“函數(shù)的單調(diào)性”教學設(shè)計實施與反思

江蘇省宜興市官林中學 李雙雙 姜傳偉

“函數(shù)的單調(diào)性”教學設(shè)計實施與反思

江蘇省宜興市官林中學 李雙雙 姜傳偉

一、教學內(nèi)容解析

“函數(shù)的單調(diào)性”是蘇教版必修1第2章第2節(jié)“函數(shù)的性質(zhì)”第1課時的內(nèi)容，是繼函數(shù)的基本概念之后學習的第一個函數(shù)性質(zhì)，也是第一個用數(shù)學符號語言來刻畫的概念，函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時函數(shù)值的變化規(guī)律；函數(shù)單調(diào)性的學習為進一步學習函數(shù)的其他性質(zhì)提供了研究方法，此外，函數(shù)單調(diào)性是學習不等式、極限、導數(shù)等其他數(shù)學知識的重要基礎(chǔ)。因此本節(jié)課在整個教材中具有極其重要的地位與價值。

二、教學過程

1.情境引入

師：（教材37頁圖）觀察這個函數(shù)θ＝f（t），說出氣溫在哪些時間段內(nèi)是逐漸升高或是下降的。

生：[4，14]內(nèi)溫度上升，[0，4]和[14，24]內(nèi)溫度下降。師：再看函數(shù)y=x2，它的圖像有什么特點？生：x＞0，圖像上升；x＜0，圖像下降。師：y=x3的圖像呢？生：上升。

【設(shè)計意圖】在概念（性質(zhì)）的教學中，樹立“高中數(shù)學教學活動以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向”的教學意識，創(chuàng)設(shè)有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的教學情境，發(fā)展數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng)。本節(jié)通過給出學生熟悉的問題情境，提出相關(guān)問題，引發(fā)思考。

2概念建構(gòu)

問題1 觀察圖像y=f（x），x∈[0,6]，并說出圖像特點。

生：圖像是平行于x軸的直線，即y=1。

師：真是這樣嗎？我們來看它的函數(shù)解析式：y=0.001x+1，x∈[0,6]。

【設(shè)計意圖】讓學生意識到當自變量x變化而因變量的變化很微小時，我們不能從圖像上觀察到，要從代數(shù)的角度去研究，即用數(shù)學符號表示函數(shù)圖像變化趨勢的必要性。

師：我們剛才從圖像中看到的，就是我們今天要研究的——函數(shù)的單調(diào)性。

問題2 怎樣用符號語言描述圖像的上升與下降呢?生：上升：f（x）隨x的增大而增大；下降：f（x）隨x的增大而減小。師：很好，在數(shù)學上用符號“ ↗ ”表示“增大”；用“↘ ”表示“減小”。如何用自變量與因變量的關(guān)系來描述這種變化呢？

教師板書學生討論得到的描述：上升：x↗ ， f（x）↗ ；下降：x↗ ，f（x） ↘ 。

問題3 所謂的上升就是在圖像上有兩個點（x1，y1），（x2，y2），如果x1＜x2，那么對應的函數(shù)值y1與y2的大小關(guān)系如何?

生：y1＜y2。

師：如果圖像是下降的，那么y1與y2的大小關(guān)系又如何?

