關(guān)于Wendt操作對(duì)鏈環(huán)交叉數(shù)的進(jìn)一步結(jié)論

譚秋月， 孫平安， 林姝妤

(1. 武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院， 福建 南平 354300；2. 武夷學(xué)院 實(shí)驗(yàn)室管理中心， 福建 南平 354300；3. 廈門(mén)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 廈門(mén) 361000)

關(guān)于Wendt操作對(duì)鏈環(huán)交叉數(shù)的進(jìn)一步結(jié)論

譚秋月1， 孫平安2， 林姝妤3

(1. 武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院， 福建 南平 354300；2. 武夷學(xué)院 實(shí)驗(yàn)室管理中心， 福建 南平 354300；3. 廈門(mén)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 廈門(mén) 361000)

研究紐結(jié)的一種解結(jié)操作——Wendt操作對(duì)鏈環(huán)交叉數(shù)的影響.計(jì)算紐結(jié)表中交叉指標(biāo)不超過(guò)10的紐結(jié)，以及交叉指標(biāo)不超過(guò)9的2分支鏈環(huán)的擬解結(jié)數(shù)，得到Wendt操作對(duì)這類鏈環(huán)的交叉數(shù)減二的結(jié)論.最后，通過(guò)投影圖給予證明. 關(guān)鍵詞： 紐結(jié)； 鏈環(huán)； Wendt操作； 解結(jié)數(shù)； 交叉指標(biāo)

1 基本定義和引理

三維空間中，不與自己相交的連通分段線性閉曲線稱為紐結(jié)，而由有限條既不自交也不互交的連通的分段線性閉曲線構(gòu)成的空間圖形稱為鏈環(huán).只要投影方向選取適當(dāng)，總可使鏈環(huán)的平面投影圖的自交點(diǎn)全部為二重點(diǎn).為了反映產(chǎn)生二重點(diǎn)的弧線在三維空間的上下情況，用斷開(kāi)的弧線表示下線，用連續(xù)的弧線表示上線.這樣二重點(diǎn)就變成了交叉點(diǎn).以線的虛實(shí)表現(xiàn)交叉的情況，就得到鏈環(huán)的投影圖.一個(gè)鏈環(huán)投影圖稱為可分離的，若它是由多個(gè)無(wú)公共交叉點(diǎn)鏈環(huán)投影圖構(gòu)成的，一個(gè)鏈環(huán)只有一個(gè)分離投影圖,則稱為不可分離或連通的.

設(shè)K為S3中的一個(gè)紐結(jié)，在K的所有投影圖中，交叉點(diǎn)最少的那個(gè)投影圖上的交叉點(diǎn)數(shù)就稱為K的交叉指標(biāo)，其符號(hào)為c(K).

設(shè)L為一個(gè)有向鏈環(huán)，VL(t)為L(zhǎng)的Jones多項(xiàng)式[2]，定義spanv(L)為VL(t)的最高方次與最低方次之差，即spanv(L)=max degVL(t).

在文獻(xiàn)[3]中，Kauffman定義了無(wú)向鏈環(huán)投影圖的Kauffman尖括號(hào)多項(xiàng)式，假設(shè)D為鏈環(huán)無(wú)向投影圖，設(shè)[D]=[D](A，B，d)為D的Kauffman方括號(hào)多項(xiàng)式，〈D〉=[D](A，A-1，-A2，-A-2)為Kauffman尖括號(hào)多項(xiàng)式，定義spank(D)為(D)的最高方次與最低方次之差，spank(D)=max deg〈D〉-min deg〈D〉.令L是一個(gè)有向鏈環(huán)，D為L(zhǎng)的有向投影圖，擰數(shù)w(D)定義為D的全體交叉點(diǎn)的正負(fù)號(hào)總和，Kauffman證明了VL(t)=(-A3)-w(D)〈D〉|A=t-1/4[2-3]，所以有spanv(L)=(1/4)spank(D).

引理1[2-4]令D為一個(gè)有向鏈環(huán)的無(wú)向投影圖，則：1) 若L是連通交錯(cuò)鏈環(huán)，c(L)=spanv(L)=(1/4)·spank(D)；2) 若L是有n(L)個(gè)不可分分支的可分鏈環(huán)，c(L)=spanv(L)-n(L)+1=(1/4)·spank(D)-n(L)+1.

