反證法在幾何證明中的若干應(yīng)用

趙昕陽

【摘要】本文簡要概述了反證法的定義及種類，歸納了應(yīng)用反證法證明的一般步驟與常見的矛盾形式，從命題的結(jié)論涉及“基本命題與初始命題”“幾何量間的關(guān)系”“否定性”“唯一性”“至多、至少”五個方面出發(fā)，具體說明了宜用反證法證明的幾何命題，揭示了反證法在幾何證明中的重要性與應(yīng)用的廣泛性.

【關(guān)鍵詞】反證法；幾何；證明；應(yīng)用

反證法是一種間接證法，它不是直接證明命題的結(jié)論成立，而是證明命題結(jié)論的反面不能成立，從而斷定原命題的結(jié)論是不容否定的正確結(jié)論.先假設(shè)命題結(jié)論不成立，即肯定命題的題設(shè)而否定其結(jié)論，然后從結(jié)論反面出發(fā)通過正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，徹底推翻原來的假設(shè)，從而證得命題的結(jié)論成立.這種證明方法稱為反證法.

一、反證法在幾何證明中的應(yīng)用

（一）反證法證明的一般步驟

反證法的證題模式可以簡要地概括為“否定→推理→否定”.即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的邏輯推理導(dǎo)致矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”.反證法證明問題的一般步驟：（1）反設(shè)：否定結(jié)論，做出反設(shè)；（2）歸謬：進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；（3）結(jié)論：否定反設(shè)，肯定結(jié)論.在應(yīng)用反證法證題時，必須按“反設(shè)—?dú)w謬—結(jié)論”的思路進(jìn)行，這就是應(yīng)用反證法的三個步驟，但在敘述上可以簡略每一步的名稱.

（二）反證法中的矛盾形式

應(yīng)用反證法證明時，必須由結(jié)論的反面出發(fā)導(dǎo)出矛盾，所以如何導(dǎo)出矛盾，導(dǎo)出什么樣的矛盾就成了反證法的關(guān)鍵所在.了解反證法中常見的矛盾形式更利于我們運(yùn)用反證法證題時導(dǎo)出矛盾，為歸謬提供了邏輯推理的方向.我們將反證法中常見的矛盾形式具體分為以下幾類：

（1）假設(shè)推出的結(jié)果與已知條件矛盾；

（2）假設(shè)推出的結(jié)果與已知的公理、定理、定義、法則及已經(jīng)證明正確的命題矛盾；

（3）假設(shè)推出的結(jié)果與假設(shè)矛盾；

（4）假設(shè)推出的結(jié)果自相矛盾.

（三）適合應(yīng)用反證法證明的幾何問題

反證法從肯定命題的題設(shè)而否定命題的結(jié)論開始，即否定的結(jié)論也作為已知條件使用，這就給證明增加了條件.當(dāng)從正面出發(fā)難以證明，且“結(jié)論”較“結(jié)論反面”更復(fù)雜時，我們考慮用反證法.具體來說，究竟什么樣的幾何命題用反證法證明比較方便呢？可歸納如下幾個方面：

1.證明基本命題或初始命題

在幾何中，證明一些原始的定理或性質(zhì)時，往往可以應(yīng)用的已知定義、定理比較少，因此通常很難利用直接證法，這時?？紤]使用反證法，從結(jié)論的反面開始推證，為證明增加條件.

2.證明幾何量之間的關(guān)系

幾何中有關(guān)判斷線線、線面、面面位置關(guān)系的問題上，我們通?？梢允褂枚x法或反證法判斷，但有時候用定義法證明比較困難，這時運(yùn)用反證法有其獨(dú)特的優(yōu)勢，特別是證明兩直線是異面直線問題上，因此遇到此類問題時我們通常想到用反證法.

3.證明“否定性”命題

結(jié)論中出現(xiàn)“不能……”、“不是……”等形式的命題，我們稱為“否定性”命題.證明某個研究對象“不存在”或“不具有”某種性質(zhì)，我們常用反證法證明，由于這類否定的論斷不是特別明確，沒有具體性質(zhì)能揭示此對象，一般不易直接證明，而否定的反面是肯定，它較之否定判斷一般來說比較簡單.

4.證明“唯一性”命題

需要證明符合某種條件的點(diǎn)（或線或面）有且只有一個時，我們稱為唯一性命題.證明唯一性問題也常常用到反證法，命題的結(jié)論常以“唯一存在”或“只有一個”的形式出現(xiàn).在證明時可以假設(shè)符合條件的對象不唯一，即設(shè)存在兩個符合條件對象，然后通過一系列邏輯推證，說明在某些條件下，這兩個對象是相同的，由此證得符合題設(shè)條件的對象是唯一的.

5.證明“至多”“至少”等限定形式命題

證明以“至多”“至少”形式出現(xiàn)的命題時，若直接從正面證明往往有多種情況需要討論，比較復(fù)雜，而其反面相對較簡單，因此遇到此類問題時我們首選反證法.當(dāng)要直接證明“至少有一個元素具有某些性質(zhì)”或者“至少有一個元素不具有某性質(zhì)”比較困難時，先做出這個結(jié)論的否定論斷：“所有的元素不具有某性質(zhì)”或者“所有的元素具有某性質(zhì)”.并把這個否定論斷作為條件進(jìn)行推證往往比較容易.

二、應(yīng)用反證法應(yīng)注意的問題

（一）反設(shè)要正確

應(yīng)用反證法證明的首要前提就是要能正確否定結(jié)論，否則就會導(dǎo)致后面的推證前功盡棄.當(dāng)命題結(jié)論的反面是多種情形，特別是結(jié)論反面比較隱晦時，“反設(shè)”往往容易出錯，所以必須找準(zhǔn)關(guān)鍵詞，認(rèn)真分析，全面考慮，避免出現(xiàn)錯漏.

（二）明確推理特點(diǎn)

應(yīng)用反證法證題，整個推理過程必須正確無誤，步步有理有據(jù)，否則即使推出了矛盾，也不能做出否定結(jié)論是錯誤的判斷.推理過程中，要明確我們的目標(biāo)是從否定的結(jié)論及題設(shè)出發(fā)導(dǎo)出矛盾，但什么時候出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾，要由命題的本身所決定，一般我們總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮.因此，我們在運(yùn)用反證法時只需正確否定結(jié)論，進(jìn)行正確的推理，一旦出現(xiàn)了矛盾，證明也就結(jié)束了.

（三）善于靈活運(yùn)用

由于原命題與其逆否命題同真假，所以對于“若p則q”型的數(shù)學(xué)命題，一般都能用反證法證明，但并不是說我們就可以濫用反證法，所有這種類型的命題都使用反證法來證明.很多用直接證法就可以直接快捷證出來的命題，就不要一味使用反證法了，要注意反證法的局限性.同時，也要學(xué)會靈活運(yùn)用反證法，有的數(shù)學(xué)命題須結(jié)合使用其他證法，有的數(shù)學(xué)命題須多次應(yīng)用反證法，具體情形視題目要求而定.

雖然反證法不一定是中學(xué)幾何證明中的首選方法，但遇到一般方法難以解決的問題時，如果能恰當(dāng)?shù)厥褂梅醋C法，就可以化難為易、化繁為簡、化不可能為可能.因此準(zhǔn)確把握反證法的本質(zhì)與邏輯依據(jù)，了解反證法中的矛盾形式，掌握反證法的一般步驟“反設(shè)—?dú)w謬—結(jié)論”，我們就能靈活熟練地運(yùn)用反證法解決各類適合應(yīng)用反證法證明的幾何問題.

【參考文獻(xiàn)】

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