系統(tǒng)講解函數(shù)極限的求法

曾大恒

【摘要】 高職高專高等應(yīng)用數(shù)學(xué)所有使用的教材中，均沒有對(duì)函數(shù)極限的求法進(jìn)行過系統(tǒng)的歸納和總結(jié).筆者根據(jù)個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就高職高專層次如何求函數(shù)極限的問題進(jìn)行了簡要梳理，系統(tǒng)提出了利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用兩個(gè)基本極限公式求極限、利用Hospital法則求極限這三種求函數(shù)極限的方法.

【關(guān)鍵詞】 高職高專；高等應(yīng)用數(shù)學(xué)；函數(shù)極限；教學(xué)方法

高職高專開設(shè)的高等應(yīng)用數(shù)學(xué)核心內(nèi)容是微積分基礎(chǔ)，而極限的概念與運(yùn)算是微積分基礎(chǔ)的基礎(chǔ)，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等概念都是在函數(shù)極限的定義上完成的.在高職高專所有使用的教材中，均沒有對(duì)函數(shù)極限的求法進(jìn)行過系統(tǒng)的歸納和總結(jié).筆者根據(jù)個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中就高職高專層次如何求函數(shù)極限的問題進(jìn)行了簡要梳理，系統(tǒng)提出如下三種方法.

一、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

由函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)可知，若函數(shù)y=f（x）在其定義域D內(nèi)連續(xù)，則對(duì)于任意一點(diǎn)x0∈D，都有函數(shù)在x0處的極限值等于其函數(shù)值，即 lim x→x0 f（x）=f（x0）.教材中不加證明地指出，所有初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.實(shí)際上這就等于告訴我們，要求初等函數(shù)在其定義域內(nèi)任意一點(diǎn)的極限時(shí)，只要求這一點(diǎn)的函數(shù)值即可.

例如，求lim x→2 （3x-5）.

只要教會(huì)學(xué)生：① y=3x-5是一個(gè)初等函數(shù)（說明為什么是初等函數(shù)）；② y=3x-5的定義域是全體實(shí)數(shù)集R且2∈ R ；③ y=3x-5在x=2處是連續(xù)的.于是，直接將x=2代入3x-5中，得：lim x→2 （3x-5）=3×2-5=1.

二、利用兩個(gè)基本極限公式求極限

教材中不經(jīng)推導(dǎo)地給出了兩個(gè)基本極限公式：（1）lim x→0 sinx x =1；（2）lim x→∞ 1+ 1 x x=e.教學(xué)中，如何記住這兩個(gè)基本公式的特點(diǎn)并用好這兩個(gè)基本公式是教學(xué)的關(guān)鍵.

（1）lim x→0 sinx x =1，此公式有兩個(gè)特點(diǎn)：

公式特點(diǎn)一：自變量的變化趨勢是“x→0”而不是其他.如果把自變量的變化趨勢改為“x→∞”，則 lim x→∞ sinx x 的結(jié)果就完全變了.根據(jù)無窮小量的性質(zhì)，無窮小量與有界的積仍為無窮小量，得 lim x→∞ sinx x =lim x→∞ 1 x ·sinx =0，教學(xué)時(shí)，可以告訴學(xué)生把這個(gè)極限與基本公式（1）對(duì)照起來學(xué)習(xí)和掌握.

公式特點(diǎn)二：公式中的三個(gè)“x”必須三者統(tǒng)一.例如，求 lim x→0 sin3x 2x 時(shí)，就應(yīng)該將 lim x→0 sin3x 2x 變形為 lim x→0 3 2 · sin3x 3x ，而當(dāng)x→0時(shí)，有3x→0，即“x→0”等價(jià)于“3x→0”，因此，lim x→0 sin3x 2x =lim x→0 3 2 · sin3x 3x = 3 2 lim 3x→0 sin3x 3x ，利用基本公式（1）得：lim x→0 sin3x 2x = 3 2 .

（2） lim x→∞ 1+ 1 x x=e，此公式有三個(gè)特點(diǎn)：

① 在自變量的變化過程中，括號(hào)內(nèi)以“1”為極限；② 括號(hào)內(nèi)用“+”號(hào)連接；③ 1 x 和x存在一個(gè)倒數(shù)關(guān)系，滿足以上三個(gè)特點(diǎn)，其極限才等于e.

在公式（2）中，令 1 x =t，則x= 1 t ，且當(dāng)x→∞時(shí)，有t→0，于是公式（2）變形為 lim x→0 （1+t） 1 t =e，很容易看出，變形后的公式仍然滿足以上三個(gè)特點(diǎn).

教學(xué)時(shí)，可以舉例說明，如，lim x→0 1+ 1 x x不滿足特點(diǎn)①，lim x→∞ 1- 1 x x不滿足特點(diǎn)②，lim x→∞ 1+ 1 2x x不滿足特點(diǎn)③，因此，它們的極限都不等于e.

抓住了公式（2）的三個(gè)特點(diǎn)，就可以輕松解決一部分類似函數(shù)求極限的問題.如，

（1）lim x→∞ 1- 1 x x=lim x→∞ 1+ 1 -x x=lim x→∞ 1+ 1 -x -x -1=e-1；

（2）lim x→∞ 1+ 1 2x x=lim x→∞ 1+ 1 2x 2x 1 2 =e 1 2 .

三、利用Hospital法則求極限

在利用極限的四則運(yùn)算法則求兩個(gè)分式函數(shù)的極限時(shí)，要求分母的極限不能為0，即 lim x→x0 f（x） g（x） = lim x→x0 f（x） lim x→x0 g（x） = A B （其中l(wèi)im x→x0 f（x）=A，lim x→x0 g（x）=B且B≠0）.假設(shè)A=0，B=0，

則不能再使用以上運(yùn)算法則求分式函數(shù)的極限了.Hospital法則便提供了用來解決“ 0 0 ”型（或“ ∞ ∞ ”型）等未定式函數(shù)求極限的方法.根據(jù)Hospital法則，對(duì)于這兩類未定式函數(shù)，我們可以對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)，然后，求它們導(dǎo)數(shù)之比的極限.即 lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .

一般地，當(dāng)x→x0時(shí)， f′（x） g′（x） 仍是 0 0 （或 ∞ ∞ 型），且滿足Hospital法則的條件時(shí)，則可繼續(xù)使用Hospital法則求極限，且可依此類推.如，lim x→0 x-sinx x3 =lim x→0 （x-sinx）′ （x3）′ =lim x→0 1-cosx 3x2 =lim x→0 sinx 6x = 1 6 ，此例中就使用了兩次Hospital法則.

但是，若所求極限已不是未定式時(shí)，則不能再用這個(gè)法則，否則將得出錯(cuò)誤的結(jié)果.如，在計(jì)算 lim x→2 x3-2x-4 （x-2）2 =lim x→2 （x3-2x-4）′ [（x-2）2]′ =lim x→2 3x2-2 2（x-2） =lim x→2 （3x2-2）′ [2（x-2）]′ =lim x→2 6x 2 =6的過程中，第二次使用Hospital法則時(shí)便出現(xiàn)了錯(cuò)誤.

求極限的方法遠(yuǎn)不只以上幾種，但是對(duì)于高職院校的學(xué)生來說，掌握以上方法就基本上實(shí)現(xiàn)了預(yù)定的學(xué)習(xí)目標(biāo).

教無常法，學(xué)無定式.不斷積累、總結(jié)、完善、提高，應(yīng)成為教師的一種習(xí)慣，勤于思考，學(xué)會(huì)歸納，終身受益.

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