采用MCMC方法的上海股市隨機(jī)波動模型

趙慧琴, 劉金山

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 華商學(xué)院， 廣東 廣州 511300；2. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 廣東 廣州 510642)

采用MCMC方法的上海股市隨機(jī)波動模型

趙慧琴1, 劉金山2

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 華商學(xué)院， 廣東 廣州 511300；2. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 廣東 廣州 510642)

采用貝葉斯統(tǒng)計(jì)中的馬爾科夫鏈-蒙特卡羅(MCMC)方法對上海股市的隨機(jī)波動性進(jìn)行研究，基于Gibbs抽樣的MCMC數(shù)值計(jì)算過程，對上海股市的隨機(jī)波動率模型(SV)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),并在WinBUGS軟件中實(shí)現(xiàn).根據(jù)信息判別準(zhǔn)則(DIC)，對比擬合的SV-N，SV-T，SV-MT模型參數(shù)，結(jié)果表明：SV-T模型最能反映上海股市波動具有尖峰厚尾的特性，可進(jìn)一步用于預(yù)測樣本外的波動率結(jié)果. 關(guān)鍵詞： 隨機(jī)波動率模型； 馬爾科夫鏈-蒙特卡羅方法； 股市波動； 貝葉斯分析； 上海股市

經(jīng)濟(jì)或金融時(shí)間序列均存在著普遍的波動性現(xiàn)象，隨機(jī)波動率模型(SV)可以模擬和預(yù)測波動狀況.近年來，隨機(jī)波動率模型在我國得到了不斷的發(fā)展，研究者們提出一種最常用的擴(kuò)展模型，即標(biāo)準(zhǔn)模型(SV-N模型)[1-3].SV族模型較難找到精確的似然函數(shù)，需要模擬建立完全的似然函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，如馬爾科夫鏈-蒙特卡羅(MCMC)方法.國內(nèi)已有一些相關(guān)研究,但較少將SV族的SV-MT，SV-T模型與SV-N模型進(jìn)行比較分析[4-7].因此，本文基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)中的MCMC方法，結(jié)合Gibbs抽樣，對SV族的模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì).

1 SV族模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)

1.1 SV-N模型

標(biāo)準(zhǔn)的SV模型形式[8]為

(1)

(2)

式(1),(2)中:yt為t時(shí)刻的標(biāo)準(zhǔn)化對數(shù)收益率;θt為對數(shù)波動，服從一個(gè)持續(xù)性參數(shù)為φ的高斯自回歸AR(1)過程;誤差項(xiàng)εt與ηt是不相關(guān)的，都服從均值0，方差σ2的正態(tài)分布;對于|φ|<1,SV模型的協(xié)方差是平穩(wěn)的.

潛在波動θt的分布為

(3)

yt|θt的分布為

(4)

若令φ=2φ1-1，τ=σ2,且y1：n=(y1,y2,…,yn)′,θ1：n=(θ1,θ2,…,θn)′，根據(jù)Kim等[9]提出的方法，假定模型參數(shù)φ,τ,μ,θ1的先驗(yàn)分布為

μ,φ,τ,θ0的先驗(yàn)分布聯(lián)合密度函數(shù)為

(5)

根據(jù)貝葉斯定理，后驗(yàn)分布的參數(shù)為

(6)

式(6)中:L(μ,φ,τ,θ0：n)為SV模型的似然函數(shù).

1.2SV-T模型

SV-T模型表示一個(gè)混合的正態(tài)分布模型，其形式為

(7)

(8)

式(7)，(8)中：εt服從自由度為w>2的t分布.

若假定λt服從倒伽馬分布，是一個(gè)潛在的變量，則有

(9)

(10)

(11)

取參數(shù)ω的先驗(yàn)分布ω～χ2(8)，其他參數(shù)的先驗(yàn)分布同SV-N模型[10].w和θt的后驗(yàn)條件分布為

(12)

1.3SV-MT模型

SV-MT模型形式為

(13)

(14)

式(13)，(14)中：εt為服從自由度為w>2的t分布.

