也談數(shù)學(xué)建模從模型的假設(shè)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力

藍(lán)宗強(qiáng)

【摘要】數(shù)學(xué)建模實(shí)踐是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的平臺，本文以實(shí)例入手，從模型假設(shè)對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)進(jìn)行了探討.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；培養(yǎng)；創(chuàng)新思維能力

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽在我國自1992年第一次組織競賽至今已經(jīng)走過了25個年頭.由于在創(chuàng)新人才培養(yǎng)中的地位和作用，數(shù)學(xué)建模正受到越來越多高校，特別是高職院校和大學(xué)生們的關(guān)注和重視，全國各高校的參賽隊(duì)每年以超過20%的比例在增長，可以稱為是目前全國最大規(guī)模的學(xué)生課外科技競賽活動.

數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的每一步都蘊(yùn)含著能力上的鍛煉，在調(diào)查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等；在提出假設(shè)時，又需要用到想象力、創(chuàng)新能力和歸納簡化能力.可以說，數(shù)學(xué)建模實(shí)踐對學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)是全過程的，即數(shù)學(xué)建模實(shí)踐過程中的每一個環(huán)節(jié)都能培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.

數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑，數(shù)學(xué)建模在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要作用越來越受到數(shù)學(xué)界和工程界的普遍重視，它已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之一.

本文結(jié)合作者多年來在高職數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)教學(xué)過程中的體會，以實(shí)例的形式，闡述了模型的假設(shè)對學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng).

一、數(shù)學(xué)建模過程中合理而簡化的模型假設(shè)必不可少

數(shù)學(xué)模型是對于一個現(xiàn)實(shí)對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，做出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

現(xiàn)實(shí)問題總是復(fù)雜的、具體的，是質(zhì)和量、現(xiàn)象和本質(zhì)、偶然和必然的統(tǒng)一體，根據(jù)對象的特征和建模目的，在問題分析基礎(chǔ)上對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行必要的、合理的取舍簡化，并使用精確的語言做出假設(shè)，這是建模至關(guān)重要的一步，如果不經(jīng)過抽象和簡化，人們對其認(rèn)識是困難的，也無法準(zhǔn)確把握它的本質(zhì)屬性.這是因?yàn)椋粋€實(shí)際問題往往是復(fù)雜多變的，如不經(jīng)過合理的簡化假設(shè)，將很難轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，即便轉(zhuǎn)化成功，也可能是一個復(fù)雜的難于求解的模型，從而使建模歸于失敗.模型假設(shè)就是根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模的目的，在掌握必要資料的基礎(chǔ)上，對原型進(jìn)行的抽象、簡化，把那些反映問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來，簡化掉那些非本質(zhì)的因素，使之?dāng)[脫原型的具體復(fù)雜形態(tài)，形成對建模有用的信息資源和前提條件，并且用精確的語言做出假設(shè)，是建模過程關(guān)鍵的一步.但對原型的抽象、簡化也不是隨意的、無條件的，而是要善于辨別問題的主要方面和次要方面，準(zhǔn)確而果斷地抓住主要因素，拋棄次要因素，并且盡量將問題作均勻化、線性化、理想化處理，并且要按照假設(shè)的合理性原則進(jìn)行，假設(shè)合理性原則有以下幾點(diǎn).① 目的性原則：從原型中抽象出與建模目的有關(guān)的因素，簡化掉那些與建模目的無關(guān)的或關(guān)系不大的因素；② 簡明性原則：所給出的假設(shè)條件要簡單、準(zhǔn)確，有利于構(gòu)造數(shù)學(xué)模型；③ 真實(shí)性原則：假設(shè)條件要符合情理，簡化帶來的誤差應(yīng)滿足實(shí)際問題所能允許的誤差范圍；④ 全面性原則：在對事物原型本身做出假設(shè)的同時，還要給出原型所處的環(huán)境條件.