引理2[2，5]令D為連通約化交錯(cuò)鏈環(huán)的投影圖，則有：1) max deg〈D〉=V+2W-2，V是D的交叉點(diǎn)數(shù)，W是B區(qū)域數(shù)，〈D〉中A的最高方次那一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)W-1；2) max deg〈D〉=-V-2B+2，V是D的交叉點(diǎn)數(shù)，B是A區(qū)域數(shù)，〈D〉中A的最低方次那一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)B-1.

由于鏈環(huán)投影圖與符號(hào)平面圖存在著一一對(duì)應(yīng)，Kauffman[6]為符號(hào)圖構(gòu)建了Tutte多項(xiàng)式.設(shè)G為符號(hào)圖，令Q[G]=Q[G](A，B，d)為對(duì)應(yīng)G的Tutte多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱為Q-多項(xiàng)式.

定義2[6]Q-多項(xiàng)式是按照如下兩點(diǎn)循環(huán)規(guī)則來(lái)進(jìn)行定義的.1) 若En是有n個(gè)頂點(diǎn)的無(wú)邊圖，則Q[En]=dn-1.2) (a) 如果e是橋，則Q[G]=(A+Bd)Q[G/e]，若s(e)=+；Q[G]=(B+Ad)Q[G/e]，若s(e)=-；(b) 如果e是環(huán)，則Q[G]=(B+Ad)Q[G-e]，若s(e)=+；Q[G]=(A+Bd)Q[G-e]，若s(e)=-；(c) 如果e既不是橋也不是環(huán)，則有Q[G]=BQ[G-e]+AQ[G/e]，若s(e)=+；而Q[G]=AQ[G-e]+BQ[G/e]，若s(e)=-.

引理3[6]設(shè)G是符號(hào)平面圖，D(G)對(duì)應(yīng)G的鏈環(huán)投影圖，則Q[G]=[D(G)].

設(shè)G是符號(hào)平面圖，G的分支對(duì)偶圖G*是對(duì)圖G的每個(gè)連通分支先各自求對(duì)偶圖，由這些對(duì)偶圖的不交并得到的圖.注意到G中的邊與G*中的邊是一一對(duì)應(yīng)的，對(duì)每個(gè)邊e∈E(G)，在G*對(duì)應(yīng)著符號(hào)與之相反的e*∈E(G*).

引理4 設(shè)G是符號(hào)平面圖，G*為G對(duì)應(yīng)的對(duì)偶圖，則存在Q[G]=Q[G*].

引理5 假設(shè)G=(V，E)是連通圖，G+是基礎(chǔ)圖G的正圖，則有Q[G+]=A-|E|+2|V|-2TG(-A-4，-A4).

2 解結(jié)數(shù)和Wendt操作說(shuō)明

解結(jié)數(shù)的另一個(gè)等價(jià)定義，即任取紐結(jié)K的一個(gè)投影圖，先任意選定一個(gè)交叉點(diǎn)做Wendt操作；接著，做一系列初等變化得到個(gè)新紐結(jié)的投影圖；然后，在這個(gè)新的投影圖上選定第二個(gè)交叉點(diǎn)做Wendt操作；再做一系列初等變化又得到個(gè)新紐結(jié)的投影圖，依次進(jìn)行下去，直至這個(gè)紐結(jié)變?yōu)槠椒布~結(jié).若存在紐結(jié)K的一個(gè)投影圖，按照這個(gè)做法，只需n次改變交叉點(diǎn)就可使紐結(jié)變?yōu)槠椒布~結(jié)，并且沒(méi)有比n次更少的可能，那么,就稱紐結(jié)K的解結(jié)數(shù)為n.顯然,平凡紐結(jié)u(01)=0，其他紐結(jié)的解結(jié)數(shù)均大于等于1.

圖1 三葉結(jié)的Wendt操作Fig.1 Triple junction Wendt operation

三葉結(jié)交叉指標(biāo)為3，但是只需做一次Wendt操作就可以變成平凡紐結(jié)，所以u(píng)(31)=1，三葉結(jié)解結(jié)數(shù)為1，如圖1所示.

定理1[9]任給一個(gè)紐結(jié)K的投影圖，設(shè)其交叉點(diǎn)數(shù)為n，則總可以經(jīng)過(guò)不超過(guò)?n/2次Wendt操作,把它變成平凡紐結(jié)的投影圖.

推論1[9]設(shè)紐結(jié)K有一個(gè)交叉點(diǎn)數(shù)為n的投影圖,則u(K)≤?n/2.

