數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用

徐珍

【摘要】“數(shù)形結(jié)合”這一貫徹在高中數(shù)學(xué)教學(xué)始終的解題思想方法，其本質(zhì)是“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)換.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過有效的“數(shù)形結(jié)合”思想方法的運(yùn)用可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中繞過障礙.同時(shí)，有效的“數(shù)形結(jié)合”使代數(shù)問題得以用幾何來詮釋，體現(xiàn)出神奇的數(shù)學(xué)之美以及思維的靈活之美，在一定程度上使許多復(fù)雜問題簡單化、明了化.

【關(guān)鍵字】數(shù)形結(jié)合；不等式

一、數(shù)形結(jié)合的理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最基本也最古老的研究對(duì)象就是“數(shù)”與“形”，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化.恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚也曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非.”可見，“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性.本文主要從數(shù)形結(jié)合在證明不等式方面研究.

二、數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用

近年的高考強(qiáng)調(diào)不等式基礎(chǔ)知識(shí)考查的同時(shí)，也很注重?cái)?shù)學(xué)能力的考查和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，其中數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用不可忽視.

（一）利用數(shù)形結(jié)合證明不等式

例1求證：a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2.（a與c，b與d不同時(shí)相等）

分析考察不等號(hào)兩邊特點(diǎn)，其形式類同平面上兩點(diǎn)間距離公式.在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)A（a，b），B（c，d），O（0，0）.如圖1，AB=（a-c）2+（b-d）2，

|AO|=a2+b2，|BO|=c2+d2.

當(dāng)A，B，O三點(diǎn)不共線時(shí)，|AB|<|AO|+|BO|.

當(dāng)A，B，O三點(diǎn)共線，且A，B在O點(diǎn)同側(cè)時(shí)，|AB|<|AO|+|BO|.當(dāng)A，B，O三點(diǎn)共線，且A，B在O點(diǎn)異側(cè)時(shí)，或A，B之一與原點(diǎn)O重合時(shí)，|AB|=|AO|+|BO|.綜上可證a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2.

例2求證：x2+1+x2-4x+8≥13.

分析考察式子特點(diǎn)，借助兩點(diǎn)間距離公式，可化為x2+1+x2-4x+8=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2.

令A(yù)（0，1），B（2，2），p（x，0），則問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點(diǎn)p，使|PA|+|PB|有最小值.如圖2，由于AB在x軸同側(cè)，故取A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C（0，-1），故（|PA|+|PB|）min=|CB|=（2-0）2+（2+1）2=13，所以原不等式成立.

例3sinx-1cosx-2≤43.

分析本題是分式，其結(jié)構(gòu)類似斜率公式，因此可視此式為定點(diǎn)Q（2，1）與單位圓上的動(dòng)點(diǎn)P（cosx，sinx）連線的斜率.如圖3，當(dāng)PQ與單位圓相切時(shí)，切線的斜率取值就是所求函數(shù)的最值.由0≤k≤43，得ymin=0，ymax=43.

例4已知a，b∈R+且x2+ax+2b=0，x2+2bx+a=0都有實(shí)根，證明：a+b≥6.

解依題意得

a2-8b≥0，b2-a≥0，

即a2≥8b，b2≥a.（*）

則滿足（*）的點(diǎn)（a，b）在如圖4所示的陰影區(qū)域內(nèi).

設(shè)z=a+b，則z=a+b所表示的直線系中，過點(diǎn)A（4，2）的直線在b軸上的截距即為滿足（*）的z的最小值.

所以（a+b）min=4+2=6，故a+b≥6.

（二）利用數(shù)形結(jié)合解不等式

例5已知x，y滿足x2+y2-2y=0，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

分析欲使x+y+c≥0恒成立，

即-c≤x+y恒成立，

故-c≤（x+y）min.于是問題轉(zhuǎn)化為求x2+y2-2y=0上有一點(diǎn)，使得x+y取得最小值，當(dāng)直線l1平行于x+y=0且與圓x2+y2-2y=0相切于下方時(shí)（如圖5），取得最小值1-2，故-c≤1-2，從而c≥2-1.

例6求使不等式log2（-x）

解設(shè)f（x）=log2（-x），g（x）=x+1.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=log2（-x）的圖像與函數(shù)y=log2x圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，g（x）=x+1的圖像是一條過點(diǎn)（0，1）的直線，由圖6可得-1

三、結(jié)論

本文主要講述了數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用.由于“形”的引入，使得數(shù)字變得形象生動(dòng)，變得有生命力.在很大程度上簡化了計(jì)算的過程和思維過程.然而數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)并不是一個(gè)單一的過程，各種思想方法是相互聯(lián)系，相互滲透，往往數(shù)學(xué)思想、方法交織在一起.在解題的過程中依據(jù)具體情況選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ苍S效果會(huì)更好.

【參考文獻(xiàn)】

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