例析“洛必達(dá)法則”在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

何長(zhǎng)斌

縱觀近些年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題，許多省份的高考數(shù)學(xué)壓軸題都是與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這類問(wèn)題的特點(diǎn)是難度較大、綜合性較強(qiáng)，其中求解參數(shù)的取值范圍是這一類問(wèn)題考查的重點(diǎn)題型.對(duì)于此類問(wèn)題，學(xué)生的傳統(tǒng)做法是利用分離變量法來(lái)求解，但由于這種方法往往分類的情況比較多、過(guò)程過(guò)于繁雜，學(xué)生實(shí)際操作起來(lái)非常困難，許多學(xué)生很容易漏解.且有些題型利用分離變量法解決時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)“00”“∞∞”型等函數(shù)值不存在的情況，而這是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問(wèn)題，若此類問(wèn)題采用洛必達(dá)法則進(jìn)行解決，便會(huì)迅速破解.

一、洛必達(dá)法則介紹：

法則1若函數(shù)fx 和g（x）滿足下列條件：

（1） limx→afx=0 及l(fā)imx→agx=0；（2）在點(diǎn)a的去心

鄰域內(nèi)，fx與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；（3）limx→af ′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af ′xg′x=l.

法則2若函數(shù)fx 和g（x）滿足下列條件：（1）limx→∞fx=0 及l(fā)imx→∞gx=0； （2）A>0，fx 和g（x）在-∞，A與A，+∞上可導(dǎo)，且g′（x）≠0；

（3）limx→∞f ′xg′x=l，那么 limx→∞fxgx=limx→∞f ′xg′x=l.

法則3若函數(shù)fx和g（x）滿足下列條件：

（1） limx→afx=∞及l(fā)imx→agx=∞；

（2）在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，fx與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；

（3）limx→af ′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af ′xg′x=l.

二、洛必達(dá)法則在高考試題中的應(yīng)用

1.（2010年全國(guó)新課標(biāo)理）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析（Ⅰ）a=0時(shí)，f（x）=ex-1-x，f ′（x）=ex-1.

當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f ′（x）<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f ′（x）>0.故f（x）在（-∞，0）單調(diào)減少，在（0，+∞）單調(diào)增加.

（Ⅱ）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，均有f（x）≥0；

當(dāng)x>0時(shí)，f（x）≥0等價(jià)于a≤ex-x-1x2

令gx=ex-x-1x2（x>0），則g′（x）=xex-2ex+x+2x3，

令 hx=xex-2ex+x+2x>0，則h′x=

xex-ex+1，h″x=xex>0，

知h′x在0，+∞上為增函數(shù)，h′x>h′0=0；知hx在0，+∞上為增函數(shù)， hx>h0=0；

∴g′x>0，g（x）在0，+∞上為增函數(shù).

由洛必達(dá)法則知，

limx→0+ex-x-1x2=limx→0+ex-12x=limx→0+ex2=12，

故a≤12

綜上，知a的取值范圍為-∞，12.

2.（2011年全國(guó)新課標(biāo)理）已知函數(shù)f（x）=alnxx+1+bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）如果當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范圍.

解析（Ⅰ）f ′（x）=a（x+1x-lnx）（x+1）2-bx2，由于直線x+2y-3=0的斜率為-12，且過(guò)點(diǎn)（1，1）.故f（1）=1f ′（1）=-12，解得a=1，b=1.

（Ⅱ）由題設(shè)可得，當(dāng)x>0，x≠1時(shí)，k<2xlnx1-x2+1恒成立.

令g（x）= 2xlnx1-x2+1（x>0，x≠1），

則g′x=2·x2+1lnx-x2+11-x22，

再令hx=x2+1lnx-x2+1（x>0，x≠1），則h′x=2xlnx+1x-x，h″x=2lnx+1-1x2，易知h″x=2lnx+1-1x2在0，+∞上為增函數(shù)，且h″1=0；故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h″x<0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h″x>0；

∴h′x在0，1上為減函數(shù)，在1，+∞上為增函數(shù)；

故h′x>h′1=0∴hx在0，+∞上為增函數(shù)

∵h(yuǎn)1=0

∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，hx<0，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，hx>0

∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′x<0，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′x>0∴gx在0，1上為減函數(shù)，在1，+∞上為增函數(shù)

∵由洛必達(dá)法則知：

limx→1gx=2limx→1xlnx1-x2+1

=2limx→11+lnx-2x+1=2×-12+1=0

∴k≤0，即k的取值范圍為（-∞，0＼].

3.（2010海南寧夏文21題）已知函數(shù)f（x）=

x（ex-1）-ax2.

（Ⅰ）若f（x）在x=-1時(shí)有極值，求函數(shù)f（x）的解析式；

（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍.

解（Ⅰ）略

（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，即x（ex-1）≥ax2.

①當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；

②當(dāng)x>0時(shí)，x（ex-1）≥ax2等價(jià)于ex-1≥ax，也即a≤ex-1x.

記g（x）=ex-1x，x∈（0，+∞），則g'（x）=（x-1）ex+1x.

記h（x）=（x-1）ex+1，x∈（0，+∞），則h′（x）=xex>0，因此h（x）=（x-1）ex+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（x）>h（0）=0，所以g′（x）=h（x）x>0.

從而g（x）=ex-1x在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

由洛必達(dá)法則有

limx→0g（x）=limx→0ex-1x=limx→0ex1=1，

即當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→1.

所以g（x）>1，即有a≤1.

綜上所述，當(dāng)a≤1，x≥0時(shí)，f（x）≥0成立.

總之，縱觀近年來(lái)全國(guó)各地高考試題，利用高等數(shù)學(xué)解決高考數(shù)學(xué)問(wèn)題的題型屢見不鮮，當(dāng)然此類問(wèn)題也可用高中數(shù)學(xué)方法求解，但一般過(guò)程繁瑣或技巧性較強(qiáng)，許多學(xué)生大都見而恐之.若學(xué)生能掌握一些有關(guān)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法，去解決這些問(wèn)題，往往事半功倍.比如在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)后，筆者向?qū)W生講解了洛必達(dá)法則，并介紹了洛必達(dá)法則適用的條件和具體用法，并通過(guò)一些簡(jiǎn)單的練習(xí)后，絕大部分學(xué)生都能利用洛必達(dá)法則處理部分簡(jiǎn)單繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

（收稿日期：2016-10-18）