數(shù)學(xué)解題教學(xué)中對于逐步逼近思想的應(yīng)用分析

楊毅

【摘要】 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，逐步逼近思想有著非常重要的作用，將這種思想滲透到數(shù)學(xué)解題中，能夠?qū)┈崗?fù)雜的問題簡單化，以便快速解出答案.本文簡單介紹了逐步逼近法這一概念，并結(jié)合實(shí)例，從推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式、數(shù)列教學(xué)、幾何教學(xué)、函數(shù)教學(xué)等方面闡述了逐步逼近思想的滲透，以期培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，并為學(xué)生提供數(shù)學(xué)問題解答的便捷途徑.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)解題教學(xué)；逐步逼近思想；應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題中，逐步逼近思想是一種非常常見的解題思路，當(dāng)沒有現(xiàn)成公式或者現(xiàn)成公式比較復(fù)雜的時(shí)候，可以使用逐步逼近法.逐步逼近法指的是通過適當(dāng)?shù)姆椒?，一步一步地逼近所要求的問題的解的方法，這種方法將符合題目的范圍進(jìn)行逐步的縮小，把可能的答案代入題目中，將結(jié)果和題目條件相對比，排除誤差，進(jìn)而得出正確答案.

一、逐步逼近法簡介

逐步逼近思想是重要的數(shù)學(xué)思想，高中學(xué)習(xí)逐步逼近思想，一方面，能鍛煉學(xué)生的思維能力，提高解題水平，另一方面，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做鋪墊.逐步逼近法具有這樣的特點(diǎn)：在確定了目標(biāo)后，沿著目標(biāo)的方向進(jìn)行不斷的調(diào)整和探索，慢慢逼近目標(biāo)，直到最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，使得問題得以解決.在探索科學(xué)理論的過程中，逐步逼近法常被用于構(gòu)建科學(xué)假說.

逐步逼近法是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想，在中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的范圍非常廣，有利于將問題簡化，所以，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過實(shí)例向?qū)W生滲透逐步逼近思想，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高將會(huì)有很大的幫助，也會(huì)利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

二、在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透逐步逼近思想

（一）在推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式的教學(xué)過程中滲透逐步逼近思想

此處以推導(dǎo)圓的面積公式和圓柱體積公式為例.在推導(dǎo)圓的面積公式過程中，可以將圓形轉(zhuǎn)變?yōu)橹皩W(xué)過的圖形.第一步先把圓形逐步分成2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)、16個(gè)……以此類推，將圓形分割成一樣大小的扇形，然后，將其拼接成接近長方形的形狀，利用課件進(jìn)行演示，讓學(xué)生猜想一下一直分割、拼接下去，將會(huì)產(chǎn)生怎樣的情形？由于分割所得扇形的弧長會(huì)越來越短、越來越直，最終拼接所得圖形就會(huì)成為真正的長方形.

在推導(dǎo)圓柱體積公式的過程中，將圓柱地面進(jìn)行逐步的分割，根據(jù)上面所述，其圓形底面即可拼接成長方形結(jié)構(gòu)，那么，該圓柱體就轉(zhuǎn)變成了長方體結(jié)構(gòu)，沿著圓柱體高的方向?qū)⑵渲鸩椒指畛蔁o限個(gè)長方體，分割所得的每一長方體體積均是“底面積×高”，再結(jié)合乘法分配定律，這些被分割的小長方體的體積總和即為“所有小長方體底面積的綜合×高”，所以該圓柱體的體積即為“底面積×高”.

上述的圓的面積公式、圓柱體積公式的推導(dǎo)過程均是通過“化圓為方”“化曲為直”的逐步逼近思想進(jìn)行的.隨著分割的逐步進(jìn)行，拼接的圖形會(huì)呈現(xiàn)出一定的變化取值，隨著分割的逐步逼近，猜想拼接圖形的最終形狀.這種逐步逼近思想的滲透，既能促進(jìn)學(xué)生深刻理解圓柱體積、圓的面積公式，在曲直、圓方的不斷變化中，學(xué)生也慢慢感受到了逐步逼近的思想.

（二）在數(shù)列教學(xué)中滲透逐步逼近思想

與高中課本中的公式相比，這就比較復(fù)雜了，需要對其進(jìn)行重新思考，讓分類的各項(xiàng)組合成一個(gè)統(tǒng)一的整體.對一個(gè)無窮數(shù)列來說，它是一種極限形式，因此，在與數(shù)列相關(guān)的問題中有很多題目會(huì)涉及逐步逼近思想，對逐步逼近思想進(jìn)行靈活的運(yùn)用可以使問題變得更加簡單，進(jìn)而減少計(jì)算消耗的時(shí)間以及計(jì)算量，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題的目的.

此處以某一例題為例，簡單介紹逐步逼近思想的應(yīng)用.例題：在數(shù)列{an}中，a1=1，且對任意自然數(shù)n總有an+1= an an-2 ，那么是否存在實(shí)數(shù)a，b，可以使得an=a-b - 2 3 n對于任意自然數(shù)n恒成立？如果存在，請給出公式并證明；如果不存在，請說明理由.解題分析過程：在數(shù)列問題的研究中，逐步逼近思想是一個(gè)比較有效的方法，在高中教材中，給出的等比數(shù)列的求和公式為

由上式可以看出，常數(shù)列是被分裂開來的，而通過逐步逼近思想，能夠?qū)烧吆铣梢粋€(gè)整體.

當(dāng)q≠1時(shí)，研究q→1時(shí)，Sn的極限.

這就表明，q≠1時(shí)Sn的極限就是q=1時(shí)的Sn，如此一來，就可以用Sn=lim q→1 a1（1-qn） 1-q 這一個(gè)公式來表示了.

