.3.由推論1可得H∞混合鎮(zhèn)定控制器u=Kx，其中，K=[-1.355 760 0 -1.013 010 4].將得到的控制器在本節(jié)給出的線性系統(tǒng)上進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖1,2所示.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線 圖2 xTRx變化曲線圖 Fig.1 Curves of state Fig.2 Curves of xTRx

為了說明H∞混合控制器的優(yōu)越性，對給出的系統(tǒng)分別使用H∞混合鎮(zhèn)定控制器、漸近控制器[15]、混合穩(wěn)定控制器[6]進(jìn)行仿真.其中:H∞漸近控制器增益矩陣K漸近=[-2.796 947 3 -7.591 343 0];混合穩(wěn)定控制器中的有限時(shí)間穩(wěn)定控制器增益矩陣K1=[-1.097 713 1 -2.865 556 4];漸近穩(wěn)定控制器增益矩陣K2=[-3.526 577 2 -7.020 336 6].在H∞混合鎮(zhèn)定控制器和H∞漸近控制器作用下，系統(tǒng)狀態(tài)1的變化曲線，如圖3所示.在H∞混合鎮(zhèn)定控制器和混合穩(wěn)定控制器作用下，系統(tǒng)狀態(tài)1的變化曲線，如圖4所示.

圖3 使用H∞ 混合鎮(zhèn)定控制器和 圖4 使用H∞混合鎮(zhèn)定控制器和混H∞漸近控制器系統(tǒng)狀態(tài)1變化曲線 穩(wěn)定控制器系統(tǒng)狀態(tài)1變化曲線Fig.3 Curves of state under H∞ mixed Fig.4 Curves of state under H∞ mixed stabilization controller and H∞ asymptotic controller stabilization controller and mixed controller

由圖3,4可知：系統(tǒng)在受到外界擾動和不確定影響的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)最終能穩(wěn)定到平衡點(diǎn)，超調(diào)量小且系統(tǒng)的狀態(tài)不超過給定的界限.由圖3可知:單獨(dú)使用漸近控制器，系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)過渡時(shí)間長，超調(diào)量大.由圖4可知:H∞混合鎮(zhèn)定控制器相對于一般的混合穩(wěn)定控制器能有效抑制干擾對系統(tǒng)狀態(tài)的影響.這說明設(shè)計(jì)的H∞混合鎮(zhèn)定控制器的有效性和優(yōu)越性，保證了系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能要求，且對外界擾動有一定的抑制作用.

4 結(jié)束語

針對受外界擾動和參數(shù)不確定性影響的系統(tǒng)，提出了基于混合穩(wěn)定意義下的魯棒H∞控制方法.同時(shí)考慮系統(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，給出了閉環(huán)系統(tǒng)混合穩(wěn)定且抑制外部擾動對被控輸出影響的充分條件，將這些條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式約束.本文設(shè)計(jì)的H∞混合鎮(zhèn)定控制器是一個(gè)關(guān)于時(shí)間連續(xù)的函數(shù)，簡化了控制器設(shè)計(jì)過程.如何將文中結(jié)果應(yīng)用于不僅需要滿足穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)要求，而且需要滿足相應(yīng)暫態(tài)性能指標(biāo)要求的系統(tǒng)，如機(jī)器人操控系統(tǒng)、導(dǎo)彈系統(tǒng)、宇航控制系統(tǒng)等控制過程比較短暫的實(shí)際系統(tǒng)，有待于進(jìn)一步研究.

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(責(zé)任編輯： 錢筠 英文審校： 崔長彩)

RobustH∞Mixed Stabilization of Uncertain Linear Systems With Disturbances

ZHUANG Liang， LIN Canhuang， SUN Hongfei

(School of Aerospace Engineering， Xiamen University， Xiamen 361005， China)

To guarantee both the transient and steady performances of a linear system with uncertainties and disturbances， a new control method called mixed-stability-basedH∞stabilization is proposed. The solvable conditions of mixed-stability-basedH∞stabilization are presented by using the linear matrix inequalities. The mixed-stability-basedH∞stabilization controller given in this paper is continuous in time domain， thus simplifies the design process and avoids the potential chattering. Finally， a numerical simulation is conducted to demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed method. Keywords：H∞hybrid stabilization controller; robustH∞control; linear uncertain system; external disturbance; closed loop system

10.11830/ISSN.1000-5013.201702003

2016-08-02

孫洪飛(1970-)，男，教授，博士，主要從事混合系統(tǒng)控制、基于網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)控制和非線性控制理論及在運(yùn)動體控制上的應(yīng)用的研究.E-mail:sunhf@xmu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273153， 61374037)

TP 273

A

1000-5013(2017)02-0147-06