概率思想在高等數(shù)學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用研究

尹麗+高輝+高勝哲

【摘要】概率思想主要應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、人口學(xué)、保險(xiǎn)及工業(yè)，在高等數(shù)學(xué)中也得到了一定的運(yùn)用.相對(duì)來說，高等數(shù)學(xué)中的概率思想主要體現(xiàn)在計(jì)算中，簡化了計(jì)算的步驟及計(jì)算量，提高了高等數(shù)學(xué)的計(jì)算準(zhǔn)確度.本文就概率思想在高等數(shù)學(xué)中的發(fā)展概況進(jìn)行分析，簡述其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】概率思想；高等數(shù)學(xué)；計(jì)算；應(yīng)用

【課題項(xiàng)目】遼寧省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度立項(xiàng)課題（JG15DB054）；遼寧省教育廳課題（UPRP20140490）

高校的高等數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)大學(xué)生的發(fā)展有著重要影響，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果可以直接影響學(xué)生的綜合計(jì)算力，但是由于計(jì)算過程較為煩瑣，學(xué)生的計(jì)算準(zhǔn)確度較低，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不強(qiáng)，效果不佳.為改變高等數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀，將概率思想運(yùn)用在計(jì)算之中是非常有必要的.

一、概率思想的概況

當(dāng)前概率思想與經(jīng)濟(jì)發(fā)展密切聯(lián)系，不同的領(lǐng)域中發(fā)揮著不同的作用，相應(yīng)地解決著不同的問題.高等數(shù)學(xué)中的計(jì)算步驟比較復(fù)雜，若將概率思想運(yùn)用在高等數(shù)學(xué)的計(jì)算過程中，就會(huì)簡化計(jì)算步驟及計(jì)算量，增強(qiáng)學(xué)生的高數(shù)學(xué)習(xí)興趣.

二、概率思想在高等數(shù)學(xué)計(jì)算中應(yīng)用

（一）概率分布的獨(dú)特性可以將計(jì)算過程簡化

這種方法適用于那些小于1大于0的數(shù)字所組成的事件發(fā)生概率，例如計(jì)算∑nk=2Cknakbn-k（a>0，b>0）.

在解決這道題時(shí)，假設(shè)不均勻地拋射硬幣N次，則正面出現(xiàn)的概率為P=aa+b，用X表示拋射硬幣，則拋射N次后正面出現(xiàn)的概率就是P{X=k}=Cknpk（1-P）n-k，k=0，1，2，3，…，n.再根據(jù)概率的分布規(guī)律可知，1=∑nk=0p{X=k}=∑nk=0Cknaa+bkba+bn-k，所以這道題的答案就是∑nk=2Cknakbn-k=（a+b）n-bn-nabn-1.

（二）定積分的計(jì)算

概率思想運(yùn)用最多的就是定值及定積分的計(jì)算，在定積分的計(jì)算過程中使用概率思想可以有效降低計(jì)算難度，提升計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度.首先依據(jù)公式的樣式對(duì)公式進(jìn)行變形，進(jìn)而將被積函數(shù)作為隨機(jī)變量概率論的密度函數(shù)，利用密度函數(shù)的特性，將某一函數(shù)的積分作為分布的正態(tài)函數(shù)的概率密度函數(shù)，結(jié)合正態(tài)函數(shù)分布的特征以及概率密度函數(shù)的特性將積分計(jì)算簡單化.例如計(jì)算∫+∞-∞e（x-u）22a2dx.

設(shè)隨機(jī)變量X～N（u，σ2），-∞0，

則其概率密度函數(shù)為f（x）=12πσe（x-u）22σ2，x∈R.

概率密度函數(shù)的歸一性∫+∞-∞f（x）dx=1，則

∫+∞-∞12πσe（x-u）22σ2dx=1，∫+∞-∞e（x-u）22a2dx=2πσ.

（三）概率模型的創(chuàng)設(shè)

例如，求和12+1-1213+1-121-1314+…+1-121-13…1-1n1n+1.

將此題假設(shè)為概率題，在一個(gè)容器之中放入兩種顏色不一樣的小球，分別為白色和黑色，將手伸入容器兩次來取球，若兩次取得的球的顏色一致則算成功，若顏色不一致則算失敗，如若失敗則將再放入一個(gè)顏色的球，比如白色或者黑色.接著再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，取出小球顏色一致則成功，不一致則失敗，不斷重復(fù)這種試驗(yàn)，然后計(jì)算概率.依據(jù)上述的試驗(yàn)，分析其概率：

第一次試驗(yàn)成功，則其概率為12.

若第一次失敗，第二次的試驗(yàn)成功，則概率為1-12×13.

試驗(yàn)不間斷，循環(huán)往復(fù)，則最后的概率就會(huì)是12+1-12×13+1-121-13×14+…+1-12 1-13…1-1n×1n+1，這里的概率就是例題中的和.假設(shè)抽取到兩次的白球就算成功，抽到黑球就算失敗，在試驗(yàn)中白球抽到的概率就是12，13，14，…，1n，則黑球抽到的概率就是1-12，1-13，1-14，…，1-1n，因?yàn)樵谠囼?yàn)中白球的成功率是1，黑球的成功率是0，所以12+1-1213+1-12 1-1314+…+1-12 1-13… 1-1n1n+1的和就是1.

（四）利用概率思想求某些特定值

在高等數(shù)學(xué)中，一些數(shù)字是無法求盡的，例如π.運(yùn)用概率思想對(duì)π進(jìn)行求解，具體過程如下：

在一個(gè)平面上畫平行線，平行線之間的距離為A（A>0），在這個(gè)平面拋針，針長為L（L

三、結(jié)語

將概率思想運(yùn)用在高等數(shù)學(xué)的計(jì)算之中，不僅對(duì)計(jì)算本身能夠產(chǎn)生很大的作用，還對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展具有積極的影響.幫助學(xué)生展開高效式的學(xué)習(xí)，提高教師的教學(xué)質(zhì)量，降低了高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度，簡化了計(jì)算過程，能夠有效促進(jìn)學(xué)生能力的提升，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新思維，保證教學(xué)效果.