生：y1＞y2。

師：那么問題來了，這里的兩個點（x1，y1），（x2，y2）是任意取的，還是有條件限制的？

師生互動、討論，說明兩點選取是任意的。

師：為什么是任意的兩個點？三個可以嗎？一個呢？

生：一個點無法比較大小，任意的兩個點既便于比較，又能代表區(qū)間上的所有點。

在大家表示同意之后，讓學生將“x↗ ， f（x）↗ ”“ x↗ ，f（x） ↘ ”用x1，x2和y1，y2來表示。

上升：任意的x1，x2∈I且x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）。

下降：任意的x1，x2∈I且x1＜x2，有f（x1）＞f（x2）。

問題4 你能給出函數(shù)單調(diào)遞增的定義嗎？

生：對任意的x1，x2∈I且x1＜x2，如果有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增。

師：你們同意嗎？

師：很好，那單調(diào)遞減的定義可以類似得出。

到此，得出單調(diào)性的定義，教師板書。

【設(shè)計意圖】在課堂教學中，提高學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力；讓學生逐步地學會用數(shù)學思維分析世界，在發(fā)展學生邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)的同時，培養(yǎng)學生的認知策略。在用數(shù)學符號刻畫“函數(shù)單調(diào)遞增和單調(diào)遞減”這一新概念時，循序?qū)⑦M地得出概念，以進一步發(fā)展學生的元認知。

3.數(shù)學運用

例1 下列說法是否正確？

（1）定義在R上的函數(shù)y=f（x），如果f（2）＞f（1），那么它在R上是增函數(shù)；

（2）如果函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增，則必有f（2）＞f（1）；

（3）定義在R上的函數(shù)y=f（x），如果f（2）＞f（1），那么它在R上不是減函數(shù)。

學生口答，強調(diào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須嚴格按照定義。

例2 畫出下列函數(shù)的圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間。

教師巡視，選出具有代表性的典型錯誤投影給學生，如（1）函數(shù)的減區(qū)間為，通過觀察圖像或取特殊值代入驗證，不難得出這種寫法錯誤：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不可以用“并”，而是用逗號或者“和”連接兩個區(qū)間。（2）的目的是讓學生知道函數(shù)的單調(diào)性是對定義域的某個區(qū)間而言的，它反映的是局部性質(zhì)。（3）說明并不是所有的函數(shù)都具有單調(diào)區(qū)間。

師生一起完成（1）。同學們自行證明（2），教師巡視，選取學生的解答并投影，其他同學點評。

【設(shè)計意圖】證明單調(diào)性時，如果f（x1）-f（x2）得到的是分式形式，那么必須要先通分，如果需要分解，要分解徹底，把差化成因式相乘（相除）并且能夠判斷符號的式子，斷不可利用單調(diào)性證明單調(diào)性。最后總結(jié)證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：設(shè)點，作差，變形，判號，下結(jié)論。

三、教學反思

“任何科學研究都是從問題開始的，沒有問題就沒有問題的解決。

突出問題的提出，實際也是重視科學研究方法的滲透。”問題，是驅(qū)動學生思維的源泉。好的問題，可以啟動學生的思維、形成有效的數(shù)學探究活動，因此，設(shè)計的問題應當符合學生的實際。

本課中通過問題1，使學生意識到用僅從“形”的角度研究還不夠，只有從“數(shù)”的角度去研究函數(shù)，才能更細微、更嚴謹。學生的認識僅建立在圖形的直觀上，尚缺乏理性的思考。與初中不同的是，高中階段更注重從代數(shù)角度深入分析圖形變化的本質(zhì)。在問題3的解決過程中，學生逐步體會到圖形的上升與下降的本質(zhì)，其實是圖像上每個點位置的變化，而點的位置變化對應著點的坐標變化，因此只需研究圖像上每個點的坐標變化規(guī)律，就能獲得函數(shù)圖像的變化趨勢。在這個過程中，學生從過去的從形導數(shù)深化為由數(shù)釋形，實現(xiàn)了思維水平的提升，從中培養(yǎng)了學生的數(shù)學抽象和邏輯推理能力。在教學過程中，揭示數(shù)學知識背后蘊含的數(shù)學思想方法，大大有利于學生數(shù)學素養(yǎng)的形成。

[1]涂榮豹，寧連華．中學數(shù)學教學案例研究[M].北京：北京師范大學出版社，2011（9）.

[2]張建橋.高考“蘇派風格”觀照下學生數(shù)學核心素養(yǎng)探微.江蘇省教育協(xié)會年度優(yōu)秀論文，2015.