在上述例題中，可以假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b使得an=a-b - 2 3 n對于任意自然數(shù)n恒成立，那么lim x→∞ an=a；將an+1= an an-2 兩邊同時(shí)取極限，逐步逼近無限大處，則可得a= a a-2 ，即可解得a=3或0.對此進(jìn)行驗(yàn)證，如果a=0，數(shù)列{an}則應(yīng)當(dāng)是以1作為首項(xiàng)，以- 2 3 為公比的等比數(shù)列，是不能讓任意自然數(shù)n滿足an+1= an an-2 恒成立的；如果a=3，將a1=1，代入an=a-b - 2 3 n，解得b=-3，則an=3+3· - 2 3 n，經(jīng)驗(yàn)證得到，同樣不滿足對于任意自然數(shù)n都an+1= an an-2 恒成立.由此可見，不存在滿足條件的a，b.

（三）在幾何教學(xué)中滲透逐步逼近思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何方面很多知識的教學(xué)都很棘手，但是將逐步逼近思想滲透其中，可以為解題省去大量的時(shí)間，解題的思路也會(huì)變得更加簡單.

此處以某一例題為例，簡單介紹逐步逼近思想的應(yīng)用.例題：過拋物線y=ax2（a>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PF與QF的長分別是p，q，則 1 p + 1 q 等于多少？解題分析過程：可以將該題歸入不變性問題上，一般的解題方法是求解a，q，p三者之間的關(guān)系，這種方法不僅過程非常煩瑣，并且比較復(fù)雜.但是，如果可以充分認(rèn)識到變、

不變之間的辯證關(guān)系，通過變化、運(yùn)動(dòng)的逐步逼近思想，可以將該問題簡單化：將直線PQ繞F點(diǎn)，沿著順時(shí)針的方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使其與y軸重合，P點(diǎn)與O點(diǎn)就重合了，將P點(diǎn)逐步逼近到無限遠(yuǎn)處，它不再是拋物線的弦，而是弦的極限形式，由于QF= p 2 =OF= 1 4a ，PF=q→+∞，因此， 1 p + 1 q →4a.這種解題方式充分體現(xiàn)出思維的敏捷性與靈活性.

（四）在函數(shù)教學(xué)中滲透逐步逼近思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)教學(xué)是非常重要的一部分，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)主要表達(dá)的是兩個(gè)變量間的關(guān)系.在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)部分的教學(xué)主要包括一次或二次函數(shù)、常值函數(shù)、正、反比例函數(shù)等等，通過函數(shù)方程來表達(dá)變量間的關(guān)系，也可以通過圖形來表達(dá).在教學(xué)中，可以將函數(shù)和圓形、四邊形、三角形等幾何圖形以及不等式、方程等代數(shù)知識相結(jié)合，還可以與實(shí)際生活密切聯(lián)系.因此，在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)部分是非常重要的內(nèi)容之一.

數(shù)學(xué)研究一般包括單個(gè)集合、集合間關(guān)系兩大類，而函數(shù)是集合間關(guān)系的重要表現(xiàn)形式.函數(shù)能夠表達(dá)變量間的數(shù)量關(guān)系，也可以說是一種通過建模方法來研究客觀世界數(shù)量關(guān)系的方式.因此，函數(shù)教學(xué)非常重要.事實(shí)上，即便是大學(xué)之后，依然會(huì)研究泛函分析、復(fù)變函數(shù)以及實(shí)變函數(shù)等等.因此，應(yīng)當(dāng)在函數(shù)教學(xué)中滲透逐步逼近思想，并利用這種思想來解決復(fù)雜的函數(shù)問題.

此處以研究y=x+ 1 x 這一函數(shù)的圖像為例.該函數(shù)的定義域是為{x|x≠0}，且該函數(shù)是奇函數(shù)，所以，先畫出x>0情況下該函數(shù)的圖像，進(jìn)行如下分析：

（1）x>0時(shí)，y=x+ 1 x ≥2，在x=1的情況下，ymin=2；（2）x→0+時(shí)，此時(shí)y→+∞，因此，x=0是該函數(shù)的一條漸近線；（3）x→+∞時(shí)， 1 x →0，y→x，因此，y=x也是該函數(shù)的一條漸近線.由上述分析可以得到該函數(shù)的圖像，如圖2.

此外，逐步逼近法還可以用來證明方程解的存在唯一性定理，并被廣泛地用于分析許多其他問題，將各種應(yīng)用中所使用的逐步逼近方法的本質(zhì)加以抽象概括，便可以得到各種形式的“不動(dòng)點(diǎn)定理”.

此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，可以滲透逐步逼近思想的地方有很多，例如，在空間集合體中，棱錐、棱臺、棱柱是能夠相互轉(zhuǎn)變的，其中，棱柱上底逐步縮小即可轉(zhuǎn)變?yōu)槔忮F形狀；與之類似，圓錐、圓臺、圓柱間也是能夠相互轉(zhuǎn)變的，其中圓柱上底逐步縮小即可轉(zhuǎn)變?yōu)閳A錐形狀.上述各種集合體的轉(zhuǎn)化就體現(xiàn)出了逐步逼近的思想.

三、結(jié) 語

逐步逼近思想的精髓就在于不斷地猜測、嘗試、調(diào)整，因此，應(yīng)當(dāng)積極引導(dǎo)學(xué)生利用技巧去猜測、去嘗試.逐步逼近法的應(yīng)用可以看出很多簡單的事情中蘊(yùn)涵著深遠(yuǎn)的意義.所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，在確保教學(xué)成果的同時(shí)，可適當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生采用“試湊法”，培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，使其巧妙地應(yīng)用逐步逼近法這一數(shù)學(xué)思想來解決某些實(shí)際的問題.