一般來(lái)說(shuō)，很難找到紐結(jié)的解結(jié)數(shù).比如，紐結(jié)83在紐結(jié)表[10]的投影圖上看，解結(jié)數(shù)好像是2，但是紐結(jié)83還有很多其他的投影圖.同樣，為了證明一個(gè)復(fù)合結(jié)的解結(jié)數(shù)不可以為1，從問(wèn)題提出到找到證明也經(jīng)過(guò)了100多年的時(shí)間.紐結(jié)K的解結(jié)數(shù)u(K)的上界可以使用相對(duì)簡(jiǎn)單的技巧計(jì)算出來(lái)，但是卻很難得到確切值.Scharlemann[1]在1985年證明了解結(jié)數(shù)為1的紐結(jié)都是素紐結(jié).

下面的紐結(jié)解結(jié)數(shù)圖表由Kirby[2]提供，其中，紐結(jié)929的解結(jié)數(shù)由Kirby證實(shí)，紐結(jié)10139，10152的解結(jié)數(shù)是由Kawamura[9]得出的，紐結(jié)949的解結(jié)數(shù)是由Stoimenow[11]用計(jì)算機(jī)計(jì)算出來(lái)的，紐結(jié)10154，10161則是Stoimenow[12]通過(guò)使用Slice-Bennequin不等式[13]找到的，紐結(jié)1011，1047，1051，1054，1061，1076，1077，10100的解結(jié)數(shù)目前為止依然未知.

已知具有n個(gè)交叉指數(shù)的素紐結(jié)總個(gè)數(shù)以指數(shù)級(jí)的速度增長(zhǎng).所以,文中只研究交叉指數(shù)少于10的紐結(jié)的解結(jié)數(shù).因?yàn)閡(K)=u(K*)，所以不考慮手性因素.

3 結(jié)論及其證明

例1 鏈環(huán)820的Wendt操作，結(jié)果如表1所示.

表1 鏈環(huán)820每個(gè)交叉點(diǎn)經(jīng)過(guò)一次Wendt操作的結(jié)果

投影圖K的擬解結(jié)數(shù)的定義可參考文獻(xiàn)[14-16].若經(jīng)過(guò)Wendt操作得到的紐結(jié)為非交錯(cuò)紐結(jié)，則存在減少1的情況，如交錯(cuò)紐結(jié)933.

交叉點(diǎn)數(shù)少于10的交錯(cuò)紐結(jié)投影中，對(duì)其一個(gè)交叉點(diǎn)做Wendt操作，若得到的紐結(jié)仍然為交錯(cuò)紐結(jié)，則其交叉指標(biāo)至少減少2；若不是，則不然.對(duì)交叉點(diǎn)數(shù)少于9的2個(gè)分支鏈環(huán)，此結(jié)論也成立，故這一規(guī)律在增加適當(dāng)條件的基礎(chǔ)上得到定理2.

證明 令L為連通鏈環(huán)，其最約化交錯(cuò)投影圖為D，因?yàn)長(zhǎng)是連通的，則D一定是連通的.令G=G(D)為對(duì)應(yīng)D的符號(hào)平圖.不失一般性，假設(shè)G是正圖，否則的話，可以根據(jù)引理1～4改為研究G*，因?yàn)槭亲罴s化的，所以G就是無(wú)環(huán)無(wú)橋.

情況Ⅰ 無(wú)環(huán).

的確是胡鬧。西雙說(shuō)，假如我們真的又產(chǎn)生感情，真的對(duì)那段婚姻戀戀不舍，婚后真的可以夫妻恩愛(ài)白頭偕老，復(fù)婚也未嘗不可。但是可以肯定的是，我與她，不可能再有絲毫感情——我指的是夫妻間的那種感情。我去看她，我借給她錢，都不過(guò)只是憐憫——我不忍心讓她死在那個(gè)出租屋里，就這樣。

在這個(gè)情況下,G′是連通無(wú)環(huán)無(wú)橋的正圖.因此,其對(duì)應(yīng)的鏈環(huán)投影圖也是連通最約化的交錯(cuò)投影圖.令H為連通平圖，v(H)，e(H)，f(H)分別定義為H的點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù).通過(guò)引理2可得到如下4點(diǎn)結(jié)果.

1) max degQ[G]=max deg〈D〉=V+2W-2=e(G)+2f(G)-2，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)f(G)-1；

2) min degQ[G]=min deg〈D〉=-V-2B+2=-e(G)-2v(G)+2，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)v(G)-1；

3) max degQ[G′]=e(G′)+2f(G′)-2=e(G)+2f(G)-3，對(duì)應(yīng)系數(shù)為(-1)f(G′)-1=(-1)f(G)-1；

4) min degQ[G′]=-e(G′)-2v(G′)+2=-e(G)-2v(G)+5，則其對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)v(G′)-1=(-1)v(G)-1.