二、合理的模型假設(shè)需要我們大膽創(chuàng)新

一方面現(xiàn)實(shí)對象是復(fù)雜多變且決定它的因素是多方面的，另一方面我們在利用數(shù)學(xué)模型來解決現(xiàn)實(shí)問題時，又希望問題能相對簡化而易于處理.為解決這一矛盾，模型建立前對現(xiàn)實(shí)問題創(chuàng)新性的簡化處理就顯得尤為重要，而且是建模成功與否的關(guān)鍵所在.

合理的模型假設(shè)要求我們不能墨守成規(guī)，而是要有大膽的創(chuàng)新精神，充分發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，如討論“人在雨中奔跑，人的淋雨量與奔跑的速度的關(guān)系”這一問題時，可以充分發(fā)揮想象力，將人體假設(shè)成長方體而使問題得到簡化，避免了人體表面的復(fù)雜對建立模型帶來的困難，創(chuàng)新思維能力在這里表現(xiàn)得淋漓盡致.

學(xué)會舍去也是一種創(chuàng)新.對于復(fù)雜多變的現(xiàn)實(shí)對象，我們必須忍痛割愛，從中舍去次要因素，抓住主要因素，進(jìn)行必要的篩選；如果我們認(rèn)定的主要因素還是很多的話，為了順利建模，也應(yīng)該，或者說至少是暫時不予以考慮而舍棄，等到最后在模型分析時再給予考慮，或者在本模型建立中根本不予考慮，如（航行問題）“甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少？”其實(shí)，船速、水速都是變化的，它們受到上游水流、風(fēng)力等多方面因素的影響，但在這里，航行問題建立數(shù)學(xué)模型時，可以假設(shè)船速、水速為常數(shù)，這樣我們舍去了很多非主要因素的影響而使問題得到簡化.如果思想上保守是很難做到這點(diǎn)的.當(dāng)然，簡化處理過程中合理性原則還是必須要堅(jiān)持的，否則，過分簡單也同樣會因?yàn)榕c實(shí)際相去甚遠(yuǎn)而使建模歸于失敗.一般地，做出假設(shè)時要充分利用與問題相關(guān)的有關(guān)學(xué)科知識，充分發(fā)揮想象力和觀察判斷力，分清問題的主次，抓住主要因素，創(chuàng)新性地舍棄次要因素.因此，學(xué)會舍去也是一種創(chuàng)新.

運(yùn)用近似化處理更是一種創(chuàng)新.在我們選定的因素里，為建模需要，也常常要進(jìn)行合理的簡化，諸如線性化、均勻化、理想化等近似化處理，這也是滿足建模所用數(shù)學(xué)方法必須的前提條件.當(dāng)然，假設(shè)不能違背實(shí)際問題主要特征和建模目的.如“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎”這一問題，我們可以將原本不平的地面假設(shè)成地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面.這種處理方法就是連續(xù)化的近似處理，使原本不平坦的地面變成了連續(xù)曲面，從而可以利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)來討論現(xiàn)實(shí)問題，使復(fù)雜問題簡化了，達(dá)到了建模的目的.在充分發(fā)揮想象力和洞察力的基礎(chǔ)上，創(chuàng)新性地提出合理的模型假設(shè)，對現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)解決起到了很關(guān)鍵的作用.

三、數(shù)學(xué)建模中模型假設(shè)示例展示

示例1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？

注意：這里的“放穩(wěn)”是指四腳著地，即椅腳與地面距離為零.

為了解決這一問題，我們不妨做如下模型假設(shè).（1）四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形；（2）地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；（3）地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地.

示例2存貯模型問題.

配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費(fèi).該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出.已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5 000元，貯存費(fèi)每日每件1元.試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小.

通過問題分析我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)周期短，產(chǎn)量小，貯存費(fèi)少，但準(zhǔn)備費(fèi)多；生產(chǎn)周期長，產(chǎn)量大，準(zhǔn)備費(fèi)少，而貯存費(fèi)多.

解決這一問題的關(guān)鍵在于做如下模型假設(shè)：（1）產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；（2）每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1，每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；（3）T天生產(chǎn)一次（周期），每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計(jì)）；（4）為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.

示例3傳送系統(tǒng)的效率問題.