在模型中，d的先驗(yàn)分布近似服從正態(tài)分布，其他參數(shù)的先驗(yàn)分布與SV-T模型參數(shù)相同.μ,τ,φ的后驗(yàn)條件分布也與SV-T模型參數(shù)相同，即

(15)

1.4 模型的比較

基于貝葉斯方法，采用信息判別準(zhǔn)則(DIC)[11-12]對SV模型進(jìn)行比較，具體形式為

(16)

DIC準(zhǔn)則可以很好地比較復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)模型，即

(17)

2 上海股市SV族模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)

在SV族模型中，其參數(shù)用MCMC方法中的Gibbs抽樣進(jìn)行估計(jì).數(shù)據(jù)源于新浪財(cái)經(jīng)網(wǎng)2013年9月2日至2014年8月29日的上海股市的收盤價(jià)格，共242個(gè)數(shù)據(jù).在進(jìn)行模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)前，用WinBUGS軟件對模型參數(shù)進(jìn)行10 000次預(yù)迭代，再進(jìn)行20 002次迭代，以保證參數(shù)的收斂性.3種模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)，如表1所示.由表1可知：波動水平參數(shù)μ在SV-N模型中的絕對值較大，說明在SV-N模型中上證綜指的波動性體現(xiàn)得比較強(qiáng)烈；3個(gè)模型中的波動持續(xù)性參數(shù)φ的估計(jì)值相差不大，都在0.98以上，說明3個(gè)模型都能刻畫上證綜指收益率序列的波動持續(xù)性，也說明我國股市具有波動集聚性；在SV-T和SV-MT模型中加入自由度參數(shù)ω，其值分別為16.260，16.480，體現(xiàn)了上海股票尖峰厚尾的特性[13]，而SV-N模型并未體現(xiàn)這一特性.SV-T模型參數(shù)的后驗(yàn)核密度估計(jì)，如圖1所示.

表1 SV族模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)

(a) ω的核密度 (b) μ的核密度

(c) φ的核密度 (d) τ的核密度圖1 SV-T模型參數(shù)的后驗(yàn)核密度估計(jì)圖Fig.1 Posterior density function for SV-T model

表2 各模型的DIC值的比較

明3個(gè)模型中，模擬上海綜指的數(shù)據(jù)最好是SV-T模型，最差是SV-N模型；對于PD值的模擬，SV-T模型最大，而SV-MT最小.說明對于上海綜指的模擬，SV-MT模型相對于其他模型來說是最簡單的模型，而SV-T模型是最復(fù)雜的；對于綜合了模型的復(fù)雜度和擬合優(yōu)劣的DIC值，SV-T模型的值最小，其值為389.676，而SV-N模型的值最大，其值為398.868，這說明在模擬上海股市波動特性時(shí)，SV-T模型要優(yōu)于SV-N模型和SV-MT模型.

3 結(jié)束語

對SV-T，SV-N，SV-MT模型的參數(shù)估計(jì)、后驗(yàn)核密度估計(jì)和DIC值進(jìn)行比較，可以得出在模擬我國上海股市的波動性中，SV-T模型比SV-N，SV-MT模型更優(yōu)，更能反映上海股市的尖峰厚尾的特性，并且證明了上海股市具有很強(qiáng)的波動持續(xù)性.利用SV-T模型，可進(jìn)一步用于預(yù)測樣本外的波動率結(jié)果.對于國外已有的杠桿SV模型[14]、長記憶SV模型[15-16]研究，將是今后進(jìn)一步研究的方向.

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(責(zé)任編輯： 錢筠 英文審校： 黃心中)

Stochastic Volatility Modeling of Shanghai Stock Exchange Using MCMC Method

ZHAO Huiqin1, LIU Jinshan2

(1. Huashang College， Guangdong University of Business Studies， Guangzhou 511300, China;2. College of Mathematics and Informatics, South China Agricultural University， Guangzhou 510642, China)

One method is by Markov chain Monte Carlo (MCMC) bias statistics method. In this paper, we study the stochastic volatility of Shanghai Stock market, and estimate the parameters of the stochastic volatility model (SV) of Shanghai Stock market based on the MCMC sampling, and implement the Gibbs software in the WinBUGS software. By comparingthe parameters of SV-N, SV-T, SV-MT model, and according to discriminative information criterion, we find the SV-T model is the best model in China reflecting the fluctuation of the stock market of Shanghai which has peak thick tail characteristics, this model can also be used to step out of sample forecasting volatility results. Keywords： stochastic volatility models; Markov chain Monte Carlo method; stochastic volatility; Bayesian analysis； Shanghai Stock

10.11830/ISSN.1000-5013.201702024

2017-02-14

趙慧琴(1982-)，女，講師，博士，主要從事經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)和概率統(tǒng)計(jì)的研究.E-mail:zhq_6285144@163.com.

廣東省青年創(chuàng)新人才類重點(diǎn)課程建設(shè)項(xiàng)目(2014WQNCX177)； 廣東省質(zhì)量工程經(jīng)管綜合實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心建設(shè)項(xiàng)目(2013年度)； 廣東省質(zhì)量工程統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心建設(shè)項(xiàng)目(2014年度)

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A

1000-5013(2017)02-0262-04