由此,還可以得到如下4點(diǎn)結(jié)果.

1) max degA2Q[G]=e(G)+2f(G)，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)f(G)-1；

2) max degA2Q[G]=-e(G)-2v(G)+4，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)v(G)-1；

3) max deg (A-1-A3)Q[G′]=e(G)+2f(G)，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)f(G)-1；

4) max deg (A-1-A3)Q[G′]=-e(G)-2v(G)+4，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)v(G)-1.

A2Q[G]與(A-1-A3)Q[G′]的最大方次可互相削去，由此得到

所以有

spanq(G)=max degQ[G]-min degQ[G]= 2e(G)+2f(G)+2v(G)-4，

2e(G)+2f(G)+2v(G)-12=spanq(G)-8.

圖2 刪除平行邊e和f后的G圖形變?yōu)镚-e-f圖形Fig.2 G into gigure G-e-f after delete parallel sides e and f

情況ⅡG′有環(huán).令f為G′的任一個(gè)環(huán).由于G是無(wú)環(huán)的，f一定是G的邊e的平行邊，再分兩種情況討論.

ⅱ) 如果G-e-f是連通的.首先知道f不是G′的橋.令g≠f為G′的邊，因?yàn)镚是無(wú)橋的，g屬于G中一個(gè)圈C，若e?E(C)，g屬于G′中一個(gè)圈C中；若e∈E(C)，g屬于G′中的一個(gè)圈G′=C-e+f，所以g不是橋.因此,G′為連通無(wú)環(huán)無(wú)橋的正圖，同樣由引理2可得到到如下4點(diǎn)結(jié)果.

1) max degQ[G]=max deg〈D〉=V+2W-2=e(G)+2f(G)-2，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)f(G)-1；

2) min degQ[G]=min deg〈D〉=-V-2B+2=-e(G)-2v(G)+2，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)v(G)-1；

3) max degQ[G′]=e(G′)+2f(G′)-2=e(G)+2f(G)-5，對(duì)應(yīng)系數(shù)為(-1)f(G′)-1=(-1)f(G)-1；

4) min degQ[G′]=-e(G′)-2v(G′)+2=-e(G)-2v(G)+3，則其對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)v(G′)-1=(-1)v(G)-1.

因此，可以得到如下4點(diǎn)結(jié)果.

1) max degA-2Q[G]=e(G)+2f(G)-4，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)f(G)-1；

2) max degA-2Q[G]=-e(G)-2v(G)，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)v(G)-1；

3) max deg (A-1-A-3)Q[G′]=e(G)+2f(G)-4，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)f(G)-1；

4) min deg (A-1-A-3)Q[G′]=-e(G)-2v(G)，對(duì)應(yīng)的系數(shù)為(-1)v(G)-1.

A-2Q[G]與(A1-A-3)Q[G′]的最大方次可互相削去，由此可得

所以有

2e(G)+2f(G)+2v(G)-12=spanq(G)-8.

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(責(zé)任編輯： 黃曉楠 英文審校： 黃心中)

Further Conclusion of Crossing Number of Links Based on Wendt Operation

TAN Qiuyue1， SUN Ping′an2， LIN Shuyu3

(1. School of Mathematics Science and Computer， Wuyi University， Nanping 354300， China；2. Laboratory Management Center， Wuyi University， Nanping 354300， China；3. School of Mathematical Sciences， Xiamen University， Xiamen 361000， China)

The effect of a single splitting operation, Wendt operation on the crossing number of the link diagrams is researched. We calculate the Quasi-splitting number of these two numbers for knots, which are with crossing number no more than 10, and with crossing number no more than 9 and 2-comonent links in the Knot table. One conclusion is that the Wendt operation can make the crossing number of these link diagrams minus two. In the last, we give a strict graph-theoretical proof by the projection drawings. Keywords： knot； link； Wendt operation； unknotting number； crossing number

10.11830/ISSN.1000-5013.201702027

2017-02-14

譚秋月(1980-)，女，副教授，主要從事圖論、離散數(shù)學(xué)的研究.E-mail:tqyspa@163.com.

福建省教育廳科技項(xiàng)目(JA1551)； 福建省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201510397029)； 武夷學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目(XL201409)

O 157.5

A

1000-5013(2017)02-0276-05