高中數(shù)學(xué)變量代換解題方法探究

浙江省常山縣紫港中學(xué) 王 俊

高中數(shù)學(xué)變量代換解題方法探究

浙江省常山縣紫港中學(xué) 王 俊

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，變量代換解題方法是一種靈活有效的數(shù)學(xué)解題技巧，也是一種數(shù)學(xué)思維方法。當(dāng)數(shù)學(xué)問題中的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、變?cè)^多時(shí)，可以引入一些新的變量進(jìn)行代換，從而快速簡(jiǎn)化解決問題。變量代換的實(shí)質(zhì)就是“化未知為已知、化繁為簡(jiǎn)”，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用變量代換解題方法，對(duì)于提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題能力具有重要作用?；诖?，本文對(duì)高中數(shù)學(xué)變量代換解題方法進(jìn)行了探究，詳細(xì)分析了幾種較為常用的變量代換解題方法。

一、均值代換

對(duì)兩個(gè)類似的算式，可以令其算術(shù)平均值為t進(jìn)行代換。如果遇到形式如同a+b=S或者a2+b2=S這樣的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，可設(shè)，或者等等，這樣的代換方法即為均值代換。

分析：根據(jù)求證要求，可以從題目中的條件“a＞1，b＞1，c＞1”想到“a-1＞0，b-1＞0，c-1＞0”，對(duì)后者進(jìn)行均值代換，簡(jiǎn)化形式，便能快速求證。

分析：由已知“A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得A+C=120°，B=60°；由“A+C=120°”進(jìn)行均值代換，設(shè)A=60°+α，C=60°-α，再代入可求cosα，即。本題由A+C=120°”、“”分別進(jìn)行均值代換，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值代換外，還要求對(duì)三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。

解答：∵A+C=2B，且A+B+C=180°，

∴A+C=120°，B=60°，

設(shè)A=60°+α，C=60°-α，代入已知等式得：

二、三角代換

三角代換應(yīng)用于去根號(hào)，或者把代數(shù)式換成三角式更容易求解時(shí)，主要利用已知代數(shù)式與三角知識(shí)的聯(lián)系進(jìn)行代換。比如求函數(shù)的值域時(shí)，容易看出x∈[0,1]，設(shè)x=sin2α，，這時(shí)問題就變成了熟悉的求三角函數(shù)值域，能夠如此設(shè)定的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，并且有去根號(hào)的需要。再比如當(dāng)變量x、y適合條件時(shí)，則可以用三角代換x=rcosθ、 y=rsinθ轉(zhuǎn)化為三角問題。

四、整體代換

整體代換可以應(yīng)用在以下問題情形中：如果在條件或者結(jié)論中某個(gè)代數(shù)式反復(fù)出現(xiàn)，那么我們就可以用一個(gè)字母來代替它。需要注意的是，在某些情況下需要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式4x+2x-2≥0，這時(shí)可以先變形為設(shè)2x=t（t＞0），從而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

例6 已知f（x+1）為奇函數(shù)，f（x）=x·（x+1）（x＜1），求x＞1時(shí)函數(shù)f（x）的解析式。

解答：令x=t+1（t＜0），從條件f（x）=x·（x+1）（x＜1）可得：f（t+1）=（t+1）（t+2）。又因f（x+1）為奇函數(shù)，因此f（t+1）也為奇函數(shù)，所以-f（t+1）=f（-t+1），f（-t+1）=-（-t-1）·（-t-2）。令T=-t（T＞0），則f（T+1）=-（T-1）（T-2），因此f（T）= -（T-2）（T-3），所以f（x）=-（x-2）（x-3）=-x2+5x-6（x＞1）。

總之，變量代換解題方法可以廣泛應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)問題的分析解答中，并能收到奇妙的效果。高中數(shù)學(xué)教師要在日常教學(xué)中滲透變量代換解題思想，引導(dǎo)學(xué)生掌握變量代換解題方法，逐漸提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力和靈活運(yùn)用變量代換解答數(shù)學(xué)問題的能力。