工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多.在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率的途徑.

進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn).可以用一個周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)，工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻不會一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個周期內(nèi)任一時刻的可能性相同.

我們不妨做如下模型假設(shè)：（1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；（2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能的；（3）一周期內(nèi)m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達(dá)第一個工作臺的掛鉤都是空的；（4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng).

示例4森林救火問題.

森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量.隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小.綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量.

記隊(duì)員人數(shù)x，失火時刻t=0，開始救火時刻t1，滅火時刻t2，時刻t森林燒毀面積B（t），損失費(fèi)f1（x）是x的減函數(shù)，由燒毀面積B（t2）決定.救援費(fèi)f2（x）是x的增函數(shù)，由隊(duì)員人數(shù)和救火時間決定.我們可以想象火勢以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比，因此，面積B與t2成正比，dBdt與t成正比.

為此我們可做如下模型假設(shè)：（1）0≤t≤t1，dBdt與t成正比，系數(shù)β（火勢蔓延速度）；（2）t1≤t≤t2，β降為β-λx（λ為隊(duì)員的平均滅火速度）；（3）f1（x）與B（t2）成正比，系數(shù)c1（燒毀單位面積損失費(fèi)）；（4）每個隊(duì)員的單位時間滅火費(fèi)用c2，一次性費(fèi)用c3.

示例5盤子清洗問題.

餐館每天都要清洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗洗一次，再放入熱水池洗滌，水溫不能太高，否則燙手，也不能太低，否則清洗不干凈.由于想節(jié)約開支，餐館老板想了解一池?zé)崴芮逑炊嗌賯€盤子，請你幫他建模分析這一問題.

事實(shí)上，盤子有大有小，材質(zhì)也不完全相同，不同的洗滌方法對熱水的利用也不相同，水池和空氣的吸熱也會導(dǎo)致水溫降低.如果全考慮這些實(shí)際因素，問題會變得非常復(fù)雜而沒有必要.不難發(fā)現(xiàn)決定洗滌盤子數(shù)量的是熱水的溫度，更換熱水并不是因?yàn)樗K了，而是因?yàn)樗疁夭粔驘崃?

為了解決這一問題，實(shí)現(xiàn)建模的目的，我們不妨做出如下假設(shè)：（1）水池、空氣吸熱不計(jì)，只考慮盤子自身的吸熱，盤子的大小、材質(zhì)相同；（2）盤子的初始溫度與氣溫相同，洗滌完后的溫度與水溫相同；（3）水池中的水量為常數(shù)，開始溫度為T1，最終換水時的溫度為T2；（4）每個盤子洗滌時間T相同.

以上幾個建模示例中的假設(shè)，既要考慮問題本身的特點(diǎn)，又要考慮在簡化問題過程中假設(shè)的合理性和各種影響問題的因素間的相互作用.因此，數(shù)學(xué)建模中模型的假設(shè)不僅可以培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是精神，更能突出對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

高等職業(yè)教育的本質(zhì)特征主要體現(xiàn)在培養(yǎng)目標(biāo)和培養(yǎng)模式上，高等職業(yè)教育是為生產(chǎn)、服務(wù)和管理第一線培養(yǎng)實(shí)用型人才，而實(shí)用型人才必須堅(jiān)持“以能力為中心”的培養(yǎng)模式，強(qiáng)調(diào)“以應(yīng)用為目的”的原則，體現(xiàn)“聯(lián)系實(shí)際，注重應(yīng)用，重視創(chuàng)新，提高素質(zhì)”的特色.而以數(shù)學(xué)建模中的模型假設(shè)為載體培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力恰好體現(xiàn)了高等職業(yè)教育的培養(yǎng)目標(biāo)，可以使學(xué)生用創(chuàng)新的視野去解決實(shí)際問題，同時又在解決問題的過程中培養(yǎng)了創(chuàng)新思維能力.利用數(shù)學(xué)建模中的模型假設(shè)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力是高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)中值得研究的一個課題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王冬琳.數(shù)學(xué)建模及實(shí)驗(yàn)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2004.